<< Предыдущая

стр. 87
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Xµ = ?i[H 1 , Xa ]? = (1 + ?4 )?0 , (5.32)
m
2

где H 1 — гамильтониан Дирака
2

(5.33)
H 1 = ?0 ?a pa + ?0 m
2

имеет сплошной спектр.
380 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Подчеркнем, что полученный нами оператор (5.30) принципиально отличается
от операторов координаты, предложенных Ньютоном и Вигнером [16] и Фолди
и Вуйтхайзеном [17]. Это отличие состоит в том, что оператор (5.30) локален и
преобразуется как ковариантный четырехвектор, в то время как операторы коор-
динаты, предложенные в [16, 17], принадлежат классу нелокальных интегральных
операторов с нековариантным законом преобразования при переходе к новой инер-
циальной системе отсчета.
6. Обобщение на случай частицы во внешнем электромагнитном поле
Полученные нами уравнения движения свободных частиц произвольного спина
допускают непротиворечие обобщение на случай заряженных частиц во внешнем
электромагнитном поле. Ниже будет осуществлено такое обобщение, и будет пока-
зано, что при этом не возникает парадоксов с нарушением причинности, которые
имеют место в других релятивистских уравнениях для частиц со спином [1–3, 18].
Будем исходить из системы уравнений первого порядка (2.19) или (2.20). Мо-
жно показать, что введение минимального электромагнитного взаимодействия не-
посредственно в уравнения (2.19) или в явно ковариантную систему (2.20) при-
водит к тому, что как уравнения (2.19), так и уравнения (2.20), становятся не-
совместными. Чтобы преодолеть эту трудность, мы запишем (2.19) в виде единого
уравнения

? ? ?
? Hs Ps + ?(1 ? Ps ) ?(t, x) = 0, (6.1)
i
?t
где ? — произвольный параметр. Эквивалентность (6.1) и (2.19) следует из соо-
тношений
? ? ?? ?
? Hs , Ps Ps · Ps = Ps . (6.2)
i = 0,
?t ?

Явноковариантная система (2.20) также может быть представлена в виде одного
уравнения

Bs ?(s) pµ ? m + ?(1 ? Bs ) ? = 0,
µ
(6.3)
1 (s)
? 2s(s ? 1)) ,
?(s) pµ + m µ?
Bs = 1+ ?4 (Sµ? S
µ
8ms
поскольку

Bs , ?(s) pµ ? m Bs · Bs = Bs . (6.4)
? = 0,
µ
?

Сделаем в (6.1) и (6.3) замену pµ > ?µ = pµ ? eAµ , где Aµ — вектор-потенциал
электромагнитного поля, и покажем, что такая замена позволяет получить систе-
му уравнений первого порядка, описывавших движение заряженной частицы во
внешнем электромагнитном поле. Поскольку уравнения (6.1) и (6.3) после замены
pµ > ?µ в конечном итоге приводят к одинаковым результатам, мы рассмотрим
только уравнение (6.1), которое принимает вид

? ?
(?0 ? Hs (?)) P( ?) + ? 1 ? Ps (?) (6.5)
?(t, x) = 0,
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 381

где
(s)
? µ ? µ , Ps
(s) (s) (s)
?
Hs (?) = ?0 ?(s) ?a + ?0 m, Ps (?) = Ps + 1 ? ?4 (6.6)
.
a
2m
? ?
Умножив (6.5) на Ps (?) и 1 ? Ps (?) и используя тождества

1 (s) 1
(s)
? ? ?
?0 ? Hs (?), Ps (?) ?0 1 ? ? 4 Sµ? ? i?(s) ?(s) F µ? Ps (?),
Ps (?) = µ ?
4m s
?
(6.7)
? ? ?
F µ? = ?i [? µ , ? ? ]? , Ps (?) · Ps (?) = Ps (?)
приходим к системе уравнений
? 1 (s)
(s) (s) (s)
?0 1 ? ? 4 ?
?0 ?(s) ?a + ?0 m + eA0 +
i ?= a
?t 2m
(6.8)
1
? Sµ? ? i?(s) ?(s) F µ? ? ? Hs (?, ?0 )?,
µ ?
s
? ?
(s) µ
? µ ? , Ps
? ??
(s)
? Ps + 1 ? ? 4 ? ? = ?, (6.9)
2m

которую, как и (2.19), можно записать в эквивалентной явно ковариантной форме
1 1
(s)
?(s) ? µ ? m + 1 ? ?4 Sµ? ? i?µ ?? F µ? ? = 0, (6.10)
µ
m s

1 ? ?(s) [Sµ? S µ? ? 2s(s ? 1)] ? = 8ms?.
m + ?(s) ? µ (6.11)
µ µ


Покажем, что уравнения (6.8), (6.9) (или (6.10), (6.11)) не приводят к пара-
доксам с нарушением причинности. Для этого преобразуем (6.10), (6.11) к та-
кой форме, чтобы каждое решение системы удовлетворяло уравнению Фейнмана–
Гелл–Манна, которое, как известно [19], описывает причинное распространение
волн. Это достигается переходом к новой волновой функции
(6.12)
?(t, x) = V ?(t, x),
где V — обратимый оператор
?? (s) µ ?? (s) µ 1
?1
?± =
(s)
=1? 1 ± ?4 . (6.13)
V =1+ ? ?, V ? ?,
mµ mµ 2
Подставив (6.12), (6.13) в (6.9), (6.10) и используя тождество
2
?(s) ? µ = ?µ ? µ + i?(s) ?(s) F µ? (6.14)
µ µ ?

получаем уравнения для ?(t, x)
1 1
? m ?(t, x) = 0,
?+ ?(s) ? µ + Sµ? F µ? + ?µ ? µ (6.15)
µ
sm m
382 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

2
или (6.16)
Ps ? = ? Sab ? = s(s + 1)?.

Наконец, умножив (4.15) слева на оператор
1? 1
Sµ? F µ? ? ?µ ? µ ?? ,
F = m + ?(s) ? µ ? (6.17)
µ
sm m
где
? ? — цикл (1, 2, 3) (6.18)
Sab = Sab , S0a = iSbc , (a, b, c)
приходим к уравнению
1
?µ ? µ ? m 2 ? Sµ? F µ? ?(t, x) = 0. (6.19)
2s
Формулы (6.16), (6.18), (6.19) задают уравнение Фейнмана–Гелл–Манна для
частицы с произвольным спином. Решения ?(t, x) этого уравнения описывают
причинное распространение волн с досветовой скоростью [19]. Таковы же, оче-
видно, свойства решений ?(t, x) уравнений (6.8), (6.9) и (6.10), (6.11), связанных
с ?(t, x) преобразованием эквивалентности (6.12).
К этому результату можно прийти и другим путем, воспользовавшись критери-
ем Вайтмана [20]. Умножив (6.10) на (?µ ? µ + m), получаем уравнение
(pµ pµ + B)? = 0, (6.20)
где B — дифференциальный оператор, содержащий производные не выше первого
порядка и равный в отсутствие взаимодействия ?m2 . Как показано в [20] , это
означает, что ?(t, x) описывает распространение волн с досветовой скоростью.
Таким образом, мы установили, что уравнения (6.10), (6.11) описывают дви-
жение заряженной релятивистской частицы с произвольным спином во внешнем
электромагнитном поле и не приводят к парадоксам с нарушением причинности.
Отметим еще, что уравнения (2,20) могут быть получены из принципа наи-
меньшего действия, если плотность лагранжиана выбрать в виде
?
? + i ? ? ?(s) ? (s)
? 1 + ?4 ?
L(x) = m?
?xµ µ
(6.21)
? (s) ??
?? ?
? Sµ? S µ? ? 2s(s ? 1) + 8ms2 ? ? ,
i??
?x?
?
где ? , ? — 16s-компонентная волновая функция
? + ? (s) ? (s)
? (6.22)
?= , ? = ? i?0 ?5 ,
?
? (s) ?
а ?µ , Sµ? — матрицы размерности
(s) (s)
?k 0 ?0 0
? (s) ? (s)
?k = , ?0 = ,
(s) (s)
??0
0 ?k 0
(6.23)
(s)
0 ?0 Sµ? 0
? (s) ?
?5 = , Sµ? = ,
(s) 0 Sµ?
?0 0
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 383

При атом для функции ?(t, x) получаем уравнения (2.20), а для ?(t, x) — урав-
нения, комплексно сопряженные с (2.20). Сделав в (6.21) минимальную замену
? ?
?i > ?i ? eAµ , приходим к уравнению (6.10), (6.11). Таким образом,
?xµ ?xµ
уравнения (6.10), (6.11) допускают лагранжеву формулировку.
1
7. Разложение по степеням
m
Гамильтониан Hs (?, ?0 ) (6.8) может иметь как положительные, так и отрица-
тельные собственные значения. Мы получим из (6.8), (6.9) уравнение для состоя-
ний с положительной энергией с помощью серии последовательных приближенных
преобразований, подобно тому, как это было сделано Фолди и Вуйтхайзеном [17]
для уравнения Дирака. При этом гамильтониан частицы о произвольным спином
1
будет представлен в виде ряда по степеням m , удобном для вычислений по теории
возмущении.
Основная трудность при диагонализации уравнений (6.8), (6.9) состоит в том,
что необходимо найти преобразования одновременно приводящие к диагональ-
ной форме два различных уравнения. Мы диагонализуем сначала дополнительное
условие (6.9), а затем, используя операторы, коммутирующие о преобразованным
уравнением (6.9), приведем к диагональной форме уравнение (6.8).
Подвергнем волновую функцию ?(t, x) из (6.8), (6.9) преобразованию
? > ? = V ?, (7.1)
где V — обратимый оператор
1 (s) (s)
1 ? ?4 ?(s) ?a ? ?0 k1 Sa ?a ,
V =1+ a
2m
(7.2)
1
V ?1
(s) (s)
=1? 1 ? ?4 ?(s) ?a ? ?0 k1 Sa ?a .
a
2m
Подействовав оператором (7.2) слева на (6.6), (6.7), получаем уравнения для ?
?
Hs (?, A0 )? = i ?,
?t
(s) (s) (s) (s)
Hs (?, A0 ) = ?0 m + k1 ?4 (S · ?) + ?0 ?
1 + ?4 (7.3)
1 1

<< Предыдущая

стр. 87
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>