<< Предыдущая

стр. 98
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

P0 = i , , I,
?t ?xa
Jab = xa pb ? xb pa , Ga = tVa ? xa ,
a, b = 1, 2, 3, (3)
1 1
Pab = ?a4 pa pb + ?ab p2 ,
Va = i[H(p), xa ]? = pa a2 + a4 p2 ,
2 2
где I — единичный оператор.
Доказательство. Воспользовавшись тождествами
?
[H(p), Va ]? = i , xb = 0,
?t ?

Доклады Академии наук СССР, 1978, 238, № 1, С. 46–49.
428 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что все операторы (3) удовле-
творяют условию (2). Операторы P0 , Pa , Pab , Va , I коммутируют между собой
и совместно с операторами Jab , Ga удовлетворяют следующим коммутационным
соотношениям:
[Jab , Jcd ]? = i(?ac Jbd + ?bd Jac ? ?ad Jbc ? ?bc Jad ), [Jab , P0 ]? = 0,
[Jab , Gc ]? = i(?ac Gb ? ?bc Ga ), [Pa , Gb ]? = i?ab I, [Ga , Gb ]? = 0,
[Jab , Pc ]? = i(?ac Pb ? ?bc Pa ), [Va , Gb ]? = i(Pab ? ?ab a2 I), (4)
[Jab , Pcd ]? = i(?ac Pbd + ?bd Pac ? ?bc Pad ? ?bd Pac ),
[P0 , Ga ]? = iVa ,
[Jab , Vc ]? = i(?ac Vb ? ?bc Va ), [Ga , Pbc ]? = ia4 (?ab Pc + ?bc Pa + ?ac Pb ),

т.e. образуют алгебру Ли. Теорема доказана.
Подчеркнем, что генераторы (3) принадлежат классу дифференциальных опера-
торов третьего порядка. Это означает, что найденная нами алгебра инвариантности
уравнения (1) не может быть получена в классическом подходе Ли, в котором, как
хорошо известно, QA задаются дифференциальными операторами первого поряд-
ка.
Используя явный вид (3) найденных операторов QA , QA ? P0 , Pa , Pab , Ga , Jab ,
Va , можно найти группу инвариантности уравнения (1), т.e. найти преобразова-
ния координат xa импульса Pa и волновой функции ?(t, x), оставляющие (1) ин-
вариантным. Не вдаваясь в детали довольно громоздких вычислений, приведем
окончательный результат:

Pa > Pa = W Pa W ?1 = Rab Pb + ua , (5)

xa > xa = W xa W ?1 = Rab xb + (Va ? Rab Vb )t?
(6)
?ba ? a2 ?a + Rab Rcd Rbd ?c ? a4 (Rab Pb ?cc + 2?ab Rbc Pc ),

Va > Va = W Va W ?1 = Rab Vb ? Rac Rbd Rcd ub +
(7)
1
+a2 ua + a4 Rab Pb u2 + 2ua Rbc Pc ub + ua u2 ,
c c
2

?(t, xa ) > ? (t, xa ) = W ?(t, xa ) = exp[if (t, x)]?
1
? exp iRab Rcd Pbd ?
tua uc + ua ?c + ?ac
2
? exp[iRab Vb (tua + ?a ) ? ia2 Rab Pb ua ]?
(8)
?? t ? a, Rab xb ? ba ? ta2 ua ?

1 1
?a4 tua u2 + ua ?bb + 2?ab ub + ua ub ?b + ?a u2 ,
c c
2 2

i
· exp(iPab ?ab )?
W = exp Jab ?ab
2 (9)
? exp(iVa ?a ) · exp(iGa ua ) · exp(iPa ba ? iP0 a),
О группе инвариантности квазирелятивистского уравнения движения 429

где ?ab , ?ab , ua , ba , a — произвольные действительные параметры преобразования,
Rab — оператор трехмерного поворота,
1/2
?ab ?ac ?cb 12
(cos ? ? 1),
Rab = ?ab + i sin ? + ?= ? ,
2 ab
?2
?
f (t, x) — фазовый множитель
1 1
f (t, x) = ?xa ua ? a2 tu2 ? a4 t(u2 )2 + C,
a a
2 8
C — произвольная постоянная.
Для волновой функции в импульсном пространстве получаем из (9) закон пре-
образования в виде

d3 x dt exp(i?t ? ikb xb )? (t, x) =
? (k, ?) =
(10)
= exp(ika ba ? i?a + iC)?(k , ? ),
где
1 1
a2 (ka )2 + a4 [(ka )2 ]2 . (11)
ka = Rab kb + ua , ?=
2 8
Формулы (5)–(11) при ?a = ?ab = a4 = 0, a2 = (2m)?1 , ua = mva задают
преобразование Галилея, а в случае произвольных ?a , ?ab , a2 , a4 могут рассматри-
ваться как определенные обобщения этого преобразования. Существенное отличие
преобразований (5)–(11) от преобразований Галилея состоит в том, что оператор
xa выражается не только через оператор xa и соответствующие параметры пре-
образования, но также и через оператор скорости частицы Va . Формулы (5), (6),
(8), (10) указывают на явную несимметрию между импульсным и координатным
пространством.
Приведем пример уравнения, инвариантного относительно алгебры (4) и опи-
сывающего движение частицы с произвольным спином. Это уравнение имеет вид
?
i ?(t, x) = H(s, p)?(t, x),
?t (12)
a2 a4
?1
H(s, p) = ?1 a0 + 2?3 Sp ? (?1 ? i?2 )(a0 ) 2(Sp) + p2 + p4 ,
2
2 8
sa 0
где ?(t, x) есть 2(2s+1)-компонентная функция, Sa = , sa — матрицы,
0 sa
реализующие неприводимое представление D(s) алгебры O(3), ?a суть 2(2s + 1)-
рядные матрицы Паули, коммутирующие с Sa . Операторы Pa , P0 , Pab , Jab , Ga ,
удовлетворяющие алгебре (4), на множестве решений уравнения (12) задаются
формулами
? ?
Pa = pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
P0 = i , ,
?t ?xa
1 1
Pab = ?a4 pa pb + ?ab p2 ,
Va = pa a2 + a4 p2 ,
2 2
Ga = tVa ? xa + (?2 ? i?1 )(a0 )?1 Sa .
430 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

В заключение приведем формулы, устанавливающие связь между импульсом и
скоростью частицы, описываемой уравнением (1) в случае a2 a4 > 0. Из (3) имеем
a4 2
Va = a2 pa 1 + p.
2a2
Решая это кубическое уравнение относительно pa , получаем
V
3 1
arctg v
pa = mVa , m = m0 sin ,
V 1 ? V2
3
(13)
3/2
1 3 a4
V= ? 3 V, V = (Va )1/2 .
2
m0 = ,
a2 2 a2
Формула (13) дает зависимость массы частицы m от скорости.
Соотношения (13) определены для 1 ? V 2 > 0, откуда заключаем, что скорость
частицы в квантовой механике, базирующейся на уравнении (1), должна быть ог-
3/2
3 a4
раничена условием V ? ? 3 (в естественной системе единиц = c = 1).
2 a2
Отметим, что полученные результаты обобщаются на случай дифференциаль-
ных уравнений вида (1) произвольного конечного порядка, когда
N
N < ?.
a2n p2n ,
H(p) =
n=0



1. Фущич В.И., В кн.: Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний, Киев, Наукова
думка, 1977, 238–246.
2. Фущич В.И., Теор. и мат. физ., 1971, 7, № 1, 3–12; ДАН, 1976, 230, № 3, 571–573;
Никитин А.Г., Сегеда Ю.Н., Фущич В.И., Теор. и мат. физ., 1976, 29, № 1, 82–94.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 431–441.


On the non-relativistic motion equations
in the Hamiltonian form
W.I. FUSHCHYCH, A.G. NIKITIN, V.A. SALOGUB

The Galilean-invariant equations for particles with arbitrary spins have been obtained,
which describe properly the spin-orbit and the Darwin interactions of a particle with an
external field. The Hagen–Hurley non-relativistic equations have been reduced to the
Hamiltonian form.

1. Introduction
It has been noted in many books and papers (see e.g. [2, 8, 10, 12, 13, 16])
that the Galilean invariant non-relativistic equations for particles with spins do not
give the complete description of the particle movement in external electromagnetic
fields, because such equations (of Pauli, or Levi–Leblond [16], of Hagen–Hurley [10,
12, 13]) do not take into account the spin-orbit and the Darwin interactions. It is
generally accepted to think [16] that such interactions are truly relativistic effects,
and, for instance, if the particle spin s = 1/2, only the Dirac relativistic equation
describes them naturally. In our just published paper [7] this widespread opinion has
been refuted, i.e. the Galilean invariant equations for the particles with the lowest
spins s = 1/2, 1, 3/2 had been derived, which lead to the spin-orbit and to the Darwin
interactions by the standard substitution pµ > ?µ = pµ ? eAµ . In [6] the analogous
equations have been obtained for a non-relativistic particle with any spin.
Peculiarity of such equations is that they have not redundant (unphysical) com-
ponents unlike other known non-relativistic equations for arbitrary spin particles [10,
12, 13]. The wave function in the equations [7] has only 2(2s + 1) components, and
the energy operator has both positive and negative eigenvalues.
The present work has the two principal aims: first, to obtain the Galilean invariant
equations for the particles with any spin in the Hamiltonian form without negative
energy eigenvalues, which naturally describes not only the dipole, but also the spin-
orbit and the Darwin interactions; and secondly, to establish the Hamiltonian form of
the non-relativistic Levi–Leblond–Hagen–Hurley (LHH) equations.
2. The Hamiltonian form of the equations with redundant components
Galilean-invariant first-order wave equation for the particle with spin s = 1 had
2
been obtained by Levi–Leblond [16]. Then Hagen and Hurley [10, 12, 13] have obtai-
ned such equations for arbitrary spin particles.
It is convenient for our purposes to write the LHH equations [10, 12, 13] in the
form
[?µ pµ + (1 ? ?0 )2m] ?(t, x) = 0,
(2.1)
? ?
µ = 0, 1, 2, 3, pa = i , p0 = i ,
?xa ?t
Reports on Mathematical Physics, 1978, 13, № 2, P. 175–185.
432 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin, V.A. Salogub

where ?(t, x) is the (6s+1) component wave function, and ?µ are the matrices having
the following structure:
? ? ? ?

I00 0 S a Ka
1
?0 = ? 0 0 0 ? , ?a = ? Sa 0 ?, (2.2)
0
s
K ?a 0
000 0
and I is the (2s+1)-dimensional unit matrix, Sa are the (2s+1)-dimensional matrices,
which realize the irreducible representation of the algebra O(3), Ka are the matrices
with (2s ? 1) rows and (2s + 1) columns, satisfying the condition

Sa Sb + Ka Kb = is?abc Sc + s2 ?ab . (2.3)
The peculiarity of equations (2.1) in comparison with the Dirac relativistic equation
is that even for s = 1/2 the matrix ?0 is singular. Therefore some difficulties arise in
reducing the LHH equations to the Hamiltonian form. The analogous problems take
place also in the relativistic Proca, Kemmer–Duffin, and Bhabha equations [1, 11, 15,
18, 19].
In works [1, 11, 15, 18], the Kemmer–Duffin equation
? (2.4)
?µ pµ + m ? = 0,

?
where ?µ are (10 ? 10)-Kemmer–Duffin matrices, has been reduced to the form
? ?? ?? ?
H = ?0 ?a ? ?a ?0 pa + ?0 m, (2.5)
i ? = H?,
?t
?2 ? ?2
1 ? ?0 m + ?a pa ?0 ? = 0, (2.6)
a = 1, 2, 3,

where H is the Kemmer–Duffin particle Hamiltonian, and (2.6) is the subsidiary
condition, which removes the redundant components of the wave function ?.
The form (2.1) of the non-relativistic equations [10, 12, 13] shows that the methods
of works [1, 11] may be used to reduce the LHH equations to the Schr?dinger form
o
?
(2.7)
i ? = H?.
?t

<< Предыдущая

стр. 98
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>