<< Предыдущая

стр. 88
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ? 2 ? k1 (S · ?)2 + S(H ? i(1 ? k1 s)E
2
+ eA0 ,
2m s

или (7.4)
Ps ? = ? Sab ? = s(s + 1)? ,

где Ha = ?i[?b , ?c ] и Ea = ?i[?0 , ?a ] — напряженности магнитного и электриче-
ского полей, Ps — проектор, определенный в (2.18).
Из (7.4), (2.10 ), (2.11) заключаем, что, не умаляя общности, можно считать,
что волновая функция ? имеет 2(2s + 1) отличных от нуля компонент. Матрицы
(s) (s)
Sab и коммутирующие с ними матрицы ?0 , ?4 на множестве таких функций
всегда можно выбрать в виде
Sc 0 0 I I 0
(s) (s)
, (7.5)
Sab = , ?0 = ? 1 = , ?4 = ? 3 =
?I
0 Sc I 0 0
384 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где Sc — матрицы, образующие представление D(s) алгебры O(3), I и 0 — (2s+1)-
рядные единичная и нулевая матрицы. Подставив (7.5) в (7.3), получаем гамиль-
тониан Hs (?, A0 ) в виде
Hs (?, A0 ) = ?1 m + k1 ?3 (S · ?)+
(7.6)
1 S
+(?1 ? i?2 ) ? 2 ? k1 (S · ?)2 + H ? i(1 ? k1 s)E
2
+ eA0 .
2m s
Формула (7.6) обобщает гамильтониан свободной частицы произвольного спи-
на (1.9) на случай взаимодействия с внешним электромагнитным полем. Таким
образом, используя явно ковариантные уравнения (6.10), (6.11), мы получили
рецепт введения и взаимодействия в пуанкаре-инвариантные уравнения без
лишних компонент, найденные в разделе 1.
Задача о диагонализации системы (6.8), (6.9) сводится теперь к преобразова-
нию гамильтониана (7.6) к диагональной форме. Как и в случае уравнения Дирака
[17], такое преобразование можно осуществить только приближенно, для ?µ m.
Используя для этой цели серию последовательности преобразований
Hs (?, A0 ) > V3 V2 V1 Hs (?, A0 )V1?1 V2?1 V3?1 = Hs (?, A0 ), (7.7)
где
?2 1
V1 = exp ?i (S · ?)3 +
m3 12
S·H
12 1
? ? k1 (S · ?)2 ? ? k1 S · E, ?0
2
+ +i ,
8 s s
(7.8)
S·H
1 1
? 2 ? k1 (S · ?)2 ? ? k1 S · E
2
V2 = exp ?3 +i ,
2
4m s s

k1 (S · p)
V3 = exp ?i?2
m
1
и пренебрегая членами порядка m3 , получаем
S·H
?2 1
Hs (?, A0 ) = ?1 ?e + A0 ? S · (E ? ? ? ? ? E)?
m+
16m2 s2
2m 2sm
1 1 ?Ea (7.9)
? + s(s + 1) div E +
Q
2 s2 2 ab ?x
24m b

i(2s ? 1) 1 ?Ha
S · (H ? ? ? ? ? H) +
+ Qab ,
8m2 s2 24m2 s2 ?xb
где Qab — тензор квадрупольного взаимодействия
Qab = 3[Sa , Sb ]+ ? 2?ab s(s + 1). (7.10)
На множестве функций, удовлетворяющих дополнительному условию ?1 ? = ?
гамильтониан (7.9) положительно определен и содержит слагаемые, соответству-
S·H 1
ющие дипольному ? , спин-орбитальному ? S · (E ? ? ? ? ? E) ,
16m2 s2
2sm
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 385

1 ?Ea s(s + 1)
? и дарвиновскому ?
квадрупольному div E взаимо-
Qab
48s2 m2 24s2 m2
?xb
действию частицы с полем. Два последние члена в (7.9) можно интерпретировать
как магнитное спин-орбитальное и магнитное квадрупольное взаимодействия.
Приближенный гамильтониан (7.9) в точности совпадает с полученным в ра-
боте [21], в которой в качестве исходного уравнения использовалось уравнение
Фейнмана–Гелл–Манна (6.19). В случае (7.9) совпадает о гамильтонианом Фолди
и Вуйтхайзена [17], который является нерелятивистским пределом гамильтониана
Дирака для электрона.
8. Релятивистская частица с произвольным спином
в однородном магнитном поле
Рассмотрим систему уравнений (6.8), (6.9) для случая частицы в однородном
магнитном поле. Не умаляя общности можно считать, что вектор напряженности
этого поля H параллелен третьей проекции импульса частицы p3 . Это означает,
что компоненты тензора электромагнитного поля F µ? равны
(8.1)
F0a = Ea = 0, F23 = H1 , F31 = H2 = 0, F12 = H3 = H.
Из (8.1) следует, что ?µ можно выбрать в виде
?
?1 = p1 ? eHx2 , (8.2)
?2 = p2 , ?3 = p3 , ?0 = i
.
?t
Подставив (8.1), (8.2) в (6.6), (6.7) приходим к уравнениям
?
Hs (?)? = i ?,
?t
(8.3)
(s)
? 1
(s) (s) (s) (s) (s) (s)
Hs (?) = 1? ? S12 H,
+0
?0 ?0 ?a + ?0 m ?4 i?1 ?2
2m s
1 (s)
?
Ps (?)? ? 1 ? ?4 ?(s) ? µ , Ps (8.4)
Ps + ? = 0.
µ
2m ?

Преобразуем Hs (?) к такому виду, чтобы он содержал только коммутирующие
величины. Это позволит нам, не решая уравнений движения (8.3), (8.4), опреде-
лить спектр собственных значений гамильтониана (8.3).
?
Подвергнем волновую функцию ?, гамильтонианами Hs (?) и проектор Ps (?)
преобразованию
Hs (?) > Hs (?) = V Hs (?)V ?1 ,
? > ? = V ?,
(8.5)
Ps (?) > V Ps (?)V ?1 = Ps (?),
? ? ?
где
1 1
V = ?? + ?+ ?0 Hs (?), V ?1 =
(s) (s)
?+ ? + Hs (?)?+ ?0 ,
? m
1/2
1 1
?± =
(s)
? ? S12 H + m2 1 ± ?4 .
2
?= ,
2 2
Используя тождества
?? ?(s) = ?(s) ?+ , (?± )2 = ?± , ?+ ?? = 0, (8.6)
µ µ
386 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

получаем

1/2
e
(s)
Hs (?) = ?0 ? 2 + m2 ? S12 H (8.7)
,
s

2
или (8.8)
Ps ? = ? Sab ? = s(s + 1)? .

Все операторы, входящие в определение (8.7) гамильтониана Hs (?), коммутируют
друг с другом и имеют такие собственные значения

(s)
? = ±1, s3 = ?s, ?s + 1, . . . , s, (8.9)
?0 ? = ?? , S12 H? = s3 H? ,

? 2 ? = (2n + 1)H + p2 ? , (8.10)
n = 0, 1, 2, . . . .
3


Формулы (8.9) следуют непосредственно из (2.4), (8.8), а соотношение (8.10) при-
ведено, например, в [22].
Квадрат гамильтониана (8.7) и операторы (8.9), (8.10) имею общую систему
собственных функций ??ns3 p3 . Отсюда заключаем, что собственные значения га-
мильтониана (8.7) равны

1/2
s3
E?ns3 p3 = ? m2 + 2n + 1 ? eH + p2 (8.11)
.
3
s

Соотношение (8.11) обобщает известную формулу [22] для уровней енергии
электрона в однородном магнитном поле на случай частицы с произвольным спи-
ном s. Как видно из (8.11), значения энергии такой частицы действительны при
любых s, в то время как уравнения Рариты–Швингера при решении аналогичной
задачи приводят к комплексным значениям энергии [3].
Приведем для полноты явный вид собственных функций ??ns3 p3 . Выбирая ма-
(s)
трицы ?µ , Sab в виде

0? ?0 ?2?a
?I I? 0
(s) (s)
?(s) =
?0 = , ?4 = , ,
?0 ?
? ?I a
I? 2?a 0
0
(8.12)
? 1 1 1
Sab 0 Sab 0
?abc Sbc ? S4a ,
Sab = , Sab = , ?a =
? 2
? 0 Sab
0 Sab 2 2

?0
где I и ? — 4s-рядные единичная и нулевая матрицы; Sab , S4a — матрицы из
представления D s ? 1 , 1 алгебры O(4), а Sab и Sab — матрицы, реализующие
1 2
22
представления D(s) и D(s ? 1) алгебры O(3) соответственно, получаем
? ?
?s3
???
?0?
= ?np3 ? ?, (8.13)
??ns3 p3
? ??s3 ?
?
0
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 387

где ?s3 — (2s + 1)-компонентная собственная функция оператора S12 (который
всегда может быть выбран в диагональной форме)
??
?? ??
0
1 0
?1?
?0? ?? ?0?
?? ?0? ??
?0? ?? ?.?
?s?1 = ? 0 ? , . . . , ??s = ? . ? ,
?s = ? ? , (8.14)
?.?
?.? ??
?.?
?. .? ?0?
?.?.
0 1
0

<< Предыдущая

стр. 88
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>