<< Предыдущая

стр. 89
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


? — (2s ? 1)-рядные нулевые столбцы и
0
v
2
H p1 p1
?np3 = exp(ip1 x1 + ip3 x3 ) exp ? , (8.15)
x2 + Hn H x2 +
2 H H
Hn — полиномы Эрмита. Явный вид собственных функций исходного гамиль-
тониана (8.8) может быть получен из (8.13)–(8.15) с помощью преобразования,
обратного (8.5).
9. Четырехкомпонентное уравнение для бесспиновых частиц
Уравнения (2.20) определены для произвольных значений спина s, включая
случай s = 0. При этой, однако, волновая функция ? имеет целых восемь компо-
нент, и (2.20) не имеют никаких преимуществ перед хорошо известным пятиком-
понентным уравнением Кеммера–Дэффина для безмассовых частиц.
В [24] было показано, что для описания свободной безмассовой частицы можно
использовать обычное четырехкомпонентное уравнение Дирака. Ниже мы обобща-
ем результаты [24] на случай заряженной частицы во внешнем электромагнитной
поле.
Рассмотрим уравнение вида

1
(1 + ?4 )pµ pµ ? m ? = 0,
(1 + ?4 )?µ pµ + (9.1)
m
где ?µ — четырехрядные матрицы Дирака.
Уравнение (9.1) явно ковариантно и эквивалентно обычному уравнению Дирака.
Действительно, умножив (9.1) на (1 + ?4 ) и (1 ? ?4 ), получаем систему уравнений

(1 + ?4 )(?µ pµ ? m)? = 0, (9.2)

(1 ? ?4 )(pµ pµ ? m2 )? = 0. (9.3)

Подействовав на (9.2) слева оператором ?µ pµ + m и принимая во внимание
тождества

?4 ?µ = ??µ ?4 ,
(?µ pµ )2 = pµ pµ , (9.4)

получаем

1
(1 ? ?4 )(pµ pµ ? m2 ) + (1 ? ?4 )(?µ pµ ? m) ? = 0. (9.5)
m
388 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Складывая (9.5) и (9.2) и принимая во внимание (9.3), приходим к уравнению
Дирака
(?µ pµ ? m)? = 0, (9.6)
которое, таким образом, является следствием (9.1). Уравнение (9.1), в свою оче-
редь, легко получить из (9.6), умножив последнее на
1
(1 ? ?4 )(?µ pµ + m) .
1 + ?4 +
m
Таким образом, в отсутствие взаимодействия уравнения (9.1) и (9.6) эквива-
лентны и могут быть интерпретированы как уравнения для частиц со спином
s = 1 или s = 0 [24]. Однако после введения взаимодействия уравнения (9.1) и
2
(9.6) приводят к совершенно различным результатам. Уравнение (9.6) после мини-
мальной замены pµ > ?µ = pµ ? eAµ , как хорошо известно, описывает движение
заряженной частицы со спином s = 1 во внешней электромагнитной поле. Что
2
же касается (9.1), то это уравнение после введения взаимодействия, как будет ви-
дно ниже, следует интерпретировать как уравнение для бесспиновой частицы во
внешнем поле.
Сделаем в (9.1) замену pµ > ?µ . После умножения получившегося уравнения
на (1 + ?4 ) и (1 ? ?4 ) получаем вместо (9.2), (9.3) следующую систему
(1 + ?4 )(?µ ? µ ? m)? = 0, (9.7)

(1 ? ?4 )(?µ ? µ ? m2 )? = 0. (9.8)

Покажем, что эта система, подобно (9.2), (9.3), эквивалентна некоторому урав-
1
нению первого порядка. Подействовав на (9.7) оператором 1 + (?µ ? µ + m) и
m
учитывая тождество
ie
(?µ ? µ )2 = ?µ ? µ ? ?µ ?? F µ? (9.9)
2
получаем вместо (9.6) уравнение
ie
?µ ? µ ? m + (1 + ?4 ) ?µ ?? F µ? (9.10)
? = 0.
2m
отличающиеся от уравнения Дирака для частицы со спином 1 во внешнем поле.
2
Покажем, что уравнение (9.10) описывает движение заряженной частицы со
спином s = 0. Для этого сначала умножим (9.10) на ?0 и получим уравнение в
форме Шредингера
?
H? = i ?,
?t
(9.11)
ie?µ ?? F µ?
H = ?0 ?a ?a + ?0 m + eA0 + ?0 (1 + ?4 ) .
2m
Подвергая волновую функцию ? и гамильтониан H преобразованию
?V ?1
H > H = V HV ?1 ? i
? > ? = V ?, (9.12)
V,
?t
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 389

?a ?a ?a ?a
V ?1 = 1 ? (1 ? ?4 )
V = 1 + (1 ? ?4 ) (9.13)
, ,
m m
получаем
2
?a
H = ?0 m + ?0 (1 + ?4 ) + eA0 .
2m
Выбрав матрицы ?0 и ?4 в виде
?3 0 ?1 0
(9.14)
?0 = , ?4 = ,
??1
0 ?3 0

где ?3 , ?1 — двурядные матрицы Паули, запишем гамильтониан H в форме
2
?a
H+ 0
H± = ?3 m + (?3 ± i?3 ) (9.15)
H= , + eA0 .
0 H? 2m

?+
Обозначив ? = V ? = , где ?± — двухкомпонентные столбцы, полу-
??
чаем для ?+ , ?? два незацепляющихся уравнения
?2 ?
?3 m + (?3 ± i?3 ) (9.16)
+ eA0 ?± = i ?±
2m ?t
совпадающие с уравнениями Сакаты–Такетани для бесспиновой заряженной ча-
стицы во внешнем электромагнитном поле.
Таким образом мы убедились, что обобщенное уравнение Дирака (9.10) опи-
сывает движение заряженной частицы со спином 0 во внешнем электромагнитном
поле. Это уравнение может быть использовано при решении конкретных физиче-
ских задач наряду с другими известными уравнениями для бесспиновых частиц
(Кеммера–Дэффина и Клейна–Гордона).
Заключение
Обсудим коротко полученные результаты.
Для частицы о произвольным спином s и массой m найдены все возможные (с
точностью до преобразований эквивалентности, осуществляемых чисельными ма-
трицами) пуанкаре-инвариантные гамильтоновы уравнения движения вида (0.1), в
которых гамильтонианы являются дифференциальными операторами второго по-
рядка, а волновая функция ?(t, x) имеет 2(2s + 1) компонент. Полученные уравне-
ния включают как частный случай уравнения Дирака для s = 1 и Тамма–Сакаты–
2
Такетани для s = 0 и s = 1.
Найдены также уравнения движения частицы произвольного спина, включаю-
щие производные не выше первого порядка. Эти уравнения имеют вид 8s-компо-
нентного уравнения Дирака с некоторым пуанкаре-инвариантным дополнительным
условием, устраняющим лишние компоненты волновой функции (см. (2.20)). При
обобщении на случай заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле
уравнения (2.20) не приводят, в отличие от других явно ковариантных уравнений
для высших спинов [1–3] , к нарушению принципа причинности.
Другим достоинством уравнений (2.20) является их простая форма, которая не
усложняется с ростом спина. Это позволяет решать различные физические задачи
для произвольных значений s. Так, в настоящей работе точно решена задача о
390 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

движении релятивистской частицы произвольного спина в однородном магнитном
поле.
В настоящей работе не исследовались вопросы, связанные с вторичным кванто-
ванием полученных уравнений. Отметим, что процедуру вторичного квантования
диракоподобных уравнений (2.20) нетрудно осуществить в формализме Умезавы–
Такахати [25], используя представление (6.3).
Можно показать, что уравнения (2.20) инвариантны относительно операции
зарядового сопряжения C, но неинвариантны относительно обращения времени T
и отражения пространственных координат P . P -, C-, T -инвариантные уравнения
для частиц произвольного спина могут быть получены из (2.20) путем удвоения
(s) ? (s)
числа компонент волновой функции и замены ?µ > ?µ согласно (4.23).
Выражаем благодарность С.П. Онуфрийчуку за проверку основных формул на-
стоящей работы.
Дополнение
Приведем решение системы соотношений (1.14)
(s) (s)
h0 · h0 = 1, (Д.1а)
(s) (s) (s) (s)
(Д.1б)
h0 h1 + h1 h0 = 0,
(s) (s) (s) (s) (s) (s)
h 1 h 1 + h 0 h 2 + h 2 h 0 = p2 , (Д.1в)
(s) (s) (s) (s)
(Д.1г)
h1 h2 + h2 h1 = 0,
(s) (s)
(Д.1д)
h2 h2 = 0.

Из (Д.1а), (1.8) видно, что не умаляя общности, можно положить
(s)
(Д.2)
h0 = ? 1 .
(s)
Действительно, согласно (1.8), (Д.1а), коэффициенты aµ должны удовлетворять
условию
2 2 2
(s) (s) (s) (s)
(Д.3а)
a1 + a2 + a3 = 1, a0 = 0
или
2
(s) (s) (s) (s)
(Д.3б)
a0 = 1, a1 = a2 = a3 = 0.

Условие (Д.3б) несовместно с (Д.1б)–(Д.1д), а матрица (1.8), (Д.3а) всегда мо-
(s) ?1
(s)
жет быть приведена к виду (Д.2) посредством преобразования h0 > U1 h0 U1 ,
где
?1/2
(s) (s)
a1 = ?1,
U1 = 1 + ?3 ?? a(s) (Д.4)
2 1 + a1 , ? = 1, 2.
?

Из (Д.2), (Д.1б), (1.8) следует, что
(s) (s) (s)
h1 = b2 ?2 + b3 ?3 (S · p). (Д.5)
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 391

?2 2
?1
(s) (s) (s) (s)
= k1 = 0, тогда преобразование h1 > U2 h1 U2 , где
2
Пусть b2 + b3
?1/2
(s) (s) (s)
b3 = ?k, (Д.6)
U2 = 1 + ?3 ?2 b2 + ?3 b3 2k1 k1 + b3 ,
(s)
приводит h1 (Д.5) к виду
(s)
h1 = ?3 k1 S · p. (Д.7)
Но тогда из (1.8), (Д.2), (Д.7), (Д.1в) получаем
1
(s)
?1 p2 ? k1 (S · p)2 +
2
h2 =
2 (Д.8)
(s) (s) (s) (s)
· p) + · p) +
2
d 2 p2 2
d 3 p2
+?2 c2 (S + ?3 c3 (S .

Подставив (Д.7), (Д.8) в (Д.1г), приходим к соотношению
c3 (S · p)2 + d3 p2 (S · p) = 0. (Д.9)
В случае s > 1 операторы (S ·p)2 и p2 (S ·p) линейно независимы, и для выполнения
(Д.9) необходимо положить c3 = d3 = 0 и
1
(s) (s) (s)
?1 p2 ? k1 (S · p)2 + ?2 c2 (S · p)2 + d2 p2 .
2
(Д.10)

<< Предыдущая

стр. 89
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>