<< Предыдущая

стр. 101
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ним в уравнении (1.1) оператор-вектор ?µ , вектор-матрицу ?µ , спинор ? таким
путем
?µ > Dµ ? A1 ?µ + A2 Vµ + A3 Vµ? V ? , (1.8)

?µ > ?µ ? B1 ?µ + B2 Vµ? ? ? + B3 Vµ , (1.9)

? > ? ? C1 ? + C2 Vµ ? µ ? + C3 Vµ? ? µ? ?, (1.10)
? ? ?
где Ai , Bi , Ci — произвольные дифференцируемые функции от ??, ?Sµ? ??S µ? ?,
? ?
?Vµ ??V µ ?.
Уравнение (1.1) после замен (1.8)–(1.10) принимает вид
i?µ Dµ ? ? M ? = 0. (1.11)
?
Уравнение для сопряженного спинора ? записывается очевидным образом.
В формулах (1.8)–(1.10) можно добавить соответствующие члены с Vµ и Vµ? .
В уравнении (1.11) операторы ?µ и Dµ не коммутируют, поэтому более симме-
тричное нелинейное обобщиние уравнения Дирака выглядит как

(? Dµ + Dµ ?µ )? ? M ? = 0. (1.12)
2
Из приведенного ясно, что с помощью указанных замен можно получить широ-
кие классы пуанкаре-инвариантных нелинейных уравнений, которые не изучались
ранее. Важно подчеркнуть, что при специальном выборе функций Ai , Bi , Ci , Fi
получаем уравнения, которые обладают значительно более богатыми симметрий-
ными свойствами, чем исходное безмассовое уравнение Дирака (m = 0) (1.1). Так,
О пуанкаре-, галилеево-инвариантных нелинейных уравнениях 441

например, с помощью замены (1.8), (1.9), когда A1 = 1, A2 = A3 = 0, B1 = 0,
B2 = 0, B3 = 1, Fi = 0, получаем уравнение [2]
??
?
Vµ ? µ ? = ??µ ? (1.13)
= 0.
?xµ
Уравнение (1.13) инвариантно относительно бесконечномерной алгебры Ли, содер-
жащей в качестве подалгебры конформную алгебру AC(1, 3) и алгебру Пуанкаре
AP (1, 3). Это обстоятельство весьма существенное, поскольку чем выше симме-
трия нелинейного уравнения, тем больше надежд построить его решения. В не-
которых случаях нелинейные уравнения, инвариантные относительно бесконечно-
мерных алгебр, допускают линеаризацию с помощью локальных и нелокальных
зaмен [3].
Замечание 1. Среди множества уравнений (1.12) имеются уравнения
?
?µ (pµ + A1 ??µ ?)? = m?,
?
pµ (?µ + A1 ??µ ?)? = m?,
(?µ pµ + Sµ? ?µ ?? ?)? = m?,
которые можно тpaктoвaть как уравнения движения для спинорной частицы мас-
? ?
сы m, движущейся в собственном векторном ??µ ? и тензорном ??µ ?? ? полях.
Точные решения этих уравнений могут быть построены с помощью анзатца [1, 2].
2. Обобщим линейное уравнение Даламбера

?µ ? µ u = 0 (1.14)

для комплексной скалярной функции u.
Если в (1.14) произвести замену

?µ > Dµ = A1 ?µ + A2 u? ?µ u + A3 u?µ u? , (1.15)

u > u = F (uu? )u, (1.16)

то получим уравнение

Dµ Dµ u = 0. (1.17)

В этот класс уравнений входит, в частности, уравнение

?µ ? µ u + (?? u)(? ? u)u = 0, (1.18)

которое можно представить через матрицы Дирака

i? µ ?µ i?? ? ? ?(x) = 0. (1.19)

Замены (1.3), (1.8)–(1.10) в уравнениях (1.18) и (1.19) дают нам две неэквивален-
тные системы нелинейных уравнений

Dµ Dµ ? = M 2 ?, (1.20)

?µ Dµ ?? D? ? = M 2 ?. (1.21)
442 В.И. Фущич

Среди множества уравнений (1.20) имеется, в частности уравнение вида [5]
? ?
(?µ + ?1 ??µ ?)(? µ + ?1 ?? µ ?)? + ?2 Sµ? V µ? ? = m2 ?,
где ?1 , ?2 , ?3 — произвольные параметры, которое можно интерпретировать как
уравнение движения для частицы со спином 1/2, движущейся в собственном спи-
норном поле.
Аналогично обобщается уравнение Монжа–Ампера
(1.22)
det ?µ ?? u = 0.
После замены (1.15), (1.16) получим
det Dµ D? u = 0. (1.23)

§ 2. О нелинейных уравнениях для peлятивиcтскoй
жидкости и электромагнитного поля
В этом параграфе, исходя из линейных уравнений, построим нелинейные ура-
внения движения для релятивистской жидкости и электромагнитного поля.
1. Рассмотрим линейное пуанкаре-инвариантное уравнение для вектора-скоро-
сти vµ
?1 ?? ? ? vµ ? ?2 ?µ (?? v ? ) = m2 vµ , (2.1)
µ = 0, 1, 2, 3,
где ?1 , ?2 , ?3 , m — произвольные пapaметpы. В том случае, когда ?2 = 0 или
?? v ? = 0 (условие неразрывности), уравнение (2.1) распадается на четыре незави-
симые волновые уравнения
? 1 ? ? ? ? v µ = m2 v µ . (2.2)
В случае ?1 = 0 имеем зацепленную систему
?2 ?µ (?? v µ ) = m2 vµ . (2.3)
Сделав в уравнениях (2.1)–(2.3) замены
?µ > Dµ = A1 ?µ + A2 vµ + A3 v? ?? vµ , (2.4)

vµ > vµ = C1 vµ + c2 v? ?? vµ , (2.5)

где A1 , A2 , A3 , C1 , C2 — функции от v? v ? , получим уравнения
?1 D? D? vµ ? ?2 Dµ (D? v ? ) = m2 vµ , (2.6)

?1 D? D? vµ = m2 vµ , (2.7)

?3 Dµ (D? v ? ) = m2 vµ . (2.8)

Уравнения (2.6)–(2.8), при определенных выборах функций Ai , C1 , C2 , инвари-
антны относительно более широких групп, чем исходные линейные уравнения
(2.1)–(2.3). Так, например, в класс уравнений (2.6) входит релятивистский ана-
лог уравнения Эйлера
?vµ
(2.9)
v? = 0,
?x?
О пуанкаре-, галилеево-инвариантных нелинейных уравнениях 443

которое инвариантно относительно бесконечномерной aлгебры. Исходное линей-
ное уравнение (2.1) не инвариантно относительно бесконечномерной алгебры. Ма-
ксимальной лoкaльной группой инвариантности уравнения (2.1) является группа
P (1, 3).
Аналогичным путем можно получить уравнение типа Навье–Стокса. Для этого
нужно исходить из линейного уравнения теплопроводности
(2.10)
(?0 + ?1 ?k ?k )va = ?2 va , a = 1, 2, 3,
va — компоненты вектора скорости v = (v1 , v2 , v3 ). Сделав в (2.10) замену
?0 > D0 = A1 (v 2 )?0 + A2 (v 2 ), (2.11)

?k > Dk = Akl (v 2 )?l + Bkl (v 2 )vl , (2.12)
k, l = 1, 2, 3,

получим
(2.13)
D0 va + ?1 Dk Dk va = ?2 va .
В (2.11), (2.12) A1 , A2 , Akl , Bkl — произвольные дифференцируемые функции от
скаляра v 2 = v1 + v2 + v3 .
2 2 2

Среди множества уравнений (2.13) содержится уравнение типа Навье–Стокса
?va
(2.14)
D0 va + vk + ?1 ?k ?k va = 0.
?xk
На множестве уравнений (2.14) реализуется нелинейное представление группы
Галилея G(1, 3) [2].
Замечание 2. Если предполагать, что скорость жидкости меньше скорости в ваку-
уме, то, видимо, члены типа m2 vµ должны присутствовать в уравнениях движения
для релятивистской жидкости.
Замечание 3. Указанным способом получается нелинейное уравнение теплопро-
водности
(2.15)
D0 u + Dk Dk u = 0, k = 1, 2, 3,
где
(2.16)
D0 = A0 (x, u)?0 + A1 (x, u),

(2.17)
Dk = Akl (x, u)?l + Bkl (x, u)?l u,

A0 , A1 , Akl , Bkl — произвольные дифференцируемые функции u, x, которое имеет
более симметричную форму, чем общепринятое нелинейное уравнение теплопро-
водности
? ?u
?0 u + c(x, u) = 0.
?xa ?xa
Если в (2.15) u — комплексная функция и в формулах (2.15), (2.16) сделать замену
?0 > p0 = i?0 , ?k > pk = ?i?k , то получим уравнение
Pu + Pk Pk u = 0, (2.18)
444 В.И. Фущич

где P0 = D0 (?0 > p0 ), Pk = Dk (?k > pk ), которое является обобщением
линейного уравнения Шредингера.
2. Перейдем к построению уравнений движения для релятивистской жидкости
и электромагнитного поля через спиноры. Предположим, что макроскопическая
жидкость представляет собой некоторое образование (структуру) из взаимодей-
ствующих спинорных частиц (полей). Тогда один из простейших путей получения
уравнения движения для спинорной жидкости состоит в следующем. Построим
вектор скорости жидкости из спиноров по формуле
?? ?? (2.19)
vµ = A1 (??)??µ ? + A2 (??)??4 ?µ ?.

Взяв, например, в качестве макроскопического уравнения движения релятивист-
ской жидкости уравнение (2.9) (или какое-либо другое пуанкаре-инвариантное
уравнение), получим
?
? ? ? ? (2.20)
(A1 ??? ? + A2 ??4 ?? ?) (A1 ??µ ? + A2 ??4 ?µ ?) = 0.
?x?
С помощью аналогичного приема строятся уравнения движения для электро-
магнитного поля из спиноров. Предположим, что макроскопическое электромагни-
тное поле — образование (структура) элементарных спинорных полей. Кроме того,
предположим, что тензор электромагнитного поля Fµ? и вектор тока строятся из
спиноров согласно формулам
?? ?? (2.21)
Fµ? = N1 (??)?Sµ? ? + N2 (??)??4 Sµ? ?,

?? ?? (2.22)
jµ = K1 (??)?Sµ5 ? + K2 (??)??4 Sµ5 ?.

Подставляя (2.21), (2.22) в уравнение Максвелла

(2.23)
?? Fµ? = jµ , ?? Fµ? + ?µ F?? + ?? F?µ = 0,

получаем уравнение движения для электромагнитного поля, построенного из спи-
норов.
Укажем еще на один способ построения тензор-матрицы Fµ? и вектор-матрицы
Aµ через спинор

Fµ? = ?µ A? ? ?? Aµ + ?(Aµ A? ? A? Aµ ), (2.24)

? ? ? ? (2.25)
Aµ = K1 (??)?? ?Sµ? ? + K2 (??)?? ??4 Sµ? ?.

Для определения спинора ? можно взять, например, уравнение вида

?? p? Aµ ? ?µ (?? A? ) = 0 (2.26)

или уравнение (2.9),полученное из соответствующего лагранжиана.
Замечание 4. Если в (2.23) сделать замены

?µ > Dµ = A1 ?µ + A2 Fµ? ?? + A3 ?? Fµ? ,
jµ > Aµ?? F ?? ,
О пуанкаре-, галилеево-инвариантных нелинейных уравнениях 445

где A1 , A2 , A3 , Aµ?? — произвольные функции от инвариантов электромагнитного
поля
W1 = Fµ? F µ? , W2 = ?µ??? F µ? F ?? ,
то получим нелинейное обобщение уравнений Максвелла.
В заключение приведем нелинейное уравнение для скалярного поля u(x), по-
строенного из спиноров
?
Pµ P µ u(x) = M 2 u(x), u = ??,
? ?? ?
Pµ = A0 (??)pµ + A1 (??)??µ ? + A2 ??4 ?µ ?,
(2.27)
n2
?
? ?? ? ? ? ?µ ?
?
M 2 = m2 + ?1 (??)n1 + ?2 ??µ ,
?xµ ?xµ
где ?1 , ?2 , n1 , n2 — произвольные постоянные.
Замечание 5. Все сказанное выше переносится и на уравнение высокого порядка.
При этом в качестве исходных линейных уравнений можно выбрать уравнения
2u + ?2 22 u + · · · + ?n 2n u = 0,
(2.28)
(p0 + ?pa pa )u + ?2 (p0 + ?pa pa )2 u + · · · + ?n (p0 + ?pa pa )n u = 0.
Последнее уравнение [2] является естественным обобщением основного уровня
движения квантовой механики.
Детальному анализу НДУЧП, полученных в этом параграфе, будут посвящены
отдельные публикации.

§ 3. О новой модели взаимодействия спинорного и скалярного полей
Общепринято считать, что взаимодействие скалярного и спинорнoro полей опи-
сывается с помощью добавления нелинейных слагаемых в свободные уравнения

<< Предыдущая

стр. 101
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>