<< Предыдущая

стр. 86
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


p2 ? 4(S · p)2 ?
P0 = ?1 m + 2?3 S · p + (?1 ? i?2 ) pa = ?i
, ,
2m ?xa (5.3)
1
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J0a = x0 pa ? [xa , P0 ]+ ,
2
где Sab — матрицы, определенные в (1.2).
Тем самым решена задача для произвольного представления вида (1.1), (1.9),
(1.20), поскольку генераторы (5.3) и (1.1), (1.9), (1.20) связаны преобразованием
эквивалентности Pµ > V Pµ V ?1 , Jµ? > V Jµ? V ?1 , где

S·p S·p
V = exp (?1 ? i?2 )(2 ? k1 ) = 1 + (?1 ? i?2 )(2 ? k1 ) (5.4)
.
2m 2m

Генераторы Jab (5.3) имеют явно ковариантную форму, следовательно, при тре-
хмерных поворотах системы координат операторы xa и Sab = Sc преобразуются
обычным образом (как векторы)

1
xa = xa cos ? + (xb ?c ? xc ?b ) sin ?,
?
(5.5)
1
Sab = Sab cos ? ? Scd ?d sin ?, — цикл (1, 2, 3),
(a, b, c)
?
1/2
2 2 2
где ?a — параметры поворота, ? = ?1 + ?2 + ?3 .
Чтобы найти в явном виде закон конечных преобразований (5.2) xa и Sab ,
генерируемых операторами J0a , воспользуемся тождеством Хаусдорфа–Камбела
?
{A, B}n
?A
{A, B}n = A, {A, B}n?1 , {A, B}0 = B. (5.6)
A
e Be = , ?
n!
n=0

Принимая во внимание тот факт, что генераторы J0a (5.3) на решениях уравнения
(0.1) могут быть представлены в форме

J0a = x0 pa ? xa p0 + ?a , (5.7)

где
?1 ? i?2
1
?a = ? [P0 , xa ]? = i?3 Sa + ipa ? 2i[Sa , S · p]+ ,
2 2m
(5.8)
? ?
p0 = i =i ,
?x0 ?t
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 377

и полагая Ba = xa , A = iJ0b vb , где J0b — генераторы (5.7), а а vb — параметры
преобразования Лоренца, получаем по индукции
va (xb vb )v n i?1 + ?2 va (Sb vb )vn
{A, B}n = ? (5.9)
+ Dn , n = 2k,
vn v2
m
xa n i?1 + ?2 va n n = 2k + 1,
{A, B}n = x0 v ? 2Dn , (5.10)
v+
k = 1, 2, 3, . . . ,
v 2m v
где
v = (v1 + v2 + v3 )1/2 .
2 2 2
(5.11)
Dn = [Sb vb , Dn?1 ]+ , D1 = [Sa , Sb vb ]+ ,
Подставляя (5.9)–(5.11) в (5.6) и используя тождество
?
1 Sab vb va (Sb vb )
Dn = Sa ch v ? i sh v ? (ch v ? 1) exp(2Sb vb ) ? Sa ,(5.12)
v2
n! v
n=1

получаем закон преобразования xa в виде
va (xb vb ) va
(ch v ? 1) ? x0 sh v+
xa = xa +
v2 v
i?1 + ?2 va (Sb vb ) 1 va
(ch v ? 1) + sh v + Sa ?
+ (5.13)
v2
m 2v
(S ? v)a va (Sb vb )
? Sa ch v + i sh v ? (ch v ? 1) exp(2Sb vb ) .
v2
v

Формула (5.13) задает искомый явный вид преобразованного оператора xa , по-
скольку входящая в (5.13) экспонента exp(2Sb vb ) всегда может быть представлена
в виде конечного ряда по степеням (Sb vb )n
s
exp(2Sb vb ) ? [ch (2?v) + sh (2?v)]?? , (5.14)
?=?s

где ?? — операторы проектирования на подпространство собственных функций
оператора Sb vb [4]

1
v S b vb
?, µ = ?s, ?s + 1, . . . , s. (5.15)
?? = ,
??µ
µ=?

Обратимся теперь к закону преобразования x0 . Полагая B = x0 , A = iJ0b vb ,
получаем для (5.6) по индукции
i?1 + ?2
{A, B}n = x0 v n ? [(2Sb vb )n ? vn ] , k = 1, 2, . . . , (5.16)
n = 2k,
2m
xb vb n i?1 + ?2
{A, B}n = v? (2Sb vb )n ? v n?1 (2Sb vb ) , n = 2k + 1.(5.17)
v 2m
Подставив (5.16), (5.17) в (5.6), приходим к формуле
(xb vb ) i?1 + ?1 2Sb vb
sh v ? exp(2Sb vb ) ? ch v ?
x0 = x0 ch v + sh v . (5.18)
v 2m v
378 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Из (5.13) и (5.18) видно, что xµ преобразуются по закону, отличному от пре-
образований Лоренца для четырех вектора; при этом величина интервала xµ xµ =
x2 ? x2 не сохраняется. Следовательно, xµ нельзя интерпретировать как инвари-
a
0
антный оператор координаты частицы.
Зная закон преобразования операторов xµ , нетрудно найти, как преобразуются
операторы Sab . Используя тождества

Jab = exp(iJ0c vc )Jab exp(?iJ0c vc ) =
J0a vb ? J0b va
vc
(??kc J?k vc )(ch v ? 1) +
= Jab ch v + sh v, (5.19)
2v 2 v
va (pb vb ) va
(ch v ? 1) + p0 sh v
pa = p a +
v2 v
получаем из (5.3), (5.13)

Sab = exp(iJ0c vc )Sab exp(?iJ0c vc ) = Jab ? xa pb + xb pa =
?a vb ? ?b va
vc (Sd vd )
(ch v ? 1) +
= Sab ch v + sh v+
2
v v
i?1 + ?2 Scd vd ??kl vl S?k
(pb vb ) + (pa vb ? va pb ) (ch v ? 1)+
+
v2 2v 2
m
1 (pa vb ? va pb ) Scd vd
p0 sh v ? Scd pd ch v+
sh v + Scd pd +
+
(5.20)
2 v v
Scd vd (vc pc ) i
ch v(ch v ? 1) + Scd vd p0 sh v ch v + (Sac vc pb ?
+ 2
v v
i
?Sbc vc pa ) sh v + 2 (Sac vc vb ? Sbc vc va )(sh v(ch v ? 1) + sh2 vp0 )?
v
1 1
? (va pb ? vb pa )?kln Skl vn (ch v ? 1) exp(2Sb vb ), Sd = ?dkc Skc .
2v 2 2

где ?a — оператор, заданный в (5.8), (a, b, c) — цикл (1,2,3). Как видно из (5.20),
Sab преобразуется по закону, отличному от преобразований Лоренца для тензора
второго ранга.
Определим ковариантные операторы координаты и спина частицы. Для этого
перейдем к представлению, в котором генераторы группы Пуанкаре имеют локаль-
но ковариантную форму
? i
? ?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (5.21)
Pµ = igµ? = pµ , S0a = ?3 ?abc Sbc ,
?x? 2
что достигается посредством преобразования

Jµ? > Jµ? = V Jµ? V ?1 ,
? ? ? (5.22)

где Jµ? — генераторы (5.3), а

(?1 ? i?2 )
? (2S · p ? p0 ) . (5.23)
V = exp
2m
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 379

В представлении (5.21) ковариантные операторы координаты и спина, очевидно,
можно выбрать в форме
? ? (5.24)
Xµ = xµ , Sµ? = sµ? .
С помощью преобразования, обратного (5.22), получаем явный вид этих операто-
ров в представлении (5.3)
i?1 + ?2
Xµ = V ?1 Xµ V = xµ +
? ?? (5.25)
?µ , ?a = Sab , ?0 = 1,
m
i?1 + ?2
Sab = V ?1 Sab V = Sab +
? ?? Scd pd ,
m
(5.26)
i?1 + ?2
S0a = i?3 Sbc ? S · p ? p0 , Sbc .
m +

При переходе к новой инерциальной системе координат операторы Xµ и Sµ? пре-
образуются как ковариантные четырехвектор и тензор второго ранга
va (vb Xb ) va
(ch v ? 1) + X0 sh v,
Xa = Xa + 2
v v
(5.27)
X b vb
X0 = X0 ch v + sh v,
v
(S0a vb ? S0b va ) sh v
vc (?dkl Sdk vl )
(ch v ? 1) +
Sab = Sab ch v + ,
2
v v
(5.28)
va (S0b vb ) Sab vb
(ch v ? 1) +
S0a = S0a ch v + sh v.
v2 v
Операторы Sµ? , очевидно, удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры
O(1, 3), а операторы Xµ — каноническим перестановочным соотношениям
(5.29)
[pµ , X? ]? = igµ? , [Xµ , X? ]? = 0.
Все это позволяет сделать вывод, что операторы Xµ и Sµ? (5.25), (5.26) можно
интерпретировать как ковариантные операторы координаты и спина части-
цы.
В случае s = 1 операторы (5.25) принимают явно ковариантную форму
2
i
(5.30)
Xµ = xµ + (1 + ?4 )?µ ,
2m
где
?a = ?2i?2 Sa , (5.31)
?4 = ?3 , ?0 = ?1
матрицы Дирака.
В силу изложенного выше оператор (5.30) может быть выбран в качестве кова-
риантного оператора координаты дираковской частицы. Интересно отметить, что
при таком определении оператор скорости
pa
?

<< Предыдущая

стр. 86
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>