<< Предыдущая

стр. 95
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?p
? ? ? p? (43)
Qab = Sab + ?ab (?), a, b = 1, 2, 3, Q0a = iS05 (?)Qbc ,

i
? ?p
?ab = (?a pb ? ?b pa ){1 + i?4 S05 (?)}. (44)
? ?
m
Доказательство этой теоремы осуществляется с помощью конкретной реализа-
ции указанного алгоритма. Интегральный оператор, расщепляющий систему (2)
на четыре независимых уравнения, имеет вид

S4a pa
? p
? Sab pc
? p
?
?p arctg arctg
W (?) = exp i exp ,
?p
p
? m p
? E(?)
p = (p2 + p2 + p2 )1/2 .
? 1 2 3

Все приведенные выше результаты верны и для произвольного пуанкаре-ин-
вариантного ДУ, описывающего свободное движение частицы со спином s > 1 . 2
Существует только одно пуанкаре-инвариантное уравнение движения для частицы
и античастицы с нулевой массой и спином s = 1 , а именно двухкомпонентная
2
система Вейля
??(t, x ) ?1
i = ?a pa ?(t, x),
? ?= ,
?2
?t
не обладающая дополнительной симметрией SU (2) ? SU (2).
Уравнение Максвелла (в вакууме) дополнительно инвариантно относительно
группы GL(2) ? GL(2).
Сформулированные выше теоремы можно перенести (и усилить) и на системы
более общего вида, например системы уравнений с постоянными матрицами

(Sn+1,µ pµ + Sn+1,n+2 ) ?(x) = 0, (45)
? µ = 0, 1, . . . , n,

где матрицы Sn+1,µ , Sn+1,n+2 вместе с матрицами Sµ? , Sµ,n+2 реализуют прои-
звольное конечномерное представление алгебры Ли группы O(1, n + 2). В класс
уравнений вида (45) входит система уравнений Максвелла в (1 + n)-мерном про-
странстве Минковского:
?Fµ? (x) ?F?? (x) ?F?µ (x) Fµ?
(46)
+ + = 0, = 0, ? = 1, 2, . . . , n.
?x? ?xµ ?x? ?x?
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 415

Для бесконечной системы ДУ вида (45) описанный алгоритм работает так же
эффективно (см. [18]).
4. Уравнения Дирака и Максвелла принадлежат к гиперболическим системам.
Они, как мы показали, обладают O(4)-симметрией. Выясним теперь такой вопрос:
обладают ли такой же симметрией ультрагиперболические и эллиптические систе-
мы уравнений?
Рассмотрим уравнения типа Дирака в четырехмерном пространстве Минков-
ского, где длина вектора задается формулой
x2 = x2 ? x2 ? x2 + x2 , (47)
x0 = t.
0 1 2 3

В этом пространстве уравнение типа Дирака имеет вид
(?0 p0 ? ?1 p1 ? ?2 p2 ? i?3 p3 ) ?(x) = m?(x). (48)
? ? ? ?
Система (48) , как и обычные уравнения Дирака и Максвелла, заданные в (1 + n)-
мерном пространстве Минковского, обладает тем важным свойством, что из нее с
помощью исключения неизвестных функций получаем одно и то же дифференци-
альное уравнение второго порядка для всех компонент ?k вектор-функции ?:
p2 ? p2 ? p2 + p2 ?k (x) = m2 ?k (x). (49)
?0 ?1 ?2 ?3
Именно это свойство уравнений типа Дирака и Максвелла является истинной
первопричиной дополнительной O(4)-симметрии. В других терминах это означает,
что характеристические многообразия (формы) одни и те же для обоих типов
уравнений.
Теорема 6. Уравнение (48) инвариантно относительно алгебры O(4).
Доказательство не приводим, так как оно аналогично доказательству теоре-
мы 4. Оператор невырожденного преобразования, расщепляющий систему (48) на
четыре независимых псевдодифференциальных уравнения
1/2
?4 p2 ? p2 ? p2 + p2 ?(t, x) = m2 ?(t, x), (50)
?0 ?1 ?2 ?3
имеет вид
?0 p0 ? ?1 p1 ? ?2 p2 ? ?3 p3
1 ? ? ? ?
W (?) = v
?p ?p
1 + ?4 , ?(t, x) = W (?)?(t, x).(51)
1/2
? ?
2 (?2 p2 p2 p2 )
p0 ?1 ?2 + ?3
Эллиптическая система ДУ вида
(?0 p0 ? i?1 p1 ? i?2 p2 ? i?3 p3 ) ? = m? (52)
? ? ? ?
обладает той же симметрией, что и уравнение (22).
Если из системы (52) найти уравнения для компонент вектор-функции ?, то
получим для каждой компоненты ?k уравнение Гельмгольца в четырехмерном
пространстве
p2 + p2 + p2 + p2 ?k (x) = m2 ?k (x). (53)
?0 ?1 ?2 ?3
Вкратце резюмировать сказанное в этом пункте можно так: уравнения (2),
(48), (52) инвариантны относительно различных пространственно-временных (ге-
ометрических) преобразований, но все они обладают одной и той же (негеометри-
ческой) O(4)-симметрией.
416 В.И. Фущич

Рассмотренные нами системы являются уравнениями гиперболического и элли-
птического типа. Существуют и параболические системы ДУ, обладающие O(4)-
симметрией (см. [26]).
Нетрудно выписать систему ДУ, которая не обладает никакой геометрической
симметрией, но обладает негеометрической симметрией.
Для полноты упомянем, что нелиевский алгоритм был применен к более сло-
жным системам, чем уравнения Дирака.
Рассмотрим систему уравнений первого порядка вида

(?µ pµ ? m) ?(t, x) = 0, (54)
? µ = 0, 1, 2, 3,

где постоянные матрицы ?µ удовлетворяют алгебре

(55)
?µ ?? ?? + ?? ?? ?µ = ?µ g?? + ?? g?µ .

Система (54), известная в литературе как уравнения Кеммера–Деффина–Петье
(КДП), представляет собой систему пяти уравнений, если неприводимое представ-
ление алгебры (55) реализовать матрицами 5 ? 5, либо систему десяти уравнений,
если неприводимое представление алгебры (55) реализовать матрицами 10 ? 10.
Матрицы ?µ вырождены и обладают большим числом нулей.
?
Оператор L = ?µ pµ в том случае, когда матрицы ?µ реализуют пятимерное
?
представление алгебры (55), имеет трехмерное нуль-пространство. Если матрицы
? ?
L реализуют 10-мерное представление, то оператор L имеет четырехмерное нуль-
пространство.
В работе [14] доказано, что уравнение КДП обладает SU (3)-симметрией.
5. В заключение этого параграфа укажем на несколько уравнений, для которых
интересно и важно (с физической точки зрения) применить описанный алгоритм.
1. Уравнения Максвелла в различных средах.
2. Уравнения теории гравитации.
3. Уравнения статистической физики — уравнения Больцмана, Фоккера–План-
ка, Власова, Боголюбова.
4. Уравнение Ламе.
5. Уравнение, описывающее распространение волн в кристалле:

? 2 ?l (t, x) ? 2 ?k (t, x)
?klnm (x) = ?(x) .
?t2
?xn ?xm
6. Уравнения типа Дирака с потенциалами, например

{?µ pµ + ?µ xµ (1 + ?x? x? ) ? m} ?(x) = 0,
?
?µ pµ ? ?1 Jµ? J µ? + ?2 ?µ??? J µ? J ?? ?(x) = 0,
?

?1 , ?2 — некоторые параметры.
7. Интегро-дифференциальное уравнение вида

? ?
(S p)2 (S p)3
??(t, x) ?
i = a1 (S p) + a2 2 + a3 3 ?(t, x),
?t p
? p
?
1/2
p ? p2 + p2 + p2
p? = 0,
? ? ?1 ?2 ?3 .
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 417

Если в этом уравнении матрицы S = (S1 , S2 , S3 ) реализуют представление
D(1, 0) ? D(0, 1) алгебры Ли группы SU (2) ? SU (2), a1 = ?2 — матрица Паули
размерности 6 ? 6 и a2 = a3 = 0, то такое уравнение совпадает с уравнением
Максвелла. Представляет так же интерес исследовать уравнение типа Максвелла
с нелинейным членом
?? ?
= ?2 (S p )? + ?(?+ ?)?,
i
?t
где ? — вектор-столбец, компонентами которого являются вектора электрического
E и магнитного H полей, ?+ = (E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 ) — вектор-строка.
8. Система уравнений

p 2 + p2 + p2
??(t, x) ?1 ?2 ?3 2 2 2
i = + a0 (S1 + S2 + S3 ) + a1 (S1 p1 + S2 p2 + S3 p3 )+
? ? ?
?t 2m

+a2 (S1 p1 + S2 p2 + S3 p3 )2 + a3 (S1 p1 + S2 p2 + S3 p3 )3 ?(t, x).
? ? ? ? ? ?


Эту систему можно рассматривать как определенное обобщение известного ска-
лярного уравнения Шредингера, описывающего движение частицы со спином в
нерелятивистской квантовой механике. Если положить параметры a0 = a1 = a2 =
a3 = 0, такое уравнение совпадает с уравнением Шредингера, описывающим дви-
жение бесспиновой частицы. В квантовой механике, построенной на основе этой
системы уравнений, энергия свободной частицы, обладающей спином s, определя-
ется формулой

p2
+ a0 S 2 + a1 Sp + a2 (Sp )2 + a3 (Sp )3 . (56)
E(p, s) =
2m
Для бесспиновых частиц s = 0 эта формула совпадает с общепринятой формулой
для энергии частицы в квантовой механике

p2
E(p) = .
2m
Особенность формулы (56) состоит в том, что спиновые s и импульсные пере-
менные p входят в нее на равных правах, т.е. имеется симметрия между импульсом
и спином. Общепринятая формулировка нерелятивистской квантовой механики не
обладает такой симметрией. Если спин частицы, как это принято считать, есть
такая же степень свободы, как и координата частицы, то формула (56) отражает
этот факт.
9. Система уравнений второго порядка

?2 ?
Aµ? x2 + Aµ x2 + B x2 ?(x) = f x2 ,
µ ?x? µ
?x ?x

где Aµ? x2 , Aµ x2 , B x2 — квадратные матрицы, зависящие от x2 = x2 ? x2 ?
0 1
x2 ? x3 , f x — заданная вектор-функция.
2 2 2
418 В.И. Фущич

10. Система шести обыкновенных уравнений четвертого порядка

d4 x1 d2 x1 dx1 dx2 d2 x1 d2 x2
? 4 + ?1 2 = F1 x1 , x2 , , , , ,
dt dt dt2 dt2
dt dt
d4 x2 d2 x2 dx1 dx2 d2 x1 d2 x2
? + ?2 2 = F2 x1 , x2 , , , , .
dt4 dt dt dt2 dt2
dt
Эту систему следует рассматривать как обобщение уравнений Ньютона для двух
взаимодействующих частиц. Системы такого типа могут быть получены из обоб-
щенного уравнения Эйлера–Лагранжа, впервые предложенного М.В. Остроград-
ским [28]. Функция Лагранжа в механике Остроградского зависит от производных
произвольного порядка.
Геометрическая группа инвариантности этой системы уравнений, порожденная
преобразованиями в пространстве E(3) ? E(1), значительно шире группы Галилея
— десятипараметрической группы движений классической механики. Кроме то-
го, эта система уравнений при определенных F1 и F2 обладает негеометрической
группой инвариантности.
11. Бесконечная цепочка линейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний второго порядка

d2 x1
m1 = (a1 + a2 )x1 + a2 x2 ,
dt2
·······································
d2 xn
mn 2 = an xn?1 + (an + an+1 )xn + an+1 xn+1 ,
dt

<< Предыдущая

стр. 95
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>