<< Предыдущая

стр. 9
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

щееся аналогом леммы 2(f ).
Лемма 2(g). Коэффициент g(?) при t в D(?; s, t) является суммой вида

(2.11)
g(?) = ?k ?r gkr (?),
k,r

где суммирование происходит по таким индексам k и r, что если ?k прина-
длежит t12 , то ?r принадлежит t34 , а gkr (?) — некоторая функция, которая
в силу свойств D(?; s, t) не зависит от ?k и ?r .
В силу леммы 2(f ) и 2(g) можно добиться выполнения условий (1.3) и (1.4),
налагаемых на коэффициенты f (?) и g(?), редуцируя все линии на s- и t-путях,
подходящих к какой-нибудь из вершин диаграммы на рис. 3, а, оставляя нереду-
цированными по одной линии на каждом из этих путей. Существует, очевидно,
много способов редуцирования. Важно выяснить, существует ли хотя бы один из
способов, при котором f1 (?) и g1 (?) в (1.3) и (1.4) оказались бы не зависящими
от ?n и ?n?1 . На один из них указать легко. Именно, ни в одно из слагаемых в
правой части (2.10), которое содержит в виде множителя параметр ?1 на линии,
несущей импульс p1 ? q1 (см. рис. 3, а), параметр ?1 не входит. Действительно,
параметр ?1 содержится в виде слагаемого в элементах a11 и c в правой части
(2.6), не входящих в алгебраическое дополнение ни одного элемента a1r , которое
дает вклад в функцию fkr (?), встречающуюся в виде произведения с параметром
?1 в правой части (2.10). Утверждение об отсутствии слагаемого в правой части
(2.11), содержащего в виде множителя произведение ?1 ?1 , можно также легко по-
лучить, проведя аналогичные рассуждения. Таким образом, редуцируя на s-пути
s13 все линии, за исключением несущей параметр ?1 , а на t-пути t12 — все линии,
за исключением несущей параметр ?1 , тем самым добьемся независимости f1 (?)
и g1 (?) от ?1 и ?1 (или, переобозначив их через ?n и ?n?1 , — от ?n и ?n?1 ).
Ответ на вопрос существует ли другой способ редуцирования, приводящий к неза-
висимости f1 (?) и g1 (?) от соответствующих переменных, дать трудно, так как в
общем случае это может произойти только при сложных взаимных уничтожениях
Аналитические свойства амплитуды рассеяния 41

в выражениях типа (2.10) и (2.11). Положительности f1 (?) и g1 (?) можно затем
добиться редуцированием тех линий, параметры которых входят в произведения с
отрицательными знаками.
2
Остановимся теперь на свойствах коэффициентов Kj (?) при Mj в правой ча-
2
сти (2.4 ). Из рис. 3, а видно, что зависимость D(?; s, t) от M4 заключена в
2
произведениях bk br , которые сами содержат в виде множителя массу M4 только
лишь в том случае, когда в них содержится произведение ?k2 p2 ?k3 p3 , где ?k2 при-
надлежит s-пути s24 , а ?k3 принадлежит t-пути t34 . Таким образом, мы приходим
к выводу: коэффициент K4 (?) может быть представлен в виде суммы
?k2 ?k3 k4 2 k3 (?),
k
(2.12)
K4 =
k2 ,k3

где суммирование происходит по таким индексам k2 и k3 , что если ?k2 принадле-
жит s24 , то ?k3 принадлежит t34 , и k4 2 k3 в силу свойства дискриминанта D(?; s, t)
k

не зависит от ?k2 и ?k3 . На основании (2.12) легко получить следующую лемму.
2
Лемма 2(Kj ). Коэффициент Kj (?) при Mj может быть представлен в виде

(2.13)
Kj (?) = ?k ?r kjkr (?),
k,r

где суммирование происходит по таким индексам k и r, что если ?k принадле-
жит s-пути, подходящем к вершине j, то ?r принадлежит t-nymu, подходящем
к той же вершине диаграммы, и kjkr (?) в силу свойства D(?; s, t) не зависит
от ?k и ?r .
Рассмотрим класс диаграмм Фейнмана, представленный на рис. 2. Используя
леммы 2(f ) и 2(g), можно записать коэффициенты f (?) и g(?) в виде
(2.14)
f (?) = ?n f1 (?1 , . . . , ?n?2 ),
(2.15)
g(?) = ?n?1 g1 (?1 , . . . , ?n?3 ),
удовлетворяющем условиям (1.3) и (1.4).
Изучим теперь структуру массового коэффициента ?K(?; m2 , Mj ). Применяя
2
j
лемму 2(Kj ) к этой диаграмме, можно заключить, что коэффициент K3 (?) имеет
вид
(2.16)
K3 (?) = ?n ?n?1 k3 (?).
Покажем теперь, что коэффициенты K1 (?), K2 (?) и K4 (?), стоящие соответ-
2 2 2
ственно при M1 , M2 и M4 в D(?; s, t), не зависят от произведения ?n ?n?1 . Дей-
ствительно, в правой части (2.7) произведение ?n ?n?1 , как легко показать при
выборе qk , представленном на рис. 2, входит лишь в слагаемое ?bl bl All первой
суммы и в слагаемое call All , что нетрудно увидеть, разложив C(?) по элементам
последнего столбца (или строки):
C(?) = all All ? all?1 All?1 + · · · + (?1)l+1 al1 Al1 . (2.17)
Произведение bl bl содержит ?n ?n?1 в следующем виде
bl bl = ?2?n ?n?1 (p1 + p2 )p4 ? 2?n ?i (p1 + p2 )p2 +
(2.18)
2
2 2 2 2
+2?n?1 ?i p2 p4 + ?n s + ?n?1 M4 + ?i M2 .
42 В.И. Коломыцев, В.И. Фущич

Используя (2.9), замечаем, что
2(p1 + p2 )p4 = M3 ? M4 ? s, 2(p1 + p2 )p2 = s ? M1 + M2 ,
2 2 2 2
(2.19)
2p2 p4 = t ? M2 ? M4
2 2


и, следовательно, правая часть (2.18) перепишется в виде

bl bl = ??n ?n?1 (M3 ? M4 ? s) ? ?n ?i (s ? M1 + M2 )+
2 2 2 2

(2.20)
2
?i (t ? ?
2 2 2 2 2 2
+?n?1 M2 M4 ) + ?n s + ?n?1 M4 + ?i M2 .

Рассмотрим теперь слагаемое call All . В коэффициент c переменные ?n , ?n?1 и
?n?2 входят следующим образом:
c = ?n (s + m2 ) + ?n?1 (M4 + m2 ) + ?n?2 m2 +
2
n n?1 n?2
(2.21)
+остальные члены, зависящие от ?n?3 , . . . , ?1 , m2 , и M2 ,
2
i

а элемент all можно представить в виде

all = ?n + ?n?1 + ?n?2 + остальные члены. (2.22)

Таким образом, в слагаемом call All , дающем вклад в коэффициент K(?; m2 , i
2 2
Mj ), произведение ?n ?n?1 встречается в виде ?n ?n?1 All M4 и в сумме со вторым
слагаемым в первой скобке правой части (2.20), умноженной на ?All дает нуль.
Следовательно, та часть суммы слагаемых ?bl bl All + call All , которая дает вклад в
K(?; m2 , Mj ), содержит произведение ?n ?n?1 только лишь в виде ?n ?n?1 All M3 ,
2 2
i
2
т.е. только при массовой переменной M3 . Доказательство независимости K1 (?),
K2 (?) и K4 (?) от произведения ?n ?n?1 , таким образом, закончено.
Кроме того, используя (2.20), (2.21) и (2.22) и замечая, что зависимость
D(?; s, t) от ?n , ?n?1 и ?n?2 заключена только в элементах all , b и c можно
получить следующую лемму.
2 2 2
Лемма 3. Сумма слагаемых K1 (?)M1 + K2 (?)M2 + K4 (?)M4 может быть
представлена в виде
2 2 2
K1 (?)M1 + K2 (?)M2 + K4 (?)M4 =
(2.23)
2 2 2
= ?n k1 (?n?3 , Mj ) + ?n?1 k2 (?n?2 , Mj ) + k4 (?n?2 , Mj ), j = 3.

Перепишем два первых слагаемых правой части (2.4 ) в виде
n n n
?
?i m2 Ki (?)
2
?i m2 Ki (?) ?i m2 . (2.24)
= C(?)
i i i
i=1 i=1 i=1

Легко показать, что правая сторона (2.24) представима в виде
n
?i m2 = ?n m2 C(?n?3 )+
C(?) i n
i=1
(2.25)
n?3
+?n?1 m2 C(?n?3 ) + ?n?2 m2 C(?n?3 ) + ?i m2 C(?).
n?1 n?2 i
i=1
Аналитические свойства амплитуды рассеяния 43

Действительно, учитывая, что C(?) зависит от переменных ?n , ?n?1 и ?n?2 сле-
дующим образом
C(?) = c(?n + ?n?1 + ?n?2 + · · ·),
можно считать, что, так как при изучении аналитических свойств F (s, t) исполь-
зуется формула (1.6), в которой значение D(?; s, t) берется на гиперплоскости
n
?i = 1, коэффициент C(?) не зависит от ?n?1 и ?n?2 , т.е. имеет место пред-
i=1
ставление (2.25).
Суммируя результаты этого параграфа, можно сформулировать следующий ос-
новной вывод.
Теорема 2. В силу выражений (2.10), (2.11), (2.23), (2.25) дискриминант
D(?; s, t) может быть представлен в виде
2
D(?; s, t) = ?n f1 (?n?2 )s + ?n?1 g1 (?n?2 )t + ?n ?n?1 k1 (?n?3 )M3 +
(2.26)
+?n k2 (?n?3 , m2 , Mj ) + ?n?1 k3 (?n?2 , m2 , Mj ) + k4 (?n?2 , m2 , Mj ),
2 2 2
i i i

из которого следует, что вклад в амплитуду рассеяния от диаграммы, пред-
ставленной на рис. 2, удовлетворяет всем условиям теоремы 1.




Рассмотрим, наконец, вклад в амплитуду рассеяния от диаграммы шестого по-
рядка (рис. 4), который может быть записан в виде следующего интеграла
7
d?i ? {1 ? ?i } C 2 (?)
i=1
F (6) (s, t) = (2.27)
,
{D(?; s, t)}3
где
D(?; s, t) = f (?)s + g(?)t ? K(?; m2 , Mj ),
2
(2.28)
i

f (?) = ?1 [?3 (?4 +?5 +?6 +?7 )+?4 ?5 ]+?7 [?5 (?1 +?2 +?3 +?4 )+?3 ?4 ],(2.29)
(2.30)
g(?) = ?2 ?4 ?6 ,
7
?K(?; m2 , Mj ) = ?C(?) ?i m2 + ?2 {[?1 (?4 + ?5 + ?6 + ?7 ) + ?4 ?7 ]M1 +
2 2
i i
i=1
+[?3 (?4 + ?5 + ?6 + ?7 ) + ?4 ?5 ]M2 }+ (2.31)
2

+?6 {[?7 (?1 + ?2 + ?3 + ?4 ) + ?1 ?4 ]M3 +
2

+[?5 (?1 + ?2 + ?3 + ?4 ) + ?3 ?4 ]M4 },
2
44 В.И. Коломыцев, В.И. Фущич

C(?) = (?1 + ?2 + ?3 + ?4 )(?4 + ?5 + ?6 + ?7 ) ? ?4 .
2
(2.32)

Исключая с помощью ?-функции параметр ?7 , запишем соответствующую систему
уравнений типа Ландау
6
?7 = 1 ?
2
D(?; s, t) = c6 ?6 + 2b6 ?6 + ?6 = 0, ?i ,
(I)
i=1
?D
= 2c6 ?6 + 2b6 = 0,
??6
5
?D
?6 = 1 ?
2
(II)
D(?; s, t) = c6 ?6 + 2b6 ?6 + ?6 = 0, ?i , = 0,
??5
i=1

4
?6 = 1 ?
D(?1 , ?2 , ?3 , ?4 , s, t) = 0, ?i , ?5 = 0,
(III)
i=1
?D ?D
= 0, = 0.
??4 ??3

Значения s и t, удовлетворяющие подсистеме I, приводят к совпадающим син-
гулярностям по ?6 ; удовлетворяющие подсистеме II, — к совпадающим сингуляр-
ностям по ?5 и концевым по ?6 и, наконец, удовлетворяющие подсистеме III,
приводят к совпадающим по ?4 и ?3 и концевым по ?6 и ?5 .

<< Предыдущая

стр. 9
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>