<< Предыдущая

стр. 94
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


? ?
Операторы QA , коммутирующие с оператором L(x, p) исходного уравнения (1),
?
вычисляются по формулам

Qa = F ?1 (W ?1 QA W )F = (W F )?1 Qa W F,
? (22)

QA = W ?1 QA W , W = F ?1 W F.
? ? ?? ? (23)

Очевидно, что операторы Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , построенные по матрицам (21) с помо-
щью формул (22), (23), удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры
GL(2):
?? ? ?? (24)
[Qa , Qb ]? = 2i?abc Qc , [Q4 , Qa ]? = 0, a, b, c = 1, 2, 3.

Замечание 1. При приведении символа L(x, p) к диагональному виду и приме-
нении формул (22), (23) необходимо учитывать следующее. В символах L(x, p),
W (x, p) переменные x и p являются коммутирующими величинами. Для опера-
торов, вследствие некоммутативности x и p, ситуация существенно осложняется.
??
Этого усложнения иногда удается избежать, если оператор исходного уравнения
можно представить в виде формально симметричного оператора

K = L(x, p) + L? (?, x).
? ? ?p
?
?
Очевидно, что если L не зависит от x, то такие усложнения не возникают. В
?
дальнейшем будут рассматриваться операторы L, не зависящие от x.
Замечание 2. Если матрица L имеет более чем два кратных собственных значе-
ния, то алгебра инвариантности уравнения (1) будет шире алгебры GL(2). Иначе
говоря, чем больше кратность собственных значений матрицы L , тем шире алге-
бра инвариантности уравнения (1).
Замечание 3. В том случае, когда матрица L(x, p) не может быть приведена к ди-
агональному виду посредством невырожденного преобразования, ее следует при-
вести к форме Жордана. Применение этой формы существенно облегчает задачу
отыскания алгебры инвариантности.
Зная алгебру инвариантности, по формулам
? ?
xµ = exp{iQa ?A }xµ exp{?iQB ?B }, (25)
µ = 0, 1, . . . , n,

?
? (x) = exp{iQA ?A }?(x) (26)

находим преобразования для зависимых и независимых переменных, относительно
которых уравнения (1) инвариантны. Здесь ?A — параметры группы инвариантно-
сти.
Замечание 4. Теорема 1 остается верной и в том случае, когда матрица L
имеет жорданову форму, один из блоков которой является диагональной матрицей
с двумя совпадающими элементами.
Приведенный алгоритм может быть успешно применен и к некоторым нелиней-
ным уравнениям, если последние с помощью обратимого преобразования сводятся
к линейным уравнениям.
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 411

Чаще всего L(x, p), встречающиеся в задачах квантовой механики, являются
матрицами высокого порядка и содержат малое число ненулевых элементов. По-
этому имеет, видимо, смысл создать вычислительные программы для приведения
таких разреженных матриц к канонической форме.
В заключение следует отметить, что применение и полная реализация описан-
ного алгоритма к конкретным системам дифференциальных уравнений в частных
производных, встречающихся в математической и теоретической физике, представ-
ляет собой отдельную, иногда весьма трудную, задачу.
§ 2. Теоретико-алгебраический анализ уравнения Дирака
Применим описанный алгоритм к уравненную (4). Детальное рассмотрение это-
го алгоритма для уравнения Дирака существенно для нас потому, что его изложе-
ние содержит все элементы, присущие уравнениям и более общего вида, исследо-
ванным в настоящем сборнике.
1. Прежде всего применим теорему 1 к уравнению (4). Символ гамильтониана
Дирака

H(p) = ?0 (?a pa + ?4 m), ?? < pa < ?, (27)

не зависит от переменной x. Это обстоятельство значительно упрощает задачу
реализации первого шага алгоритма — приведение матрицы H(p) к диагонально-
му виду. Поскольку матрицы ?µ между собой не коммутируют, то невозможно
привести их одновременно к диагональному виду. Можно, конечно, выбрать явное
представление для матриц Дирака и, записав H(p) в виде одной матрицы, попыта-
ться привести ее к диагональному виду. Это действительно нетрудно сделать, но
мы поступим иначе.
Воспользуемся свойством символа гамильтониана Дирака, а именно:
?
H2 (p) = p2 + m2 I, (28)
a

?
где I — единичная четырехрядная матрица. В силу эрмитовости матрицы H(p)
для произвольных действительных pa и условия (28) с помощью некоторого не-
вырожденного преобразования W (p) матрица H приводится к диагональному виду

H (p) = W (p)H(p)W ?1 (p) = ?0 E, (29)

где
? ?
1 00 0
?0 0?
10
?0 = ? ?, E = (p2 + p2 + p2 + m2 )1/2 . (30)
?0 0 ?1 0 ? 1 2 3

0 0 ?1
0

Принимая во внимание явную структуру H (p) и используя теорему 1, приходим
к следующему результату.
Теорема 2. Уравнение (4) инвариантно относительно алгебры Ли группы GL ?
GL(2) ? SU (2) ? SU (2).
Приведенное краткое доказательство одного из результатов работ [8, 9] обла-
дает тем недостатком, что явно не указаны матрицы W (p), а значит и операторы
?p ?
W (?), с помощью которых находятся базисные элементы {QA } алгебры Ли группы
412 В.И. Фущич

GL(2). Имеется много матриц, приводящих H(p) к диагональному виду. Восполь-
зовавшись предыдущей теоремой, легко описать целый класс невырожденных ма-
триц, приводящих H(p) к диагональному виду.
Обозначим через V (p) какую-то одну из множества матриц, диагонализирую-
щих H(p).
Теорема 3. Произвольное невырожденное преобразование W (p), приводящее
H(p) к виду (29), задается формулой
W ?1 = T ?1 V ?1 .
W (p) = V · T, (31)
Здесь T — произвольная невырожденная матрица, принадлежащая алгебре
GL(2) ? GL(2).
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что GL(2) ? GL(2)
является максимальной алгеброй, коммутирующей с матрицей H(p).
Замечание 5. Все известные в литературе преобразования (в том числе и исто-
рически первое преобразование Прайса–Фолди–Воутхойэена [25, 26] и многие
другие), диагонализирующие гамильтониан Дирака, имеют структуру (31).
2. Как пример такого преобразования можно выбрать переменную матрицу вида
(см. [8, 9]):
? ?0 H(p) ?0 H
1
=v (32)
W (p) = exp 1+ ,
4E E
2
E = 0 для всех ?? < pa < ?. По формуле (15) находим унитарное интегральное
преобразование
?p
H(?)
1
W (?) = F ?1 W (p)F = v
?p (33)
1 + ?0 ,
?p
2 E(?)
1/2
?p
где E(?) = p2 + m2 — псевдодифференциальный оператор. Ввиду того, что
a
символ W (p) не зависит от x, формула (33) получается из (32) простой заменой
переменных pa операторы pa = ?i ?xa .
?
?
?p
Действуя оператором W (?) слева на уравнение (4), получаем
??(t, x1 , x2 , x3 ) ?p
= H (?)?(t, x1 , x2 , x3 ), (34)
i
?t
H (?) = W (?)H(?)W ?1 (?) = ?0 E(?),
?p ? p ?p ?p (35)
p
? ?
?1
?? ?
?(t, x) = W (?)?(t, x) = ? 2 ? .
?p (36)
? ?3 ?
?4
Уравнение (34) представляет собой расщепленную систему четырех псевдодиффе-
ренциальных уравнений вида
??a (t, x) ?p
i = E(?)?a (t, x), a = 1, 2,
?t
(37)
??a+2 (t, x) ?p
= ?E(?)?a (t, x),
i a = 1, 2.
?t
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 413

?p
Очевидно, что с оператором H (?) коммутируют такие восемь матриц:
i ?
(?k ?l ? ?l ?k ), (38)
Skl = k, l = 1, 2, 3, 4, S05 = ?0 , S00 = I.
4
Эти матрицы удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Skl , Snr ]? = i(gkr Sln ? gnk Slr + gln Skr ? glr Snk ),
(39)
[Skl , S50 ]? = 0, [Skl , S00 ]? = 0.
Матрицы Skl образуют базис шестимерной алгебры Ли группы O(4) ? SU (2) ?
SU (2). Вычисляя собственные значения операторов Казимира алгебры O(4), не-
трудно показать, что эти матрицы реализуют следующее представление:
1 1
, 0 ? D 0, (40)
D .
2 2
? ?p?p?
Базисные элементы {QA , A = 1, 2, . . . , 8} = {Skl (?), S50 (?), S00 } алгебры GL(2)
?GL(2) ? O(4), относительно которой исходное уравнение (4) инвариантно, вычи-
сляются по формуле

Skl (?) = W ?1 (?)Skl W (?) = Skl + ?kl (?),
?p ? ?p ?p
p

?kl (?) = (S5k pl ? S5l pk ) E ?1 (?) ? 2iS5r pr E ?2 (?) ,
?p ? ??
? ? p p
(41)
?p
H(?)
?p ?
S05 (?) = , S00 = I, k, l, r = 1, 2, 3, 4.
?p
E(?)
Из формулы (41) видно, что базисные элементы алгебры являются интегродиф-
ференциальными операторами. Вся интегральность в формулах (41) содержится в
?p
операторе E(?), который является корнем квадратным из положительного опера-
? ?p
тора E 2 = p2 +m2 . E(?) можно задавать как с помощью символа, так и с помощью
a
формулы
1/2
E(?)?(x) = (2?)?n
?p eip(x?y) p2 + m2 ?(y) dpdy.
a


Подытожим все сказанное в виде следующего утверждения.
Теорема 4. Алгеброй инвариантности уравнения Дирака является восьмимер-
ная алгебра GL(2) ? GL(2), базисные элементы которой задаются интегро-
дифференциальными операторами (41).
3. Хорошо известно, что уравнение Дирака инвариантно относительно алге-
?
бры Пуанкаре P (1, 3), базисные элементы {QA } = {Pµ , Jµ? } которой задаются
дифференциальными операторами первого порядка:
?
Pµ = pµ = ?ig µ?
? , µ, ? = 0, 1, 2, 3,
?x?
(42)
i
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , Sµ? = [?µ , ?? ]? .
4
Нетрудно проверить, что совокупность операторов (41) и (42) не образует алге-
бру Ли.
414 В.И. Фущич

Итак, уравнение Дирака обладает двумя типами симметрии: с одной сторо-
ны, имеется инвариантность относительно 10-мерной алгебры P (1, 3), обусловлен-
ная инвариантностью относительно пространственно-временных преобразований, с
другой, — инвариантность относительно 8-мерной алгебры (41), обусловленная ин-
вариантностью относительно преобразований компонент вектор-функции ?(x).
Возникает естественное желание объединить эти две симметрии, т.е. найти
18-мерную алгебру G инвариантности уравнения (2), содержащую в качестве по-
далгебры алгебры P (1, 3) и GL(2) ? GL(2). В работе [19] такое объединение осу-
ществлено.
Теорема 5 [9]. Алгеброй инвариантности уравнения Дирака является 18—мер-
ная алгебра Ли, базисные элементы которой задаются дифференциальными
операторами (42) и интегродифференциальными операторами

<< Предыдущая

стр. 94
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>