<< Предыдущая

стр. 92
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Доказательство. Если не ставить вопрос о том, каким способом найдены операто-
ры (7), то в справедливости теоремы можно убедиться непосредственной провер-
кой. Однако это слишком громоздко и утомительно. Более короткий и констру-
ктивный путь, указывающий способ нахождения операторов (7), состоит в том,
чтобы, как и в случае конечномерных уравнений [1–5], преобразовать уравнение
(4) к каноническому (диагональному) виду. Такое преобразование осуществляется
при помощи унитарного оператора
S5µ pµ L0
W = exp ?i ? = arctg (12)
?, ,
?
L0
где компоненты векторного оператора S5µ имеют вид
12 2 2 2 2 2 2 2
S50 = (q + q2 + q3 + q4 + q5 + q6 + q7 + q8 ),
41
12
= (q1 ? q2 ? q3 + q4 ? q5 + q6 + q7 ? q8 ),
2 2 2 2 2 2 2
S51
4
(13)
1
= (?q1 q2 + q3 q4 + q5 q6 ? q7 q8 ),
S52
2
1
= (q1 q3 + q2 q6 ? q5 q7 ? q6 q8 ).
S53
2
После преобразования (12) уравнение (4) приводится к виду
??(?, x, q)
(14)
i = ?5 L?(?, x, q), ?(?, x, q) = W (p)?(?, x, q).
??
Так как операторы Sµ? коммутируют с оператором ?5 , то уравнение (14) инва-
риантно относительно преобразований, генерируемых операторами Sµ? . Для за-
вершения доказательства остается только найти явный вид операторов Sµ? в ?-
представлении. Вычисляя Lµ? ? W ?1 Sµ? W , получаем операторы (7).
Замечание 1. Операторы (6), (7) удовлетворяют коммутационным соотношениям

[Lµ? , L?? ]? = i(gµ? L?? + g?? Lµ? ? gµ? L?? ? g?? Lµ? ), (15)
О группах инвариантности одного класса счетной системы уравнений 401

[Jµ? , J?? ]? = i(gµ? L?? + g?? Lµ? ? gµ? L?? ? g?? Lµ? ). (16)

Замечание 2. Если в уравнении (4) положить ? = 0 и на функцию ? наложить
пуанкаре-инвариантное условие
??(?, x, q)
(17)
i = m?(?, x, q),
??
где m — фиксированный параметр, то система уравнений (4), (17) совпадает с
обобщенным уравнением Майорана в форме Намбу [7]. Теорема 1 сохраняет силу
и в этом случае.
Если же теперь операторы ?µ , S?? выбрать в представлении Дирака [8], то
из системы уравнений (4), (17) получим обычное уравнение Майорана в форме
Дирака [8]

(?µ pµ ? m)?(x, q1 , q2 ) = 0. (18)

Используя результаты работ [1, 4], можно доказать следующее утверждение.
Теорема 2. Если на множество решений уравнения (4) наложить дополни-
тельное условие pµ pµ ? > 0 (или pµ pµ < 0), то такое уравнение с дополнитель-
ным условием инвариантно относительно алгебры Ли группы SO(1, 5) (или
SO(2, 4)).
Из изложенного выше ясно, что метод канонических преобразований, который
широко использовался Н.Н. Боголюбовым при построении теорий сверхтекучести
и сверхпроводимости [9], весьма эффективно работает и при исследовании груп-
повых свойств дифференциальных уравнений.
В заключение хотим выразить благодарность А.Г. Никитину за полезные сове-
ты и дискуссии.

1. Фущич В.И., Теор. и мат. физ., 1971, 7, № 1, 3–12; Препринт Ин-та теор. физ. АН УССР
№ 32Е Киев, 1970, 17 c.
2. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1974, 11, № 10, 508–512.
3. Фущич В.И., ДАН, 1976, 230, № 3, 570–573.
4. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н., Укр. мат. журн., 1976, 28, № 6, 844-849.
5. Никитин А.Г., Сегеда Ю.Н., Фущич В.И., Теор. и мат. физ., 1976, 29, № 1, 82–94.
6. Маjorana E., Nuovo Cimento, 1932, 9, № 2, 335;
Fradkin D.M., Am. J. Phys., 1966, 34, 314.
7. Nambu Y., Supplement of the Progress of Theoretical Physics (Japan), 1966, 12, № 37–38, 368.
8. Dirac P.A.M., Proc. Roy. Soc. London A, 1971, 322, 435;
Dirac P.A.M., Proc. Roy. Soc. London A, 1972, 328, 1.
9. Боголюбов Н.Н., Изв. АН СССР, сер. физ., 1947, 11, 67.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 402–403.

О новой алгебре инвариантности
свободного уравнения Шредингера
В.И. ФУЩИЧ, Ю.Н. СЕГЕДА
В [1, 2] установлено, что максимальной кинематической группой инвариантности
свободного уравнения Шредингера
p2
??(t, x) ?
pa = ?i
H= a, (1)
i = H?(t, x); , a = 1, 2, 3,
?t 2m ?xa
является 12-параметрическая некомпактная группа Ли, содержащая в качестве
подгруппы группу Галилея. Базисные элементы алгебры Ли этой группы инвари-
антности (максимальной кинематической алгебры инвариантности) являются диф-
ференциальными операторами 1-го порядка.
В [3] найдена алгебра инвариантности уравнения (1) в классе дифференци-
альных операторов 2-го порядка, содержащая, кроме элементов максимальной ки-
нематической алгебры инвариантности, еще симметричные квадратичные формы
от элементов алгебры Галилея. В связи с этими результатами возникает есте-
ственный вопрос: существует ли алгебра инвариантности уравнения (1) в других
классах операторов?
Одним из авторов настоящей заметки показано [4–6], что уравнения Максвел-
ла, Дирака и Клейна–Гордона обладают дополнительной инвариантностью, отли-
чной от лоренц-инвариантности. При этом важно подчеркнуть, что базисные эле-
менты этой новой алгебры инвариантности являются интегродифференциальными
операторами. Этот результат говорит о том, что имеется возможность искать но-
вую алгебру инвариантности уравнения (1) в классе интегродифференциальных
операторов.
Ниже дан положительный ответ на поставленный выше вопрос.
Задача о нахождении алгебры инвариантности уравнения (1) состоит в описа-
нии и явном построении всевозможных (в том или ином классе) операторов QA ,
удовлетворяющих условию
?
? H, Qa (2)
i ?(t, x) = 0,
?t ?

где {A} — некоторое множество индексов.
Теорема. Алгеброй инвариантности уравнения Шредингера (1) является алге-
бра Ли, изоморфная алгебре Ли группы Лоренца SO(1, 3).
Доказательство. Как уже упоминалось, условия (2) выполняются для базисных
элементов алгебры Ли группы Галилея
? ?
Pa = pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa ,
P0 = i , ,
?t ?xa
Ga = tpa ? mxa , M = mE, [xa , pb ] = i?ab , a, b = 1, 2, 3,
E — единичный орератор.
Доклады Академии наук СССР, 1977, 232, № 4, С. 800–801.
О новой алгебре инвариантности свободного уравнения Шредингера 403

Рассмотрим такой интегродифференциальный оператор
1 1
(pGa + Ga p) = t?a ? (xa p + pxa ),
J0a = p
2m 2 (3)
pa ? pa p/m; (p2 )1/2 (p2 p2 p2 )1/2 .
? p= = + +
a 1 2 3

Непосредственной проверкой можно убедиться, что операторы {Jab , J0a } удовле-
творяют коммутационным соотношениям алгебры Ли группы SO(1, 3):
[Jab , Jcd ]? = i(?ac Jbd ? ?bc Jad + ?bd Jac ? ?ad Jbc ),
[Jab , J0c ]? = i(?ac J0b ? ?bc J0a ), [J0a , J0b ]? = ?iJab .
Так как условия (2) выполняются для операторов pa и для операторов Ga , очеви-
дно, что оно будет выполняться и для функций J0a от этих операторов. Установ-
лением этого факта и доказана теорема.
Приведенный результат, конечно, не означает, что уравнение (1) инвариантно
относительно однородных преобразований Лоренца. Он означает лишь то, что на
множестве решений уравнения (1) реализуется какое-то представление алгебры Ли
группы SO(1, 3), базисные элементы которой задаются формулами (3). Последний
факт вытекает из того, что операторы J0a порождают конечные преобразования
координаты и импульса, отличные от преобразований Лоренца. Действительно,
xa = exp(iJ0b ?b )xa exp(?iJ0c ?c ) = xa ? (nx)na +
pa ? p a (pn)p (pn) 1 p p
?
+t + na + (nx)na + (nx)na ,
m mp m 2 p p
pa = pna sh ? + (pn)na ch ?,
x0 = t = t,
(pn) = ±p,
p = p ch ? + (pn) sh ?,

где na = ?a /?, ? = (?a )1/2 , n2 = 1.
2
a
Авторы благодарят А.Г. Никитина за полезные дискуссии.

1. Hagen C.R., Phys. Rev. D, 1972, 5, 377.
2. Niederer U., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, № 5, 802.
3. Boyer C.P., Kalnins E.G., Miller W. jr., J. Math. Phys., 1975, 16, № 3, 499.
4. Фущич В.И., Теор. и мат. физ., 1971, 7, № 1, 3–12.
5. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1974, 11, № 10, 508–509.
6. Фущич В.И., ДАН, 1976, 230, № 3, 570–573.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 404–426.

О новом методе исследования групповых
свойств систем дифференциальных
уравнений в частных производных
В.И. ФУЩИЧ
In this work there have been described in details a non-Lie method of the investigation
of symmetry properties of the systems of partial differential equations. Conditions which
are required for arbitrary system of differential equations to be invariant under the group
U (2) are found. Dual symmetry of the Dirac and Maxwell equations is established.
These equations have shown to be invariant under the transformations that don’t change
a time.

Введение
Почти сто лет назад выдающийся норвежский математик Софус Ли создал
теорию непрерывных групп. Он же предложил основные идеи и методы теоретико-
группового анализа дифференциальных уравнений.
Не ставя перед собой задачи об исследовании групповых свойств дифференци-
альных уравнений, Г. Лоренц [1] и А. Пуанкаре [2] получили один из наиболее
фундаментальных результатов в этой области, сыгравший революционизирующую
роль в физике. Именно Г. Лоренц в 1904 г., не будучи знакомым с только что со-
зданной теорией С. Ли, нашел преобразования, относительно которых уравнения
Максвелла инвариантны в случае отсутствия зарядов и токов.
Пуанкаре [2, 3], обобщая и дополняя результаты Лоренца, показал, что урав-
нения Максвелла и в случае присутствия зарядов и токов инвариантны относи-
тельно тех же преобразований, если при этом плотности электрических зарядов и
тока преобразуются соответствующим образом. Именно в этих статьях Пуанкаре
впервые установил и детально изучил одно из самых важных свойств этих пре-
образований — групповую структуру, назвав эти преобразования именем Лоренца.
Из этого результата следуют все основные законы сохранения формулы реля-
тивистской механики (правило сложения скоростей, формулы для энергии и им-
пульса и т.д.). Здесь уместно подчеркнуть, что в работах Пуанкаре впервые был
предложен теоретико-групповой подход для построения и анализа физической тео-
рии. В работах Лоренца, Пуанкаре, Эйнштейна построены основы новой механики
и новой электродинамики1 .
Бейтмен [4] и Кунингам [5] в 1909 г. доказали, что уравнения Максвелла инва-
риантны относительно конформной группы C4 , содержащей в качестве подгруппы
группу Лоренца. Совсем недавно было показано, что эта группа является макси-
мальной группой инвариантности в смысле С. Ли. (О современном развитии идей
и методов теории Ли см. книги Л.В. Овсянникова [6] и Н.Х. Ибрагимова [7] и
цитируемую там литературу).
Теоретико-групповые методы в математической физике, Сб. науч. тр., Отв. ред. Ю.А. Митрополь-
ский, В.И. Фущич, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1978, С. 5–44.
1 Принцип относительности, Сб. работ классиков релятивизма / Составитель А.А. Тяпкин. — М.:

Атомиздат, 1973. — 480 с.
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 405

В работах [8, 9] для исследования групповых свойств дифференциальных урав-
нений релятивистской квантовой механики предложен нелиевский метод. С его
помощью удалось обнаружить ранее неизвестную дополнительную SU (2) ? SU (2)
— группу инвариантности уравнений Максвелла (см. [10]). Этот метод получил
дальнейшее развитие и применение в работах [11–23]. Во второй статье настоя-
щего сборника результаты Бейтмана [4], Кунингама [5] и только что упомянутый
результат [11] объединены и усилены, т.е. доказано, что группой инвариантности
уравнения Максвелла является группаC4 ? GL(2) ? Gl(2).
Для дальнейшего важно сразу же указать на ограниченность метода С. Ли.
Как известно, он основан на инфинитезимальном подходе, поэтому алгебра инва-
риантности того или иного дифференциального уравнения ищется только в классе
операторов первого порядка. Из сказанного ясно, что для отыскания новых ал-
гебр, а значит и новых групп, инвариантности уравнений, которые в принципе
не могут быть найдены с помощью классического метода С. Ли, необходимо су-
щественно расширить класс операторов первого порядка. На основе этой идеи и
были получены новые результаты [8–22] для многих систем дифференциальных
уравнений.
Данная работа является дальнейшим развитием и обобщением нелиевского
подхода к системам дифференциальных уравнений, встречающихся в квантовой
механике. В ней, в частности, доказана теорема, устанавливающая при каких
условиях произвольная однородная система дифференциальных уравнений в ча-
стных производных инвариантна относительно группы GL(2).
Большой интерес представляет также задача, в некотором смысле обратная к
рассматриваемой в настоящей статье: описать все уравнения инвариантные относи-
тельно заданной группы. В списке литературы, начиная со ссылки [29] приведены
некоторые работы, выполненные в Институте математики АН УССР, которые по-
священы описанию дифференциальных и интегродифференциальных уравнений,
инвариантных относительно групп движения релятивистской и нерелятивистской
квантовой механики.
§ 1. Нелиевский метод
В этом параграфе сформулирован нелиевский алгоритм вычисления алгебр ин-
вариантности для линейных систем дифференциальных уравнений в частных прои-
зводных.
1. Большинство уравнений математической физики имеет вид n уравнений с
k неизвестными функциями ?1 (x), ?2 (x), . . . , ?k (x). В приложениях, особенно в
квантовой теории, часто встречаются однородные линейные системы первого н
второго порядков, которые могут быть записаны в виде
?
L(x, p)?(x) = {Aµ? (x)?µ p? + A? (x)?? + B(x)} ?(x) = 0, (1)
? p? p

<< Предыдущая

стр. 92
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>