<< Предыдущая

стр. 97
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

С помощью невырожденного преобразования (см. [12])

H(?)
1 p
W (?) = v 1 + ?3
?p (69)
,
?p
2 E(?)

уравнение (63) преобразуется к двум незацепляющимся уравнениям
??(t, x) ?p
= H (?)?(t, x), (70)
i
?t

?1
?p ?p ?p
H(?) = ?3 E(?), (71)
W (?)? = ? = .
?2
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 423

Условие инвариантности для уравнения (70) имеет вид

? ?p
? H (?), QA (72)
i ? = 0.
?t ?

Теперь легко убедиться, что операторы
(2) (2)
?p ?
= H (?) = ?3 E, (2)
P0 P a = pa ,
? Jab = Jab ,
(73)
1
(2) ?p ?p
J0a = xa pa ? {xa H (?) + H (?)xa },
? x0 = t
2
удовлетворяют условию (72) и образуют 10-мерную алгебру Пуанкаре. Явная стру-
ктура операторов (65), удовлетворяющих, очевидно, условию (68), получается из
операторов (73) с помощью формулы (23), т.е.

Pa = W ?1 H W, J0a = W ?1 J0a W . (74)
(2) (2) ?
? ? ?
II II (2) II II
P a = Pa , Jab = Jab ,

Осталось показать, что операторы (65) порождают нелоренцовские преобразо-
вания (66), (67) и что при этих преобразованиях время не изменяется. Последний
факт является следствием соотношений

[xa , J0b ]? = ?igab x0 .
II II
(75)
[x0 , J0a ]? = 0,

Здесь же сразу заметим, что аналогичные операторы из алгебры (58) приводят
к совершенно другим соотношениям:

[xa , J0b ]? = ?igab x0 .
I I I
(76)
[x0 , J0a ]? = iPa ,

Соотношения (76) говорят о том, что операторы (58) порождают лоренцовские
преобразования, при которых время, конечно, изменяется. Теорема 7 доказана.
Следствие 1. Квадратичная форма (60) неинвариантна относительно преобразова-
ний (66), (67).
Следствие 2. Если с помощью операторов (65) найти соответствующие формулы
?
преобразования для энергии E и импульса pa частицы, то такие преобразова-
?
ния совпадут с обычными преобразованиями Лоренца, а значит относительно них
форма (61) инвариантна.
Из приведенного следует такой общий вывод. Уравнение КГФ, как и всякое
пуанкаре-инвариантное уравнение для свободной частицы с фиксированной мас-
сой (или нулевой), обладает двойственной (дуальной) инвариантностью. С одной
стороны, оно инвариантно относительно преобразований Лоренца, сохраняющих
квадратичные формы как в конфигурационном (60), так и в импульсном (61) про-
странствах. С другой стороны, уравнения КГФ инвариантны относительно пре-
образований (66), (67), которые н е сохраняют формы (60). Причина такой ду-
?
альности (57) заключена в двойственной природе оператора i . В пространстве
?t
L (??, ?) он обладает сплошным спектром, лежащим на всей действительной
2

оси. Однако в пространстве решений уравнения (57) или (63) он имеет такой же
?p ?p
спектр, как и оператор H(?). Спектр оператора H(?) лежит так же на действи-
тельной оси, но имеет лакуну на интервале (?m, m).
424 В.И. Фущич

Примером релятивистского уравнения, не обладающего двойственной симме-
трией указанного типа, может служить уравнение с собственным временем (см.
[12]):
? 2 ?(?, t, x)
= p2 ? p2 ?(?, t, x). (77)
?0 ?a
2
??
В (77) оператор p0 входит “на равных правах” c операторами pa , а значит
? ?
временная переменная действительно никак не выделена по сравнению с про-
странственными переменными. Уравнение (77), в отличие от КГФ, не описывает
движение частицы с фиксированной массой, поскольку спектр оператора p2 ? p2
?0 ?a
сплошной и лежит на всей действительной оси.
Замечание 6. Уравнение (70), кроме алгебры (73), инвариантно относительно
алгебры (58).
Для установления дуальной инвариантности уравнения Дирака (4) (теоремы
типа 7) нужно дословно повторить доказательство теоремы 7. При этом необ-
ходимо воспользоваться преобразованием (33) и уравнением (8). Очевидно, что
уравнение (34) инвариантно относительно алгебры (73), в которой сделана замена
двухмерной матрицы ?3 на четырехмерную матрицу ?0 . В квантовой теории часто
рассматривают, кроме системы (34), еще и сопряженную к ней систему. Алгеброй
инвариантности такой 8-мерной системы является, например, алгебра Ли группы
O(6) ? U (2) ? U (2) [8, 9, 19].

1. Lоrеntz G.A., Electromagnetic phenomena in a system moving with any velosity smaller then that
of light, Proc. Acad. Sci., Amsterdam, 1904, 6, 809–830.
2. Poincare H., Sur la dynamique de l’electron, Comptes Rendus Acad. Sci., 1905, 140, 1504–1506.
3. Poincare H., Sur la dynamique de l’electron, Rendiconti del Circolo Matem. di Palermo, 1906, 21,
129–160.
4. Bateman H., The transformation of the electro-dynamical equations, Proc. London Math. Soc., 1909,
8, 223–264.
5. Cunningham E., The Principile of Relativity in Electromagnetics on Extension thereof, Proc. London
Math. Soc., 1909, 8, 77–97.
6. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
7. Ибрагимов Н.X., Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений, Новосибирск,
Наука, 1967, 59 с.
8. Fushchych W.I., On additional invariance of relativistic equations of motion, Preprint 70-32E, Kiev,
Institute Theoretical Physics, 1970, 16 p.
9. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения, Теор. и
мат. физика, 1971, 7, № 1, 3–12.
10. Fushchych W.I., P , T , C-properties of the Poincar? invariant equations for massive particles, Lett.
e
Nuovo Cimento, 1973, 6, № 4, 135–137.
11. Fushchych W.I., On the additional invariance of the Dirac and Maxwell equations, Lett. Nuovo
Cimento, 1974, 11, № 10, 508–512.
12. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности уравнения Клейна–Гордона–Фока, ДАН СССР,
1976, 230, № 3, 570–573.
13. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н., О группах инвариантности некоторых уравнений релятивистской
квантовой механики, Укр. мат. журн., 1976, 28, № 6, 844–849.
14. Никитин А.Г., Сегеда Ю.Н., Фущич В.И., О дополнительной инвариантности уравнений Кем-
мера–Дэффина и Рариты–Швингера, Теор. и мат. физика, 1976, 29, № 1, 82–92.
Исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений 425

15. Сегеда Ю.Н., О дополнительной инвариантности уравнений Максвелла, В кн.: Краевые задачи
электродинамики проводящих сред, Киев, 1976, 218–224.
16. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н., О новой алгебре инвариантности уравнения Шредингера, ДАН СС-
СР, 1977, 232, № 4, 801–802.
17. Фущич В.И., Групповые свойства дифференциальных уравнений квантовой механики, В кн.:
Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний (посвященной 60-летию акад. АН
УССР Ю.А. Митропольского), Киев, 1977, 75–87.
18. Фущич В.И., Онуфрийчук С.П., О группах инвариантности одного класса счетной системы
уравнений первого порядка с частными производными, ДАН СССР, 1977, 235, № 5, 1056–1059.
19. Fushchych W.I., Nikitin A.G., On the тew invariance group of the Dirac and Kemmer–Duffin–Petiau
equations, Lett. Nuovo Cimento, 1977, 19, № 9, 347–352.
20. Фущич В.И., Никитин А.Г., О группе инвариантности квазирелятивистского уравнения движе-
ния, ДАН СССР, 1978, 238, № 1, 46–49.
21. Fushchych W.I., Nikitin A.G., On the invariance groups of relativistic equations for the external
fields, Lett. Nuovo Cimento, 1978, 21, № 16, 541–546.
22. Фущич В.И., Никитин А.Г., Пуанкаре-инвариантные уравнения движения для частиц прои-
звольного спина, Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ), 1978, 9, вып. 3,
501–553.
23. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Conformal invariance of relativistic equations for arbitrary spin
particles, Letters in Mathematical Physics, 1978, 2, 471–475.
24. Шубин М.А., Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, М., Наука, 1978,
280 с.
25. Pryce M.H.L., The mass-centre in the restricted theory of relativity and its connection with the
quantum theory of elementary particles, Proc. Roy. Soc. London, 1946, 195, № 1040, 62–81.
1
26. Foldy L.L., Wouthuysen S.A., On the Dirac theory of spin particles and its non-relativistic limit,
2
Phys. Rev., 1950, 78, № 1, 29–36.
27. Салогуб В.А., Сокур Л.П., О групповых свойствах некоторых галилеевски-инвариантных систем
дифференциальных уравнений, В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике,
Киев, 1978.
28. Остроградский М.В., Мемуар о дифференциальных уравнениях, относящихся к изопериметиче-
ской задаче, Полное собр. тр.: В 3-х т., Киев, Изд. АН УССР, 1961, т. 2, 139–233.
29. Фущич В.И., Кривский И.Ю., О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского, Препринт
ИТФ-68-72, Ин-т теор. физики, 1968, 38 с.
30. Фущич В.И., О представлениях группы де Ситтера, Украинский физический журнал, 1966, 9,
907–909.
31. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., On representation of the inhomogeneous de Sitter group and equation
in five-dimensional Minkovsky space, Nuclear Physics B, 1969, 14, № 2, 321–330.
32. Кривский И.Ю., Романенко Г.Д., Фущич В.И., Уравнения типа Кеммера–Дэффина в пятимерном
пространстве Минковского, Теор. и мат. физика, 1969, 1, № 2, 242–250.
33. Fushchych W.I., On the CP-noninvariant equations for the particles with zero mass, Nuclear Physics
B, 1970, 21, 321–330.
34. Фущич В.И., Представления полной неоднородной группы де Ситтера и уравнения в пятимерном
подходе. I, Теор. и мат. физика, 1971, 4, № 3, 360–382.
35. Сокур Л.П., Фущич В.И., Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы
P (1, n). II, Теор. и мат. физика, 1971, 6, № 3, 348–362.
36. Фущич В.И., Грищенко А.Л., Никитин А.Г., О релятивистских уравнениях движения без “ли-
шних” компонент, Теор. и мат. физика, 1971, 8, № 2, 192–205.
37. Никитин А.Г., Релятивистские уравнения движения для системы с переменным спином, Укр.
физ. журн., 1973, 18, № 10, 1605–1614.
38. Никитин А.Г., О нерелятивистском пределе уравнений без лишних компонент, Укр. физ. журн.,
1974, 19, № 6, 1000–1005.
426 В.И. Фущич

39. Fushchych W.I., On a motion equation for two particles in relativistic quantum mechanics, Lett.
Nuovo Cimento, 1974, 10, № 4, 163–167.
40. Fushchych W.I., Nikitin А.G. On the Poincar?-invariant equations for particles with variable spin
e
and mass, Reports on Math. Phys., 1975, 8, № 1, 33–48.
41. Фущич В.И., Никитин А.Г., Юрик И.И., Редукция представлений группы движений (n + 1)-
мерного пространства Минковского по группе Пуанкаре, Препринт 75.5, Киев, Ин-т математики
АН УССР, 1975, 32 с.
42. Фущич В.И., Никитин А.Г., Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка
для частиц с произвольным спином, Препринт 77.1, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1977,
48 с.
43. Никитин А.Г., Фущич В.И., Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнение для частиц
произвольного спина, Теор. и мат. физика, 1978, 34, № 3, 319–333.
44. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., On the Galilean-invariant equations for particles with
arbitrary spin in non-relativistic mechanics, Lett. Nuovo Cimento,1975, 14, № 13, 483–488.
45. Fushchych W.I., Nikitin A.G., On the Galilean-invariant equations for particles with arbitrary spin,
Lett. Nuovo Cimento, 1976, 16, № 3, 81–85.
46. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., On the non-relativistic motion equation in the Hami-
ltonian form for arbitrary spin particles, Reports on Math. Phys., 1978, 13, № 2, 175–185.
47. Федорчук В.М., Непрерывные подгруппы неоднородной группы де Ситтера, Препринт 78.18,
Киев, Ин-т математики АН УССР, 1978, 33 с.
48. Онуфрийчук С.П., Пуанкаре-ковариантные счетные системы дифференциальных уравнений пер-
вого порядка, Препринт 78-29, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1978, 36 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 427–430.

О группе инвариантности квази-
релятивистского уравнения движения
В.И. ФУЩИЧ, А.Г. НИКИТИН

В работе [1] была поставлена задача о нахождении группы инвариантности диф-
ференицального уравнения в частных производных четвертого порядка
? a2 2 a4 4
(1)
i ?(t, x) = H(p)?(t, x), H(p) = a0 + p + p,
?t 2 8
где a1 , a2 , a4 — постоянные коэффициенты,
?
pa = ?i
p2 = p2 = p2 + p 2 + p 2 , p4 = (p2 )2 , .
a 1 2 3 a
?xa
Уравнение (1) является естественным обобщением уравнения Шредингера для
свободной частицы (совпадая с последним при a2 = a4 = 0), частично учитываю-
щим релятивистские эффекты. Нетрудно убедиться, что это уравнение не инвари-
антно ни относительно группы Галилея, ни относительно группы Лоренца.
В настоящей статье установлена двадцатипараметрическая группа Ли, допуска-
емая уравнением (1); найден явный вид преобразований волновой функции ?(t, x),
оставляющих (1) инвариантным; выведена формула, устанавливающая зависимость
массы частицы от ее скорости; предложено уравнение движения для частицы с
произвольным спином, инвариантное относительно найденной группы.
Обозначим через {QA } базисные элементы алгебры Ли некоторой группы G.
Уравнение (1) инвариантно относительно группы G, если выполняются условия [2]
?
? H(p), QA (2)
i ?(t, x) = 0
?t ?

для всех QA ? {QA }, {A} — некоторое множество индексов.
Теорема. Уравнение (1) инвариантно относительно 20-мерной алгебры Ли, ба-
зисные элементы которой задаются операторами
? ?
Pa = pa = ?i

<< Предыдущая

стр. 97
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>