<< Предыдущая

стр. 93
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где Aµ? (x), A? (x), B(x) — квадратные матрицы порядка k; x ? Rn , pµ = ig µ? ?x? ,
?
?
g µ? — метрический тензор с компонентами g 00 = ?g 11 = ?g 22 = · · · = ?g nn = 1,
по повторяющимся индексом подразумевается суммирование от 0 до n.
Будем предполагать, что элементы матриц A, B и компоненты вектора-столб-
ца ? = {?1 , ?2 , . . . , ?n } являются бесконечно дифференцируемыми функциями,
?
принадлежащими C0 (Rn ).
Типичным примером уравнения вида (1) является система Дирака
?p
L(?)?(x) = (?µ pµ ? m) ?(x) = 0. (2)
?
406 В.И. Фущич

Здесь x ? R4 — пространство Минковского, ?(x) — вектор-столбец с четырьмя
компонентами ? = {?1 , ?2 , ?3 , ?4 }, зависящими от x = (x0 , x1 , x2 , x3 ); m — по-
стоянный коэффициент, ?µ — четыре матрицы, удовлетворяющие алгебре Клиф-
форда–Дирака

(3)
?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? , µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4,

?4 = ?0 ?1 ?2 ?3 — антиэрмитова матрица, ?0 — эрмитова матрица.
Для отыскания алгебры инвариантности уравнения (2) удобно представить его
в шредингеровой форме
??(t, x1 , x2 , x3 ) ?p
= H(?)?(t, x1 , x2 , x3 ), (4)
i
?t
?p
H(?) = ?0 ?a pa + ?0 ?4 m, (5)
? a = 1, 2, 3.

Общепринятый гамильтониан Дирака получается из гамильтониана (5) с помо-
щью унитарного преобразования
1
HD = U H(?)U † = ?0 ?a pa + ?0 m, U = v (1 ? ?4 ).
? ?p (6)
?
2
Гамильтониан Дирака (5) является эрмитовым (даже существенно самосопряжен-
ным) оператором в гильбертовом пространстве H = (L2 (R3 ))4 , где квадрат нормы
вектора задается формулой
4

|?(x)| dx, |?(x)| = ? (x)?(x) = |?i |2 .
2 2 2
? =
i=1

Определение 1. Уравнение (1) инвариантно относительно некоторого множе-
? ? ?? ?
ства операторов Q = {Q? } = {Q1 , Q2 , . . . , QN }, если выполняются условия
? ?? (7)
L(x, p)QA ?(x) = 0, A = 1, 2, 3, . . . , N.

В этом определении, конечно, предполагается, что область значений операторов
? A , заданных на множестве всех решений ? уравнения (1), принадлежит области
Q
?
определения оператора L(x, p). Условие (7), которое в дальнейшем будем называть
?
?
условием инвариантности уравнения (1), означает, что операторы QA отображают
одно решение в другое, т.е. множество ? инвариантно относительно операторов
?
QA .
Иногда удобно условие инвариантности представить в виде коммутатора или
антикоммутатора:
? ?? (8)
[L(x, p), QA ]? ? = 0,

? ?? (9)
[L(x, p), QA ]+ ? = 0,

где ? — произвольное решение уравнения (1).
В операторной форме условие (8) можно записать в виде
? ?? ? (10)
[L(x, p), QA ]? = BA L(x, p),
?
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 407

где BA — некоторый оператор.
?
Определение 2. Если совокупность операторов {QA } образует вeктopнoe про-
странство с лиевским законом умножения, то будем говорить, что уравне-
ние (1) инвариантно относительно алгебры Ли.
?
Если операторы {QA } являются базисными элементами алгебры инвариантно-
сти, то это означает, что выполняются соотношения
?? ? (11)
[QA , QB ]? = fABC QC ,

где fABC — структурные константы алгебры.
Теперь задачу отыскания лиевской алгебры инвариантности уравнений типа (1)
можно сформулировать очень просто: требуется описать (по возможности наиболее
?
широкой) класс операторов {QA }, удовлетворяющих соотношениям (8), (11).
В дальнейшем главный упор делаем не на группы инвариантности уравнений,
а на алгебры инвариантности. Группу инвариантности отыскиваем по найденной
алгебре.
2. В инфинитеэимальном классическом подходе С. Ли эта задача сводится к
описанию операторов первого порядка вида
? ?
µ
? r
(12)
QA = ?A (x, ?) + ?A (x, ?) , µ = 0, 1, . . . , n; r = 0, 1, . . . , k,
?xµ ??r
удовлетворяющих соотношениям (8), (11), т.е. к описанию соответствующих фун-
µ r
кций ?A и ?A .
В настоящее время это направление группового анализа дифференциальных
уравнений (ДУ) получило существенное развитие в работах Л.В. Овсянникова и
его учеников и последователей. Ими разработаны и применены алгоритмы вычи-
сления групп инвариантности для многих уравнений механики сплошных сред.
Последние достижения в этой области подробно охарактеризованы в книге [6].
3. В подходе Ли основной акцент делается на групповой стороне задачи, по-
скольку существенно используются инфинитезимальные преобразования. Нас бу-
дет интересовать, прежде всего, алгебраическая стороны вопроса. Такое смещение
акцентов из группы на алгебру позволяет обнаружить ограниченность постановки
и метода С. Ли. Ограниченность его в следующем.
Во-первых, ДУ может быть инвариантно относительно некоторой совокупности
операторов {QA }, которые a priori не принадлежат конечной алгебре Ли. Напри-
мер, они могут образовывать алгебру Клиффорда, Йордана, супералгебру и т.д.
?
Во-вторых, искомые операторы QA в формуле (11) не всегда представимы в виде
(12).
Отсюда ясно, что задачу об исследовании алгебраических свойств ДУ можно
обобщить по меньшей мере в таких двух направлениях: 1) отказаться от требо-
?
вания (11), т.е. от условия, чтобы операторы {QA } принадлежали алгебре Ли;
?
2) существенно расширить класс искомых операторов QA , удовлетворяющих со-
отношениям (11), т.е. искать решения коммутационных соотношений (10), (11),
например, в классе псевдодифференциальных или интегродифференциальных опе-
раторов.
Именно в атом последнем направлении, который мы назовем нелиевским под-
ходом, и были получены первые результаты для уравнений Дирака и Максвелла.
408 В.И. Фущич

Главный и самый трудный вопрос, возникающий в связи с нелиевским под-
ходом к исследованию алгебраических свойств ДУ, состоит в следующем: каким
?
способом конструктивно описать (вычислить) операторы QA , не являющиеся опе-
раторами первого порядка, относительно которых множество решений ДУ остается
?
инвариантными? То есть, необходимо указать метод вычисления операторов {QA }.
Очевидно, что алгоритм Ли для этих целей непригоден.
Нелиевский метод исcлeдoвaния теоретико-групповых свойств систем ДУ в ча-
стных производных предложен в работе [8, 9]. Он состоит из следующих этапов:
1) система ДУ с помощью невырожденного преобразования приводится к кано-
ническому (или диагональному) виду, т.е. проводится максимальное расщепле-
ние системы ДУ на независимые (автономные) подсистемы; 2) находится алгебра
?
инвариантности (АИ) преобразованного уравнения; 3) если oпeрaторы {QA } АИ
удовлетворяют коммутационным соотношениями (11), то устанавливается, какое
представление алгебры Ли реализуют эти операторы в пространстве решений; 4)
с помощью обратного преобразования находится АИ исходного уравнения; 5) по
АИ вычисляется группа инвариантности ДУ.
4. В основе сформулированного алгоритма лежит одна из древних и, видимо,
самых плодотворных и эффективных идей в теории дифференциальных уравнений
— преобразования независимых и зависимых переменных. Приведем подробное
описание этого алгоритма.
Для наших целей важную роль будет играть понятие символа оператора
? p). Символом оператора L уравнения (1) является матрица вида
?
L(x, ?

L(x, p) = Aµ? (x)pµ p? + A? (x)p? + B(x), (13)

зависящая от переменных x = (x0 , x1 , . . . , xn ), p = (p0 , p1 , . . . , pn ). В более об-
?
щем случае символ оператора L обычно определяется с помощью преобразования
Фурье (подробно о символах см., например, в [24]):

L(x, p)?(x) = (2?)?n/2
? ?
L(x, p)ei(x,p) ?(p)dp, (14)
?
D(p)

?
? ?
где ? ? C0 (Rn ), ?(p) = F ?(x) — Фурье-образ ?(x), F — унитарный оператор
?? ?
Фурье, отображающий вектор из гильбертова пространства H в H; ?(p) ? H;
D(p) — область интегрирования;

(x, p) = g µ? xµ p? = g 00 x0 p0 + g 11 x1 p1 + · · · + g nn xn pn .
?
Связь между символом L(x, p) и его оператором L(x, p) задеется формулами
?

L(x, p) = F ?1 L(x, p)F,
? (15)
?

L(x, p) = F L(x, p)F ?1 .
? (16)
?

Формулы (15), (16) указывают путь реализации первого шага алгоритма. Дей-
ствительно, поскольку L(x, p) для уравнения (1) является переменной матрицей,
то задача о расщеплении уравнения (1) на максимальное число незацепляющихся
уравнений редуцируется к следующей матричной задаче: посредством некоторо-
го невырожденного преобразования W привести к диагональной или жордановой
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 409

форме матрицу (13) для произвольных p из D(p). Известно, что диагонализация
произвольной постоянной матрицы — это очень трудная проблема, имеющая ре-
шение только для специального класса матриц. В случае переменной матрицы
проблема приводимости матриц к каноническому виду существенно усложняется.
?
Кроме того, для отыскания явного вида операторов {QA } нам необходимо знать
явный вид операторов W и W ?1 , диагонализирующих (или приводящих к виду
Жордана) матрицу L(x, p).
Условие инвариантности (7) в терминах символов имеет вид
? (17)
L(x, p)Qa ?(p) = 0,

Qa = F QA F ?1 .
? (18)
? ?
При этом, конечно, нужно предполагать или доказывать, что QA ?(p) ? H, если
? ?
? ? H.
Рассмотрим случай, когда существует невырожденное преобразование W (x, p),
приводящее матрицу к диагональному виду:
? ?
f1 (x, p) 0 ... 0
? ?
0 f2 (x, p) . . . 0
L = W LW ?1 = ? ?. (19)
? ?
... ... ... ...
0 0 . . . fn (x, p)

В этом случае приходим к такому результату: если функции f1 (x, p), f2 (x, p), . . .,
fn (x, p) одновременно инвариантны относительно преобразований

(20)
x = ?(x, p), p = ?p (x, p),

образующих группу Ли, то уравнения (1) инвариантны относительно той же груп-
пы.
Преобразования вида (20) будем называть геометрическими преобразованиями.
Помимо геометрических преобразований уравнение (17) может быть инвариантным
относительно чисто матричных преобразований, т.е. преобразований над компо-
?
нентами вектор-функции ?(p). Условия, когда такая инвариантность возможна,
даются следующей теоремой.
Теорема 1. Если матрица L имеет двукратное собственное значение, то
уравнение (1) инвариантно относительно четырехмерной алгебры Ли группы
GL(2).
Доказательство. Не умаляя общности, можем считать, что f1 = f2 , тогда с ма-
трицей L (x, p) коммутирует следующий набор четырех независимых матриц:
?1 0 ?2 0 ?3 0 ?0 0
, (21)
Q1 = , Q2 = , Q3 = , Q4 =
0 0 0 0 0 0 0 0

где ?0 — единичная двухрядная матрица; ?a (a = 1, 2, 3) — двухрядные матрицы,
удовлетворяющие коммутационным соотношениям алгебры Ли группы SU (2):

[?a , ?b ] = 2i?abc ?c ,

?abc — антисимметричный тензор, ?123 = 1.
410 В.И. Фущич

<< Предыдущая

стр. 93
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>