<< Предыдущая стр. 91(из 122 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
(?µ pµ + m)?(x0 , x) = 0, (14)
396 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin

where ?µ are (8 ? 8)-dimensional matrices, which satisfy together with ?4 , ?5 , ?6
the Clifford algebra (one can see details e.g. in [5]).
The system of eq. (14) has the higher symmetry in comparison with the four-
component Dirac equation. It is shown in [5] that the additional invariance algebra of
eq. (4) (apart from P1,3 ) is the Lie algebra of the O6 -group. This result admits the
following strengthening:
Theorem 2. Equation (14) is invariant under the 40-dimensional Lie algebra A40 .
The basis elements of this algebra have the form
? i
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + ?µ ?? ,
Pµ = pµ = i ,
?xµ 2
i
?
Qmn = i?m ?n + (1 + i?6 )(?m ?n ? ?n ?m ), m, n = 1, 2, . . . 5, (15)
m
i
?
? ?
Qmn = ?6 + (1 + i?6 )?µ pµ Qmn ,
m
where, by the definition,
??(x0 , x)
pa+3 ?(x0 , x) = ?i ? 0.
?xa+3
Proof may be carried out in full analogy with the proof of theorem 1. We only draw
attention to the fact, that Qmn satisfies the Lie algebra of the group SU4 .
Let us now consider the group properties of the KDP equation, which describes
the particles with spin s = 1. This equation has the form
L1 = ?µ pµ + m, (16)
L1 ?(x0 , x) = 0,
where ?µ are the ten-row KDP matrices.
It follows from the above that the KDP equation has to possess the more high
symmetry then eq. (4) do. This conclusion is supported by the following
Theorem 3. The KDP equation in invariant under the 26-dimensional Lie algebra
A26 , basis elements of which belong to the class of differential operators and have
the form
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + i[?µ , ?? ]? ,
P µ = pµ = i ,
?xµ
?7 = ?i[c12 c23 c31 ? c23 c31 c12 ],
?a = [cab , cac ]+ , ?a+3 = cbc ,
i
?8 = ? v (c12 c23 c31 + c23 c31 c12 ? 2c31 c12 c23 ), ?8+a = cab c0b , (17)
3
?15 = (c12 c23 c02 ? c23 c31 c03 ),
?11+a = ic0a ,
1
?16 = v (c12 c23 c02 + c23 c31 c03 ? 2c31 c12 c01 ),
3
where
1
(aµ p? ? a? pµ ), (a, b, c) — cycl (1, 2, 3),
cµ? = i[?µ , ?? ]? +
m
(18)
1
aµ = i[?5 , ?µ ]? + i?µ , ?5 = ?µ??? ?µ ?? ?? ?? .
4!
New invariance groups of the Dirac and Kemmer–Duffin–Petiau equations 397

Proof. First we shall show, that the operators ?f satisfy the invariance condition (3).
By direct verification one obtains
i
[cµ? , L1 ]? = Fµ? L ? 1, Fµ? = (L1 ? 2m) (?µ p? ? ?? pµ ).
1 1
(19)
m2
It follows from eq. (19) that the operators cµ? (and hence all ?f ) satisfy eq. (3).
The operators (17b) satisfy the commutation relations of the Lie algebra of the
SU3 ? SU3 group. This fact may be verified immediately, but the more simple way is
to make previously the transformation ? > V ?f V ?1 = ?f , where
i
cµ? > cµ? = V cµ? V ?1 = i[?µ , ?? ]? .
aµ pµ , (20)
V = exp
m
By means of eq. (20) it is not difficult to make sure that the operators ?f and
pµ = V pµ V ?1 = pµ , Jµ? = V Jµ? V ?1 = Jµ? form the Lie algebra. The theorem in
proved.
In conclusion let us note that the main part of the theorems 1, 2, 3 (i.e. the
invariance of eqs. (4), (14), (16) under the corresponding algebras) may be proved
also by the transformation Ls > V Ls V ?1 , where V is the integrodifferential operator
?? ?

S4a pa p Sab pc p
? arctg arctgh (21)
V = exp i exp .
p m p E
The preference of this transformation is that it may be easily generalized for the case
of an arbitrary spin, but the basis elements Qµ? of the new invariance algebra have
to be integrodifferential operators (as like as (21)). Thus for the Dirac equation one
obtains
i
Qab = i?a ?b + (?a pb ? ?b pa )(1 + i?4 ?),
? Q0a = i?Qbc ,
?
m
where ? is the integrodifferential operator of energy sign
?
HD
= (?0 ?a pa + ?0 m)(m2 + p2 )?1/2 .
?=
?
|H D|

1. Fushchych W.I., Theor. Math. Fiz., 1971, 7, № 1, 3–12 (in Russian); Preprint ITF-70-32E, Kiev,
1970 (in English).
2. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1974, 11, № 10, 508–512.
3. Fushchych W.I., DAN USSR, 1976, 230, № 3, 570–573 (in Russian).
4. Nikitin A.G., Segeda Yu.N., Fushchych W.I., Theor. Math. Fiz., 1976, 29, № 1, 82–94 (in Russian).
5. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1973, 6, № 4, 133–137.
6. Fushchych W.I., Segeda Yu.N., Ukrainian Math. J., 1976, 28, № 6, 844–849 (in Russian).
7. Ovsiannikov L.V., The group properties of equations, Novosibirsk, 1962;
Ibrahimov N.H., DAN USSR, 1969, 185, 1226 (in Russian).
8. Niederer U., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, 802;
Andersson R.L., Kumei S., Wulfam C.E., Phys. Rev. Lett., 1972, 28, 988;
Boyer C.P., Kalnins E.G., Miller W., J. Math. Phys., 1975, 16, 499.
9. Zaitsev G.A., JETP, 1955, 28, 524 (in Russian); DAN USSR, 1957, 113, 1248 (in Russian);
Feynman R.P., Gell-Mann M., Phys. Rev., 1958, 109, 193.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 398–401.

О группах инвариантности одного класса
счетной системы уравнений первого
порядка с частными производными
В.И. ФУЩИЧ, С.П. ОНУФРИЙЧУК

В работах [1–3] предложен метод канонических преобразований для изучения
групповых свойств дифференциальных уравнений квантовой механики, который
отличается от классического метода Ли. Основное отличие состоит в том, что ба-
зисные элементы алгебры инвариантности того или иного уравнения могут быть
интегродифференциальными операторами, в то время как в методе Ли такие опе-
раторы не могут возникать по самой постановке задачи.
С помощью канонических преобразований установлены новые группы инвари-
антности, отличные от групп Лоренца и Пуанкаре, для уравнений Максвелла и
Дирака [1, 2, 4], Клейна–Гордона [3] и Кеммера–Дэффина [5]. Все эти уравнения
можно представить как конечную систему уравнений первого порядка в частных
производных вида

Aµ pµ ?(t, x1 , x2 , x3 ) + B?(t, x1 , x2 , x3 ) = 0, (1)

где по повторяющемуся индексу µ = 0, 1, 2, 3 подразумевается суммирование; Aµ ,
B — конечные квадратные матрицы, удовлетворяющие определенным свойствам;
? — вектор-столбец той же размерности, что и Aµ , B;

pa = ?i?/?xa ,
p0 = i?/?t, a = 1, 2, 3.

Цель настоящей работы изучить методом канонических преобразований груп-
повые свойства уравнений типа (1) в том случае, когда коэффициенты Aµ , B
являются бесконечномерными матрицами специального вида. Будут установлены
новые группы (алгебры) инвариантности для бесконечной системы типа (1), кото-
рые описывают релятивистскую систему с бесконечным числом степеней свободы
(по спиновым индексам).
Далее будут рассматриваться такие бесконечные системы (1), коэффициенты
которых являются квадратичными функциями от операторов (матриц), удовлетво-
ряющих коммутационным соотношениям алгебры Гейзенберга

(2)
[?a , qb ]? = iCab ,
q? a, b = 1, 2, . . . , 8,

где Cab — матричные элементы восьмирядной матрицы
? ?
100 0
?0 1 0 0?
O4 I4
I4 = ? ?. (3)
C= , ?0 0 1 0?
?I4 O4
000 1
Доклады Академии наук СССР, 1977, 235, № 5, С. 1056–1059.
О группах инвариантности одного класса счетной системы уравнений 399

Хорошо известно, что перестановочные соотношения Гейзенберга (2) могут
быть реализованы либо в виде бесконечных матриц, либо в виде операторов умно-
жения на независимую переменную и операторов дифференцирования. В первом
случае приходим к представлению Гейзенберга, во втором — к представлению
Шредингера. Так как работать с бесконечными матрицами крайне неудобно, в
дальнейшем используем представление Шредингера. Это означает, что величины
Aµ , B в (1) есть некоторые функции от некоммутирующих операторов qa .
?
Рассмотрим уравнение первого порядка в частных производных с операторными
коэффициентами (или бесконечными матрицами) вида

??(?, x, q)
= (?µ pµ + ?5 ?)?(?, x, q), (4)
i
??

где операторные коэффициенты ?µ являются следующими функциям от qa :
?

12
q + q 2 + q3 + q4 ? q 5 ? q 6 ? q 7 ? q 8 ,
?2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?2
?0 = ?
41
12
q 1 ? q 2 ? q 3 + q4 + q5 ? q 6 ? q 7 + q8 ,
?2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?2
?1 = ?
4
1
= (??1 q2 + q3 q4 ? q5 q6 + q7 q8 ) , (5)
?2 q? ?? ?? ??
2
1
?3 = (?1 q3 + q2 q4 + q5 q7 + q6 q8 ) ,
q? ?? ?? ??
2
1
= ? (?1 q5 + q2 q6 + q7 q3 + q8 q4 ) ,
?5 q? ?? ?? ??
2

? — собственное время, ? — произвольный параметр, x ? (x0 , x1 , x2 , x3 ) — точка
в 4-мерном пространстве Минковского, q ? (q1 , q2 , q3 , q4 ), ?? < qi < ?, i =
1, 2, 3, 4; qi — собственные значения операторов qi . В дальнейшем “крышку” над
?
операторами qa будем опускать.
?
Уравнение (4) является обобщением известных релятивистских уравнений Ма-
йорана [6], Намбу [7], Дирака [8], описывающих физические системы с бесконе-
чным числом спиновых и массовых состояний.
Уравнение (4), как и уравнение Майорана [6], инвариантно относительно пре-
образований из группы Пуанкаре P (1, 3). Выясним теперь такой вопрос: суще-
ствуют ли более широкие (или другие) группы инвариантности уравнения (4), чем
группа P (1, 3)? Положительный ответ на этот вопрос дает
Теорема 1. Уравнение (4) инвариантно относительно 16-мерной алгебры Ли,
базисные элементы которой задаются операторами:

Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (6)
Pµ = pµ = igµ? ?/?x? ,

(7)
Lµ? = Sµ? + ?µ? (p),

где gµ? — метрический тензор с компонентами g00 = ?g11 = ?g22 = ?g33 = 1,
400 В.И. Фущич, С.П. Онуфрийчук

gµ? = 0, если µ = ?; компоненты тензорных операторов Sµ? равны
1 1
(q1 q5 ? q2 q6 ? q3 q7 + q4 q8 ), (?q1 q6 ? q2 q5 + q3 q8 + q4 q7 ),
S01 = S02 =
2 2
1 1
= (?q1 q6 + q2 q5 ? q3 q8 + q4 q7 ), (8)
S03 = (q1 q7 + q2 q8 + q3 q5 + q4 q6 ), S12
2 2
1 1
= (q1 q7 ? q2 q8 ? q3 q5 + q4 q6 ), = (?q1 q8 ? q2 q7 + q3 q6 + q4 q5 ),
S13 S23
2 2
(L ? ?) 1
(pµ S?? p? ? p? Sµ? p? ) ? (pµ S5? ? p? S5µ ), (9)
?µ? =
LL2 L
0

L ? (pµ pµ + ? 2 )1/2 , (10)

L0 ? (pµ pµ )1/2 . (11)
 << Предыдущая стр. 91(из 122 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>