<< Предыдущая

стр. 100
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

позволяет считать ? > 0. Поскольку
exp(t(B2 + C2 ))(X1 ) = e?t (B1 ? B3 + C1 ? C3 + ?et (ch tP3 + sh tP1 )) = e?t X2 ,
exp(??et sh tP2 )X2 = B1 ? B3 + C1 ? C3 + ?e2t P3 ,
то, полагая ?e2t = 1, находим, что допустимо предполагать ? = 1.
Если ? = 0, то при помощи автоморфизмов diag {1, 1, 1, ?1}, exp(t(B2 + C2 ))
получаем алгебру F , содержащую B1 ? B3 + C1 ? C3 + P4 .
Аналогично рассматриваются и случаи, когда W = P4 , W = P1 , P2 , P3 .
Лемма доказана.
Лемма 6.3. Все подалгебры Fi алгебры AP (2, 2) с условием ?(Fi ) = Fi (i =
3, 4, 7, 13, 18, 22, 27, 32, 36, 43) являются расщепляемыми.
Доказательство. Алгебры Fi (i = 29, 36, 37, 43) являются полупростыми. В си-
лу теоремы Уайтхеда [13] для них не существует нерасщепляемых расширений.
Отсюда вытекает, что расщепляемыми будут также алгебры F38 , F39 , F40 .
Пусть X1 = ?B1 + B3 + C2 + ?i Pi , Y = ti Pi (i = 1, 4). Непосредственно
находим, что
exp(2Y )(X) = ?B1 + B3 + C2 + (?1 ? t2 ? t3 + t4 )P1 +
+(?2 + t1 + t3 ? t4 )P2 + (?3 ? t1 + t2 ? t4 )P3 + (?4 + t1 ? t2 + t3 )P4 .
Полагаем
?1 ? t2 ? t3 + t4 = 0,
?2 + t1 + t3 ? t4 = 0,
(6.1)
?3 ? t1 + t2 ? t4 = 0,
?4 + t1 ? t2 + t3 = 0.
Так как определитель, составленный из коэффициентов при t1 , t2 , t3 , t4 равен 1, то
система (6.1) имеет решение. Следовательно, все алгебры F7 суть расщепляемые.
Рассмотрим случай алгебры F18 )2) = B1 ? B3 , C2 . Алгебра F18 содержит
элементы X1 = B1 ? B3 + ?i Pi , X2 = C2 . Так как [X2 , [X2 , X1 ]] = ? 1 ?i Pi ,
4
то F18 — расщепляемая алгебра.
Алгебра F28 содержит F7 . Следовательно, с точностью до внутренних автомор-
физмов алгебра F28 содержит элементы X1 = B1 ?B3 ?C2 , X2 = C1 ?C3 + ?i Pi .
На основании коммутационных соотношений,
?2 ??4
X2 ? [X1 , X2 ] = ? (P1 ? P3 ) + ?1 +
?1 +?3 ?3
(P2 + P4 ) + P1 +
2 2 2
?4 ?1
?4 + ?2
+ ?2 + P2 + ?3 + P3 + P4 .
2 2 2

Перебирая инвариантные пространства F28 , находим, что для каждого из них
?1 = ?2 = ?3 = ?4 = 0, т.е. алгебра F28 расщепляемая. Лемма доказана.
436 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Лемма 6.4. Если F — нерасщепляемая подалгебра AP (2, 2) и ?(F ) = F35 , то F
сопряжена одной из алгебр:
F35j = B1 ? B3 , B2 + 1 C2 , C1 ? C3 + P2 + P4 : O, (13) (j = 1, 2);
3
F35,3 = B1 ? B3 , B2 + 1 C2 , C1 ? C3 + P4 , P1 ? P3 , P2 ? P4 ;
3
F35j = B1 ? B3 , B2 ? 3 C2 , C1 ? C3 + P3 : (13,24), (13,2,4) (j = 4, 5).
1


Доказательство. На основании рассуждений, проведенных для F26 , получаем, что
F содержит элементы X1 = B2 + ?C2 , X2 = B1 ? B3 , X3 = C1 ? C3 + ?i Pi . Из
коммутационных соотношений находим, что
1+? ??1
?X3 + [X1 , X3 ] = ??1 + 2 ?3 P1 + ??2 + 2 ?4 P2 +
1+? ??1
(6.2)
+ ??3 + 2 ?1 P3 + ??4 + 2 ?2 P4 ,

(P2 + P4 ) + ?4 ??2 (P1 ? P3 ).
?1 +?3
[X2 , X3 ] = 2 2

Допустим, что F ? V = P1 ? P3 . Тогда на основании (6.2) получаем, что
?3 + ?1 = 0. Можно предположить, что ?1 = ?3 = 0. Получаем также условие

??2 + 1 (? ? 1)?4 = 0,
2
(6.3)
??4 + 1 (? ? 1)?2 = 0.
2

Определитель ? этой системы равен 3 ?2 + 2 ?? 1 . Если ? = 0, то ? ? ?1, 1 . Так
4 4 4 3
как 0 < |?| < 1, то система (6.3) имеет ненулевое решение только при ? = 1 . В
3
этом случае ?4 = ?2 . Автоморфизм, соответствующий diag {?1, 1, ?1, 1}, позволяет
допускать, что ?2 > 0. Так как

exp(t(B2 ? C2 ))(C1 ? C3 + ?2 (P2 + P4 )) = et (C1 ? C3 + ?2 e?2t (P2 + P4 )),

то считаем, что ?2 = 1. Следовательно, алгебра F сопряжена с алгеброй B1 ?
B3 , B2 + 1 C2 , C1 ? C3 + P2 + P4 , P1 ? P3 .
3
Аналогично рассматриваются остальные случаи. Лемма доказана.
Теорема 6.1. Нерасщепляемые подалгебры алгебры AP (2, 2) исчерпываются ал-
гебрами:
F2j = B1 ? B3 + P1 : O, (13), (13,2), (13,4), (13,24), 13,24), (13,2,4) (j = 1, 7);
F2j = B1 ? B3 + P2 : (13), (13,4), (13,24), (j = 8, 10);
F5j = B1 ? B3 + C1 ? C3 + P3 : O, (4), (13), (13,4), (13,2), (13,2w4), (13,2,4)
(w > 0, j = 1, 7);
F5j = B1 ? B3 + C1 ? C3 + P4 : O, (13), (13,2), (1,2,3) (j = 8, 11);
F6j = B1 ? B3 ? C1 + C3 + P1 : O, (2), (13), (13,2), (13,4), (13,2w4), (13,2,4)
(j = 1, 7);
F6j = B1 ? B3 ? C1 + C3 + P2 : O, (13), (13,4), (1,3,4) (j = 8, 11);
F11j = B2 + C2 + ?P2 : O, (4), (13), (1,3), (13,4), (1,3,4) (? > 0, j = 1, 6);
F11j = B2 + C2 + ?P4 : O, (2), (13), (1,3), (13,2), (1,2,3) (? > 0, j = 7, 12);
F11j = B2 + C2 + P2 + P4 : O, (13), (1,3) (j = 13, 15);
F11j = B2 + C2 + P2 : (24), (13,24), (1,24,3) (j = 16, 18);
F14j = B3 ? C3 + ?P2 : O, (1), (3,4), (1,3,4) (? > 0, j = 1, 4);
F15j = B3 + C3 + ?P4 : O, (3), (1,2), (1,2,3) (? > 0, j = 1, 4);
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 437

F17.1 = B1 ? B3 + P2 ? P4 , C1 ? C3 ; F17.2 = B1 ? B3 + P4 , C1 ? C3 ? P4 ;
F17.3 = B1 ? B3 + P2 , C1 ? C3 ? P4 ;
F17.4 = B1 ? B3 + P2 , C1 ? C3 + ?P2 + ?P4 , P1 ? P3 (?, ? ? R);
F17.5 = B1 ? B3 , C1 ? C3 + P4 , P1 ? P3 ;
F17.6 = B1 ? B3 + P1 , C1 ? C3 ? P1 + ?P4 , P1 ? P3 , P2 (? ? 0);
F17.7 = B1 ? B3 , C1 ? C3 + P4 , P1 ? P3 , P2 ;
F17.8 = B1 ? B3 + P1 , C1 ? C3 + P1 + ?P2 , P1 ? P3 , P4 (? ? 0);
F17.9 = B1 ? B3 + P2 , C1 ? C3 , P1 ? P3 , P4 ;
F17.10 = B1 ? B3 + ?P2 , C1 ? C3 + P1 , P1 ? P3 , P2 + P4 (? ? 0);
F17.11 = B1 ? B3 + P2 , C1 ? C3 , P1 ? P3 , P2 + P4 ;
F17.12 = B1 ? B3 + P1 , C1 ? C3 + ?P3 , P1 ? P3 , P2 , P4 (? ? R);
F23j = B1 ? B3 + C1 ? C3 , B2 + C2 + ?P4 : O, (13,2), (13,2w4), (1,2,3) (? > 0,
w > 0, j = 1, 4);
F23.5 = B1 ? B3 + C1 ? C3 , B2 + C2 + ?P2 + ?P4 , P1 ? P3 (?, ? ? 0, ?2 + ? 2 = 0);
F23.6 = B1 ? B3 + C1 ? C3 , B2 + C2 + ?P2 , P1 ? P3 , P4 (? > 0);
F24j = B1 ? B3 ? C1 + C3 , B2 + C2 + ?P2 : O, (13,4), (13,2w4), (1,3,4) (? > 0,
w > 0, j = 1, 4);
F24.5 = B1 ? B3 ? C1 + C3 , B2 + C2 + ?P2 + ?P4 , P1 ? P3 (? ? 0, ? ? 0,
? + ? 2 = 0);
2

F24.6 = B1 ? B3 ? C1 + C3 , B2 + C2 + ?P4 , P1 ? P3 , P2 (? > 0);
F25j = B1 ? B3 , B2 + C2 + ?P2 : (13), (13,4) (? > 0, j = 1, 2);
F25j = B1 ? B3 , B2 + C2 + ?P4 : (13), (13,2) (? > 0, j = 3, 4);
F25j = B1 ? B3 , B2 + C2 + P4 : (13,24), (13,24), (1,24,3) (j = 5, 7);
F25.8 = B1 ? B3 , B2 + C2 + P2 + P4 ;
F25.9 = B1 ? B3 , B2 + C2 + P2 ± P4 , P1 ? P3 ;
F26j = B2 + 3C2 , B1 ? B3 + P2 ? P4 : O, (13) (j = 1, 2);
F26j = B2 + 3C2 , B1 ? B3 + P4 : (24), (13,24), (13,24), (1,24,3) (j = 3, 6);
F33j = B1 ? B3 , B2 + C2 + ?P2 , C1 ? C3 : (13), (13,4) (? > 0, j = 1, 2);
F33j = B1 ? B3 , B2 + C2 + ?P4 , C1 ? C3 : (13), (13,2) (? > 0, j = 3, 4);
F33.5 = B1 ? B3 , B2 + C2 + P4 , C1 ? C3 , P1 ? P3 , P2 + P4 ;
F33.6 = B1 ? B3 , B2 + C2 + P2 + P4 , C1 ? C3 , P1 ? P3 ;
F34.1 = B1 ? B3 , C1 ? C3 , B2 ? C2 + P1 ? P3 ;
F34.2 = B1 ? B3 , C1 ? C3 , B2 ? C2 + P3 , P1 ? P3 , P2 , P4 ;
F35j = B1 ? B3 , B2 + 1 C2 , C1 ? C3 + P2 + P4 : O, (13) (j = 1, 2);
3
F35.3 = B1 ? B3 , B2 + 1 C2 , C1 ? C3 + P4 , P1 ? P3 , P2 ? P4 ;
3
F35j = B1 ? B3 , B2 ? 3 C2 , C1 ? C3 + P2 : (13,24), (13,2,4) (j = 4, 5).
1

Основные этапы доказательства проведены в леммах 6.1–6.4. Остальные этапы
аналогичны.
438 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

1. Donkov A.D., Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Mir-Kasimov R.M., Extension оf the S-matrix
of the mass shell and momentum space of constant curwature, Preprint E2–6992, Dubna, Joint
Institute for Nиclеar Research, 1974, 36 p.
2. Donkov A.D., Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Mir-Kasimov R.M., Translation invariant quantum
field with de-Sitter momentum space of the mass shell, Preprint E2–7936, Joint Institute for Nиclеar
Research, Dubna, 1974, 22 p.
3. Donkov A.D., Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Mir-Kasimov R.M., Extension of the S-matrix of
mass shell and momentum space of constant curvature, В кн.: Труды Математического института
им. В.А. Стеклова, Т. CXXXYI, Тр. Междунар. конф. по математическим проблемам квантовой
теории поля и квантовой статистике, ч. II, Поля, частицы, математические вопросы квантовой
статистики, М., Наука, 1975, 85–129.
4. Fushchych W.I., On a motion equations for two particles in relativistics quantum mechanics, Lett.
Nuovo Cimento, 1974, 10, № 4, 163–168.
5. Aghassi J.J., Rоmаn P., Sentilli R.M., Relation of the inhomogeneous de Sitter group to the quantum
mechanics of elementary particles, J. Math. Phys., 1970, 11, № 8, 2297–2301.
6. Фущич В.И., Представления полной неоднородной группы де Ситтера и уравнения в пятимерном
подходе. I, Теор. и мат. физика, 1970, 4, № 3, 360–382.
7. Фущич В.И., Сегеда Ю.H., О группах инвариантности некоторых уравнений релятивистской
квантовой механики, Укр. мат. журн., 1976, 28, № 6, 844–849.
8. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
I. Gеnеrаl method and the Poincar? group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1597–1624.
e
9. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
II. The similitude group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1615–1624.
10. Patera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuos subgroups of the fundamental groups
of physics. III. The de Sitter groups, J. Math. Phys., 1977, 18, № 12, 2259–2288.
11. Burdel G., Patera J., Perrin M. and Winternitz P., The optical group and its subgroups, J. Math.
Phys., 1978, 19, № 8, 1758–1780.
12. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., The maximal solvable subgroups of SO(p, q) groups, J.
Math. Phys., 1974, 15, № 11, 1932–1938.
13. Джекобсон Н., Алгебры Ли, М., Мир, 1964, 355 с.
14. Bacry H., Combe Ph., Sorba P., Connected subgroups of the Poincar? group. I, Repts. Math. Phys.,
e
1974, 5, № 2, 145–186.
15. Bacry H., Combe Ph., Sorba P., Connected subgroups of the Poincar? group. II, Repts. Math. Phys.,
e
1974, 5, № 4, 193–202.
16. Lassnar W., Realizations of the Poincar? group on homogeneous spaces, Acte Phys. Slov., 1973,
e
23, № 4, 193–202.
17. Beckers J., Patera J., Perroud M. and Winternitz P., Subgroups of the Euclidean group and
symmetry breaking in nonrelativistic quantum mechanics, J. Math. Phys., 1977, 18, № 1, 72–83.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 439–450.

О пуанкаре-, галилеево-инвариантных
нелинейных уравнениях
и методах их решения
В.И. ФУЩИЧ
Предложен способ построения пуанкаре- и галилеево-инвариантных нелинейных
уравнений. Некоторые из полученных уравнений обладают более широкой симме-
трией, чем линейные волновые уравнения. Построены нелинейные уравнения для ре-
лятивистской жидкости и электромагнитного поля. Рассмотрена новая модель взаи-
модействия спинорного и скалярного полей. Обсуждаются приемы для отыскания
семейств частных решений нелинейных уравнений. Приведены примеры неразмно-
жаемых решений для нелинейного спинорного уравнений.

Введение
При нелинейном обобщении волнового уравнения для скалярного поля u(x)
рассматривают уравнение [1]
pµ pµ u(x) + F1 (u, u? )u(x) = 0, (1)
x = (x0 , x1 , x2 , x3 ),
F1 (u, u? ) — некоторая нелинейная дифференцируемая функция от u(x) и комп-
лексно-сопряженной функции u? ,
?
pµ = ig µ? ?? , ?? = , µ, ? = 0, 1, 2, 3.
?x?
Уравнение Дирака обобщают таким же путем, т.е. добавляют нелинейный член к
свободному оператору Дирака
?
?µ pµ ?(x) + F2 (?, ?)?(x) = 0, (2)
? = ?† ?0 , F2 (?, ?) — произвольная дифференцируемая функция от ??. Уравне-
? ? ?
ния (1), (2) инвариантны относительно группы Пуанкаре P (1, 3). В тoм случае,
когда F1 = 0, F2 = 0, уравнения (1), (2) инвариантны относительно конформ-
ной группы C(1, 3) ? P (1, 3) ? O(1, 3). Требование инвариантности относительно
группы C(1, 3) дает возможность конкретизировать нелинейности в (1) и (2) [2].
При таком способе обобщения волновых уравнений симметрия его, по срав-
нению с линейным уравнением, не расширяется. В этой работе указан простой
способ построения нелинейных волновых уравнений, симметрия которых может
быть значительно шире, чем симметрия исходного линейного уравнения.

§ 1. О нелинейном обобщении уравнений Дирака и Даламбера
?
1. Pacсмотpим линейную систему Дирака для ? и ?
(i?µ pµ ? m)?(x) = 0, (1.1)
Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1985, C. 4–19.
440 В.И. Фущич

?
(i?µ ?? µ + m?) = 0. (1.2)

Нелинейные уравнения типа (2) можно получить с помощью следующей замены:
? ?
m > M = F2 (??) + F3 (?S45 ?) + F4 (Vµ V µ ) + F5 (Vµ? V µ? ), (1.3)
? ? (1.4)
Vµ = ?Sµ5 ?, Vµ? = ?Sµ? ?,
i i i
S5µ = ? ?µ , (1.5)
Sµ5 = ?µ , S45 = ?4 , ?4 = ?0 ?1 ?2 ?3 ,
2 2 2
i i
(?µ ?? ? ?? ?µ ), (?µ ?4 ? ?4 ?µ ). (1.6)
Sµ? = Sµ4 =
4 4
Очевидно, что в формулах (1.3), не нарушая пуанкаре-инвариантности, можно
добавить члены типа F4 (Vµ V µ ), F5 (Vµ? V µ? ),
? ? (1.7)
Vµ = ??4 Sµ5 ?, Vµ? = ??4 Sµ? ?.
Для нелинейных обобщений линейных уравнений, описывающих свободные по-
ля произвольного спина, полезно заметить, что матрицы (1.5), (1.6) удовлетворяют
коммутационным соотношениям алгебры Ли группы O(1, 5) [1]. Поэтому замена
(1.3) может быть использована не только для обобщения уравнения Дирака.
Замена (1.3) не расширяет группу симметрии безмассового (m = 0) уравнения
Дирака (1.1). Рассмотрим теперь следующие обобщения уравнения Дирака. Заме-

<< Предыдущая

стр. 100
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>