<< Предыдущая

стр. 96
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

·······································
n = 1, 2, 3, . . .; m1 , m1 , a1 , a2 , . . . , an — постоянные величины.
12. Система обыкновенных ДУ
? ?
x1 (t)
? x2 (t) ?
N
dk X(t) ? ?
X(t) = ? . ?,
Ak (t) = f (x1 , x2 , . . . , xn ),
?. ?
k
dt .
k=0
xn (t)

Ak (t) — переменные матрицы.
13.
? ?
?(t, x) = ??0 m + ?1 p 2 + ?2 ?1 p2 + ?2 p2 + ?3 p2 ?(t, x) + ?3 ?+ ?.
i ?1 ?2 ?3
?t
14.
?
? p2
i ?(t, x) = m+ + ?1 (?1 p2 p3 + ?2 p3 p1 + ?3 p1 p2 ) ?(t, x)+
?? ?? ??
?t 2m
+?2 ?+ ?0 ? + ?3 ?+ ?,
v
?0 p2 + 2p0 (?1 p1 + ?2 p2 + ?3 p3 ) + i?4 p2 ?(t, x)?
0 a

?m2 ?(t, x) ? ??+ ?0 ? = 0.
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 419

15.
?0 p2 ? ?1 p2 ? ?2 p2 ? ?3 p2 ?(t, x) = m2 ?(t, x) + ??+ ?0 ?.
?0 ?1 ?2 ?3
16.
v
?0 p 2 ? ? 1 p 2 ? ? 2 p 2 ? ? 3 p 2 ?
?0 ?1 ?2 ?3 2 (?4 p1 p2 + ?5 p1 p3 + ?6 p2 p3 ) ?(t, x) =
?? ?? ??

= m2 ?(t, x) + ??+ ?0 ?.
Здесь ?0 , ?1 , . . . , ?6 — базисные элементы алгебры Клиффорда. Нижайшее не-
приводимое представление этой алгебры реализуется восьмирядными матрицами.
В этом случае ? — вектор-столбец с компонентами {?1 , ?2 , . . . , ?8 }. При ? = 0
эта система не эллиптическая, не параболическая и не гиперболическая, т.е. это
система уравнений промежуточного типа. Она инварианта, как и система (15),
относительно негеометрических преобразований, образующих группу U (2) ? U (2).
17. Уравнения для специальных функций. Для исследования групповых сво-
йств произвольного обыкновенного дифференциального уравнения (в том числе и
уравнений для специальных функций) следует поступить следующим образом: за-
менить одно обыкновенное дифференциальное уравнение высокого порядка экви-
валентной системой ДУ первого порядка
dxi
= Fi (t, x1 , x2 , . . . , xn ), i = 1, 2, . . . , n,
dt
затем воспользоваться тем известным фактом, что система обыкновенных ДУ
эквивалентна одному линейному ДУ с частными производными первого порядка с
переменными коэффициентами
??(t, x1 , x2 , . . . , xn ) ??(t, x1 , x2 , . . . , xn )
+ Fi (t, x1 , x2 , . . . , xn ) = 0.
?t ?xi
Групповые свойства этого уравнения в частных производных можно изучить с
помощью лиевского или нелиевского метода.
Отметим также, что, воспользовавшись указанной эквивалентностью, можно
решить и обратную задачу группового анализа, описать всевозможные системы
обыкновенных ДУ, инвариантные относительно групп движений нерелятивистской
и релятивистской механики (групп Галилея и Пуанкаре). При решении обратной
задачи можно использовать методы работ [28–46] . Более подробно все эти вопро-
сы будут рассмотрены в других наших публикациях.
18. Интегро-дифференциальная система вида

?B ?D
p2 E, p2 H.
= a1 rot E + a2 = b1 rot H + b2
?a ?a
?t ?t
Если в этом уравнении положить a2 = b2 = 0, a1 = ?1, b1 = 1 и добавить усло-
вие div D = 0 = div B, B = H, D = E, то оно совпадет с уравнением Максвелла в
вакууме. В этом случае, когда a1 = b1 = 0, a2 = b2 = 1, B = µH, D = ?E, уравне-
ние инвариантно относительно 10-мерной алгебры Пуанкаре(геометрическая сим-
метрия) и алгебры Ли группы U (3) ? U (3) (негеометрическая симметрия).
Следует отметить, что для исследования групповых свойств такой псевдодиф-
ференциальной системы совершенно не пригоден лиевский метод, несмотря на то,
420 В.И. Фущич

что уравнение обладает очевидной симметрией относительно группы трехмерных
вращений и сдвигов.
19. Система уравнений четвертого порядка

p0 E = a0 H + c0 E + a1 rot H + c1 rot E+
?
+a2 p2 H + c2 p2 E + a4 (?2 )2 H + c4 (?2 )2 E,
?a ?a pa pa
p0 H = b0 E + d0 H + b1 rot E + d1 rot H+
?
+b2 p2 E + d2 p2 H + b4 (?2 )2 E + d4 (?2 )2 H,
?a ?a pa pa
где a, b, c, d — постоянные величины или функции от инвариантов электромагни-
тного поля z1 = E H и z2 = E 2 ? H 2 . К этим уравнениям можно добавить условия
типа div H = 0 или другие граничные условия, диктуемые конкретной физической
задачей.
20. Система уравнений второго порядка

p2 ? p2 E = f1 (z1 , z2 )E + f2 (z1 , z2 )H,
?0 ?a
p2 ? p2 H = g1 (z1 , z2 )E + g2 (z1 , z2 )H.
?0 ?a
21. Уравнения

p2 E = 0, p2 H = 0,
?µ ?µ

со всевозможными дополнительными условиями (например, типа div H = div E),
при которых вся система уравнений будет совместна и инвариантна относительно
конформной группы, или группы Лоренца, или других групп преобразований в
четырехмерном пространстве.
22. Уравнение Дирака в кривом пространстве

? µ (x)?µ ?(t, x) = m?(t, x), [?µ (x), ?? (x)]+ = 2gµ? (x).

Замечание к задаче 4. С помощью нелиевского метода можно показать, что,
в случае отсутствия массовых сил в уравнении Ламе, алгеброй инвариантности
его является 10-мерная алгебра Пуанкаре. На самом деле это уравнение инвари-
антно относительно более широкой алгебры — 15-мерной комформной алгебры.
При этом базисные элементы собственно конформной подалгебры являются неко-
торыми функциями базисных элементов алгебры Пуанкаре. Более подробно этот
вопрос будет освещен в другом месте.
Замечание к задаче 17. Уравнения для специальных функций — уравнения
второго порядка. Поэтому весьма эффективным способом установления алгебр
инвариантности таких уравнений может служить идея факторизации оператора
второго порядка в виде произведения двух операторов (операторов рождения и
уничтожения) первого порядка. Оказывается, что в большинстве случаев эта идея
конструктивно работает и дает простой алгоритм вычисления нетривиальных ал-
гебр инвариантности уравнений для специальных функций.
Для всестороннего изучения теоретико-групповых свойств перечисленных
уравнений естественно воспользоваться как лиевским, так и нелиевским методом.
Такой синтез особенно плодотворен для систем дифференциальных уравнений.
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 421

§ 3. Двойственная инвариантность уравнений
релятивистской квантовой механики
В работах [11, 12, 17] установлено, что уравнения Максвелла, Дирака, Клейна–
Гордона–Фока (КГФ) и многие другие уравнения релятивистской квантовой меха-
ники инвариантны относительно пространственных и временных преобразований,
не совпадающих с преобразованиями Лоренца. Важно подчеркнуть, что при этих
преобразованиях временная координата не изменяется: t = t. Ниже рассмотрим
подробно эту нелоренцовскую инвариантность для уравнений КГФ.
1. Известно, что уравнение (КГФ)
? ??
L = p2 ? p2 ? p2 ? m2 (57)
L?(x) = 0, ?1 ?2
0

инвариантно относительно группы Пуанкаре. В терминах алгебры Ли это значит,
что для десяти операторов {QA } ? {Pµ , Jµ? } удовлетворяется условие инвариан-
тности (7). Эти базисные элементы алгебры P (1, 3) имеют явную структуру:
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
Pµ = pµ = ig µ?
I I
(58)
? , ? ? µ, ? = 0, 1, 2, 3.
?x?
Операторы (58) порождают преобразования Лоренца:

xµ = exp{iJ?? ??? }xµ exp{?iJ?? ??? } = ?? x? ,
µ
(59а)
xµ = exp{iP? a? }xµ exp{?iP? a? } = xµ + aµ ,

pµ = exp{iJ?? ??? }pµ exp{?iJ?? ??? } = ?? p? , µ, ?, ?, ?, ?, ? = 0, 1, 2, 3. (59б)
µ

Здесь ??? — шесть действительных параметров, задающих общее преобразование
Лоренца; a? — четыре действительных параметра, задающих группу трансляций
в 4-мерном пространстве Минковского; ?? — элементы матрицы Лоренца ?.
µ
Квадратичные формы в конфигурационном R4 (x) и импульсном R4 (p) про-
странствах

S(t, x) = x2 ? x2 = (x0 )2 ? (xa )2 = S(t , x ), (60)
0 a


S(p0 , p) = p2 ? p2 = (p0 )2 ? (pa )2 = S(p0 , p a ) = m2 (61)
0 a

инвариантны относительно преобразований (59).
Выясним такой вопрос: существует ли алгебра инвариантности уравнения КГФ
, которая бы для пространственных x = (x1 , x2 , x3 ) и временной переменной x0 = t
порождала геометрические преобразования, отличные от преобразований (59а)?
На поставленный вопрос имеется отрицательный ответ, если алгебру инвари-
антности уравнения (57) искать в классе операторов первого порядка. Это значит,
что в подходе Ли такая алгебра не может быть найдена. Однако в более общем
подходе (см. § 1), когда ищется алгебра инвариантности в классе интегродиф-
ференциальных операторов, существует положительный ответ на поставленный
вопрос (теорема 7).
С помощью стандартной замены

p0 ? = ??, (62)
? ? = ?2 , p0 ? = 0,
?
422 В.И. Фущич

где ? — постоянная величина, введенная из размерностных соображений, урав-
нение (57) сводится к эквивалентной системе двух уравнений первого порядка
относительно временной производной:

?1
?
p0 ?(t, x) = H?(t, x), (63)
? ?= ,
?2

1 ?2 1/2
?p ? ?
H(?) = E + ? 2 ?1 ? i?2 E 2 ? ? 2 , E = p 2 + m2 (64)
?a ,
2?

0 ?i
01 10
?1 = , ?2 = , ?3 = .
0 ?1
10 i0

Теорема 7. Уравнение (63) инвариантно относительно 10-мерной алгебры Ли с
базисными элементами:
?p
P0 = H(?), Jab = Jab = xa pb ? xb pa ,
II II II
Pa = p a ,
? ? ?
1? ?p
J0a = x0 pa ? xa H(?) + H(?)xa + ? II (?),
II
? p p
(65)
2
?p
H(?)
? II = ?i?a
p , a, b, c = 1, 2, 3,
?
2E 2
которая порождает нелоренцовские преобразования

xa = exp{iJab ?0b }xa exp{?iJ0c ?0c } = ?µ xµ , (66)
a

t = exp{iJ0b ?0b }t exp{?iJ0c ?0c } = t. (67)

Доказательство. Формулы (65) задают явную структуру операторов {QA } ?
{P0 , Pa , Jab , J0a }, поэтому в справедливости первой части теоремы можно убе-
II II II II

диться непосредственной проверкой условий (7) и (11). Условие инвариантности в
данном случае имеет вид
? ?p
? H(?), QA (68)
i ?(t, x) = 0, A = 1, 2, . . . , 10.
?t ?

Более простой и элегантный путь доказательства, указывающий метод нахо-
ждения операторов (65), состоит в реализации алгоритма § 1 для уравнения (63).

<< Предыдущая

стр. 96
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>