стр. 1
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

W.I. Fushchych
Scientific Works



Volume 2
1979–1985




Editor
Vyacheslav Boyko




Kyiv 2000
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 1–5.

О новом методе исследования групповых
свойств уравнений математической физике
В.И. ФУЩИЧ

Среди всех уравнений, встречающихся в математике, уравнения математиче-
ской физики выделяются тем, что они обладают, как правило, высокой симме-
трией. Первопричиной этих важнейших свойств уравнений является симметрия
реальных физических процессов.
Почти 100 лет назад С. Ли создал принципиальные основы математическо-
го метода исследования симметрийных (групповых) свойств дифференциальных
уравнений. За последние двадцать лет это направление получило существенное
развитие в работах Л.В. Овсянникова и его учеников, которое подытожено в мо-
нографии [1].
В работах [2, 3] показано, что уравнения Дирака, Максвелла, Клейна–Гордона
обладают симметрией, которая в принципе не может быть обнаружена лиевским
методом. В настоящей статье сформулирован нелиевский метод исследования груп-
повых свойств дифференциальных и интегродифференциальных уравнений.
1. Рассмотрим уравнение
? (1)
L(x, p)?(x) = 0,
?
?
где L(x, p) — некоторый линейный оператор, x ? Rx , p — вектор-оператор с компо-
n
? ?
?
нентами pµ = igµ? ?x? , gµ? — метрический тензор, ненулевые компоненты которого
?
g00 = g11 = · · · = gkk = ?gk+1 k+1 = · · · = ?gnn = 1, ?(x) — вектор-функция. Че-
?
рез L(x, p) обозначим символ оператора L(x, p), p ? Rp . n
?
Будем говорить, что уравнение (1) инвариантно относительно некоторого мно-
? ? ?? ?
жества операторов Q = {QA } = {Q1 , Q2 , . . . , QN }, если выполняются условия
? ?? (2)
L(x, p)QA ?(x) = 0, A = 1, 2, . . . , N.
?
Если операторы {QA } (или их линейные комбинации) удовлетворяют коммутаци-
онным соотношениям
?? ? (3)
[QA , QB ]? = fABC QC ,
то будем говорить, что уравнение (1) инвариантно относительно алгебры Ли. Здесь
fABC — структурные константы алгебры Ли.
В отличие от подхода С. Ли, мы будем делать акцент не на группы инвариан-
тности, а на алгебры инвариантности уравнений. Задача отыскания алгебры инва-
риантности уравнения (1) формулируется очень просто: требуется конструктивно
?
описать (по возможности наиболее широкий) класс операторов Q, удовлетворяю-
щих условиям (2) и (3).
Из приведенного видна ограниченность постановки и метода С. Ли и, главное,
видны новые пути решения и обобщения лиевской задачи об исследовании ал-
гебраических свойств уравнений. Такое обобщение возможно, по меньшей мере,
Доклады академии наук СССР, 1979, 246, № 4, С. 846–850.
2 В.И. Фущич

в двух направлениях: во-первых, искать алгебру инвариантности уравнения (1) в
классе интегродифференциальных операторов (в подходе Ли, как известно, опе-
?
раторы QA — операторы первого порядка); во-вторых, отказаться от условия (3),
? ?
т.е. от требования, чтобы операторы Q принадлежали алгебре Ли: операторы QA
могут образовывать супералгебру, алгебру Йордана и т.д.
Именно в первом направлении, которое назовем нелиевским подходом, и были
получены новые алгебры инвариантности для многих уравнений движения кван-
товой механики [4] (см. также [5], посвященную этому направлению). Главный и
самый трудный вопрос, возникающий в связи с нелиевским подходом к исследо-
ванию алгебраических свойств уравнений, состоит в следующем: каким способом
?
конструктивно описать (вычислить) операторы QA , т.е. указать метод нахожде-
ния интегродифференциальных операторов. Очевидно, что лиевский алгоритм для
этих целей непригоден.
Обобщая результаты конкретных способов вычисления алгебр инвариантно-
?
сти [2–4], можно сформулировать такой метод построения операторов QA : 1) си-
стема дифференциальных уравнений (д.у.) посредством обратимого (вообще го-
воря, неоднозначного) преобразования приводится к каноническому (жордановому
или диагональному) виду, т.е. проводится максимальное расщепление системы д.у.
на независимые (автономные) подсистемы; 2) находится алгебра инвариантности
?
(а.и.) преобразованного уравнения; 3) если операторы {QA } а.и. удовлетворяют со-
отношениям (3), то устанавливается, какое представление алгебры Ли реализует
эти операторы в пространстве решений; 4) с помощью обратного преобразования
находится а.и. исходного уравнения; 5) по а.и. вычисляется группа инвариантности
д.у. согласно формулам
? ?
xµ = exp{iQA ?A }xµ exp{?iQB ?B }, µ = 0, 1, 2, . . . , n,
(4)
?
? (x) = exp{iQA ?A }?(x),
где ?A — параметры группы инвариантности.
2. Проиллюстрируем нелиевский алгоритм отыскания а.и. на примере двух си-
стем уравнений. Рассмотрим систему восьми уравнений в частных производных
второго порядка:
?p
p2 ?(t, x) = H2 (?)?(t, x), x ? R3 ; (5)
?0
v
?p
H2 (?) = ?0 ?4 p2 + 2m?0 ?a pa + ?0 ?5 m2 ;
?a ?
(6)
? ?
pa = ?i x0 ? t,
p0 = i
? , ? ,
?x0 ?xa
?0 , ?k , k = 1, 2, . . . , 6, — (8 ? 8)-матрицы, удовлетворяющие алгебре Клиффорда–
Дирака, ?(t, x) — вектор-функция с компонентами ? = (?1 , ?2 , . . . , ?8 ), m —
постоянная величина.
Теорема 1. Система (5) инвариантна относительно 26-мерной алгебры Ли
группы P (1, 3) ? E(4) ? GL(4) ? GL(4), где P (1, 3) — группа Пуанкаре, E(4)
— группа Евклида в четырехмерном пространстве, GL(4) — группа всех не-
вырожденных действительных (4 ? 4)-матриц.
Доказательство. Символ H2 (p) оператора (6) является симметрической (8 ? 8)-
матрицей, поэтому его можно привести к диагональному виду. Это означает, что
О новом методе исследования групповых свойств уравнений 3

?p
и оператор H2 (?), рассматриваемый как матрица, приводится к диагональному
оператору. Такое приведение осуществляется с помощью унитарного оператора [2]
?p ?p
? H2 (?) H2 (?)
1
=v (7)
U = exp ?0 1 + ?0 ;
?p ?p
4 E 2 (?) E 2 (?)
2

?p ?p
H2 (?) = p2 + m2 .
E 2 (?) = (8)
?a

Осуществив над уравнением преобразование (7), придем к системе
?
p2 ?(t, x) = ?0 E 2 (p)?(t, x); (9)
?0

10
(10)
? = U ?, ?0 = ,
0 ?1

где 1 и 0 — единичная и нулевая (4 ? 4)-матрицы.
Систему (9) можно записать в виде восьми незацепленных уравнений

p2 ? p2 ?µ (t, x) = m2 ?µ (t, x), (11)
?0 ?a µ = 0, 1, 2, 3;

p2 + p2 ?µ+4 (t, x) = ?m2 ?µ+4 (t, x), (12)
?0 ?a

где ?µ , ?µ+4 — компоненты вектор-функции ?.
Из (10) ясно, что уравнение (9) инвариантно относительно 16 матриц:
i
(?k ?l ? ?l ?k ), (13)
Skl = ?0 ; k, l = 1, 2, . . . , 6.
4
Кроме того, из (11) и (12) видно, что эта же система инвариантна относительно
10-мерной алгебры Ли группы P (1, 3) ? E(4), базисные элементы которой имеют
вид

Jµ? · 1 0
I
?
Jµ? = , Pµ = igµ? ,
0 Jµ? · 1
II ?x? (14)
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , Jab = xa pb ? xb pa , J0a = ix0 pa ? xa p0 .
I II II
? ? ? ? ? ?
?
Алгебры инвариантности для исходного уравнения (5), т.е. операторы QA стро-
ятся по операторам (13) и (14) известным образом:

QA = U ?1 Q? U,
? ? (15)
A = 1, 2, . . . , 26,
A

?
где через Q? обозначены любой из операторов (13) и (14). Важно подчеркнуть.
A
что все операторы

Skl = U ?1 Skl U, ?0 = U ?1 ?0 U (16)

являются интегральными, ограниченными операторами. Теорема доказана.
Замечание 1. Если после реализации первого шага алгоритма мы приходим к
расщепленной системе дифференциальных уравнений, то к такой системе можно
применить лиевскую методику.
4 В.И. Фущич

3. Второй пример. Рассмотрим интегродифференциальную (псевдодифференци-
альную) систему шести уравнений:
p0 E(t, x) = |? |H(t, x),
p
?
(17)
1/2
p0 H(t, x) = |? |E(t, x),
p |? | =
p p2 p2 p2
? ?1 + ?2 + ?3 ,

где E = (E1 , E2 , E3 ), H = (H1 , H2 , H3 ) — вектор-функции.
Теорема 2. Алгебрами инвариантности системы (17) является 9-мерная алге-
бра Ли группы GL(3) ? GL(3) и 10-мернал алгебра Ли группы Пуанкаре.
Доказательство. Система (17) с помощью матричного преобразования
1 1
1
U=v (18)
,
1 ?1
2
где 1 — (3 ? 3)-единичная матрица, приводится к распадающейся системе шести
интегродифференциальных уравнений
10
p0 ?(t, x) = Q0 |? |?(t, x),
p (19)
? Q0 = .
0 ?1

Из (19) следует, что уравнение (17) инвариантно относительно 9-мерной алгебры
Ли группы GL(3) ? GL(3).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнение (19) инвариантно
относительно следующих двух наборов десяти операторов, образующих алгебру
Пуанкаре:
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
III III
(20)
Pµ = pµ = igµ?
? , ? ?
?x?
?
1/2
P0 = |? | = p2 + p2 + p2
p Pa = ?i
IV IV
?1 ?2 ?3 , , a = 1, 2, 3,
?xa
(21)
1
= xa pb ? xb pa , = x0 pa ? (xa |? | + |? |xa ) .
p p

стр. 1
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>