<< Предыдущая

стр. 102
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Клейна–Гордона–Фока (КПФ) и Дирака. При этом получаем зацепленную нели-
нейную систему уравнений второго порядка. Здесь мы предложим систему пяти
уравнений первого порядка для описания взаимодействия скалярного и спинорного
полей.
Для описания скалярного поля будем использовать не уравнение КГФ, а нели-
нейное релятивистское уравнение Гамильтона
?u ?u
= ?m2 ,
?µ u? µ u = (3.1)
µ = 0, 1, 2, 3,
µ
?xµ ?x
которое получается из релятивистского соотношения для энергии и импульса E 2 ?
p2 ? p2 ? p2 ? m2 заменой
1 2 3

?u ?u
E>i pa > ?i
, .
?x0 ?xa
Уравнение (3.1) инвариантно относительно вращений и сдвигов в пятимерном псев-
доевклидовом пространстве (x0 , x1 , x2 , x3 , u) [2].
Одна из простых возможностей описания взаимодействия скалярного поля u со
спинорным полем ? состоит в рассмотрении системы
?µ u? µ u = ?M 2 , (3.2)
446 В.И. Фущич

?u
?
?µ pµ ? ? m1 ? + ?3 u(??) + ?4 ? ? ? ? = 0, (3.3)
?x
где
? ? ?
M 2 = m2 + ?1 (??)n1 + ?2 (?? µ ?µ ? ? ?µ ?? µ ?)n2 . (3.4)
Уравнение (3.2) легко обобщается с помощью замены типа (1.8): ?µ > Dµ . В урав-
нении (3.2) “масса” M скалярного поля порождается спинорным полем.
По-видимому, представляет интерес и такая пуанкаре-инвариантная система
уравнений
1/2
p0 u = pa upa u + M 2 (3.5)
,

?
?µ pµ ? ? m? + ?(??)1/3 ? = 0. (3.6)

Замечание 5. Системы уравнения (3.2)–(3.6) совершенно не изучены; даже про-
стейшее линейное уравнение КГФ с нелинейной связью
pµ pµ u = m2 u, (3.7)
1

1/2
p0 u = pa upa u + m2 (3.8)
.
2

Уравнение типа (3.8) [1] может быть использовано для выделения из множества ре-
шений (3.7) только таких, которые бы имели, например, положительную энергию.
Положив в основу уравнения (3.1) или (3.8), можно исследовать задачу о движе-
нии скалярной частицы во внешнем электромагнитном поле (замена pµ > pµ ?eAµ )
?
и “внешнем” спинорном поле (замена pµ > pµ + ???µ ?).

§ 4. О неразмножаемых семействах решений нелинейных уравнений
Нелинейные дифференциальные уравнения, инвариантные относительно гру-
ппы Пуанкаре P (1, 3), конформной группы C(1, 3), группы Галилея G(1, 3) или
более общих групп, обладают тем важнейшим свойством, что если известно хотя
бы одно частное решение (иногда даже тривиальное), то с помощью групповых
преобразований можно построить целое семейство точных решений [2, 3].
Обозначим через G — максимальную локальную группу инвариантности
НДУЧП. Пусть M — некоторое множество решений НДУЧП.
Определение 1. Множество решений M — назовем неразмножаемым относи-
тельно G, если оно инвариантно относительно G.
Определение 2. Множество M решений НДУЧП назовем размножаемым, если
оно инвариантно относительно подгруппы G1 ? G.
В этом параграфе приведем в явном виде несколько семейств неразмножаемых
решений линейного и нелинейного уравнения Дирака. Широкий класс неразмно-
жаемых решений получен в [4].
1. Неразмножаемые решения уравнения Дирака. Рассмотрим уравнение
?
?µ pµ ? + ?(??)1/3 ? = 0. (4.1)
Максимальной локальной группой инвариантности уравнения (4.1) является гру-
ппа G = C(1, 3) — 15-параметрическая группа Ли.
О пуанкаре-, галилеево-инвариантных нелинейных уравнениях 447

В линейном случае (? = 0) простейшие множества M задаются формулами:
?x + ?a
(4.2)
?= ?,
s2
? — постоянный спинор, s2 = x2 + 2ax + a2 = 0, x2 = xµ xµ , ax = aµ xµ , a =
(a0 , a1 , a2 , a3 ) — параметры, ?x = ?µ xµ , ?a = ?µ aµ ;

? = (?x + ?a)s?2 (?b)?(?1 ), (4.3)

?1 = bx+ba , b2 = bµ bµ = 0, ? — произвольный спинор, зависящий только от одной
s2
переменной ?1 ;
?x + ?a
{(?b + ?d)?1 (?2 ) + (?b ? ?c)?2 (?3 )} , (4.4)
?=
s2
?2 = (bx+dx)+(b+d)a , ?3 = (b?d)x+(b?d)a , ab = a? b? = 0, a2 = b2 = 1, ?1 , ?2 —
s2 s2
произвольные спиноры, зависящие только от инвариантных переменных.
В нелинейном случае (? = 0) простейшие неразмножаемые множества решений
задаются формулами
?x + ?a ?b bx + ba
exp ?i? 2 (??)1/3 (4.5)
?= ? ?,
2 s2
s b

?x + ?a 1/2
2 ?3/4
± i?0 ,
2
(4.6)
? = A(s ) 2)
(s
?3/2
A = 1 ±3?(??)1/3 , ? — постоянный спинор.
?
4
Непосредственной проверкой можно убедиться, что при любом преобразовании
из группы C(1, 3) многопараметрические семейства (4.2)–(4.6) являются неразмно-
жаемыми.

§ 5. О некоторых способах решения нелинейных
пуанкаре-инвариантных уравнений
В этом параграфе укажем простые приемы, которые позволяют строить семей-
ства частных решений нелинейных волновых уравнений.
1. Ради конкретности рассмотрим нелинейное уравнение Даламбера (F (u) =
3
u)

pµ pµ u + ?F (u) = ?0 u ? ?1 u ? ?2 u ? ?3 u + ?F (u) = 0,
2 2 2 2
(5.1)

НДУЧП (1) поставим в соответствие обыкновенное дифференциальное уравнение
2
F (u) = u3 , (5.2)
?0 u + ?F (u) = 0,
2 2 2
которое получается из (5.1) вычеркиванием членов ?1 u, ?2 u, ?3 u. Уравнение (5.2)
имеет, помимо хорошо известных решений в классе эллиптических функций, про-
стое частное решение

2 ?1
(5.3)
u1 (x) = i x, ? = 0.
?0
448 В.И. Фущич

Воспользовавшись преобразованиями из группы Лоренца xµ = aµ? x? , размножаем
решение (5.3) до решений, зависящих от всех переменных (x0 , x1 , x2 , x3 )

2
(ax)?1 , aµ aµ = 1. (5.4)
u2 = i
?
Используя конформные преобразования

xµ = ? ?1 (xµ + cµ x2 ), ? = 1 + 2c? x? + c2 x2 , (5.5)

размножаем решения (5.4) до семипараметрического семейства решений

u3 = ? ?1/2 u2 (x0 > x0 , x1 > x1 , x2 > x2 , x3 > x3 ). (5.6)

Очевидно, что уравнению (5.1) можно сопоставить обыкновенное уравнение вида

??1 u + ?u3 = 0.
2
(5.7)

В этом случае получим такие семейства уравнения (5.1):

2
(a? x? )?1 , aµ aµ = ?1,
u2 =
? (5.8)
u3 = ? ?1/2 u2 (xµ > xµ ).

2. С помощью указанного приема построим решения нелинейной системы Ди-
? ?
рака (2) с нелинейностью F2 (??) = ?(??)1/3 . Расмотрим систему нелинейных
обыкновенных уравнений вида
?
i?0 ?0 ? + ?(??)1/3 ? = 0. (5.9)

Общее решение (5.9) задается формулой

?1 = exp{?i??0 x0 }?, ? — постоянный спинор. (5.10)

Размножая решения с помощью преобразований Лоренца и конформных преобра-
зований (5.5), получаем следующее неразмножаемое семейство решений:

1 ? (?x)(?c) ax ? (ac)x2
(5.11)
?2 = exp i?(?a) ?.
?2 ?
Следует отметить, что размножать решения НДУЧП можно не только с помо-
щью преобразований, образующих группу Ли. Так, например, уравнения

i? µ ?µ + ?1 (x? x? )?1/2 ? = 0, (5.12)

2u + ?1 (x? x? )?1 u = 0 (5.13)

не инвариантны относительно конформных преобразований (5.5), но инвариантны
относительно инверсии

xµ > xµ = x2 = 0. (5.14)
,
x2
О пуанкаре-, галилеево-инвариантных нелинейных уравнениях 449

Преобразования (5.14) не образуют группу Ли. Если ?1 и u1 — решения уравнений
(5.12), (5.13), то новые решения ?2 и u2 строятся по формулам
?x x0 x1 x2 x3
? x0 > 2 , x1 > 2 , x2 > 2 , x3 > 2 , (5.15)
?2 = 2 )2 1
(x x x x x

1 x0 x1 x2 x3
u1 x0 > ? 2 , x1 > ? 2 , x2 > ? 2 , x3 > ? 2 . (5.16)
u2 =
x2 x x x x
Формулы (5.15), (5.16) можно рассматривать как обобщение известной теоремы
Кельвина для уравнения Лапласа на линейные и нелинейные волновые уравнения.
Описанный выше прием пригоден и для отыскания частных решений галилеево-
инвариантных уравнений типа (2.18).
Другой способ построения частных решений НДУЧП состоит в замене много-
мерного уравнения (5.1) системой двумерных уравнений вида

?0 u ? ?1 u + F (u) = 0,
2 2
(5.17)
2 2
(5.18)
?2 u + ?3 u = 0.

Двумерную систему (5.17), (5.18) легче решить, чем исходное многомерное урав-
нение (5.1). Построив частные решения системы (5.17), (5.18), paзмнoжаем их до
неразмножаемых решений уравнения (5.1). В том случае, когда F (u) = ? exp u,
уравнение (5.17) имеет общее решение, зависящее от двух произвольных фун-
кций. Подставив эти решения в (5.18), получим уравнение для определения двух
произвольных функций. Если F (u) = sin u, уравнение (5.17), как известно, имеет
солитонные решения.
Третий способ отыскания частных решений уравнения (5.1) состоит в его “ли-
неаризации”. Уравнение (5.1) заменяем на линейное уравнение с “потенциалом”

2u + ?V (x)u = 0 (5.19)

или

2u = ?V (x). (5.20)

“Потенциал” V (x) можно конкретизировать либо из требования, инвариантности
(5.19) относительно, например, конформных преобразований, либо из физических
соображений. Если в ypавнении (5.1) F (u) = u3 , то естественно требовать, чтобы
и уравнение (5.19) было инвариантно относительно конформных преобразований
(5.5). Это приводит к тому, что V (x) = (x? x? )?1 = u2 . Построив решения уравне-
ния (5.19), получим решения исxoднoго нелинейного уравнения (5.1).
Для отыскания peшений мы, обычно, используем анзатц [1–5]

(5.21)
?(x) = A(x)?(?),

где A(x) — матрица 4 ? 4, ?(?) — вектор-столбец ? = {?0 , ?1 , ?2 , ?3 }, каждая
компонента которогo зависит только от одной или двух инвариантных переменных

<< Предыдущая

стр. 102
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>