<< Предыдущая

стр. 103
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? = (?1 , ?2 ). Более общий анзатц для уравнения Дирака имеет вид

bµ? (x, ?, ?? )?? = aµ? (x, ?? , ?)?? (?), (5.22)
µ, ? = 0, 3,
450 В.И. Фущич

функции bµ? , aµ? определяются из условия “разделения” переменных. С помощью
анзатца (5.18) могут быть получены решения, которые определяют спинор ? не-
явным образом, т.е. решения задаются в виде системы четырех (или восьми для
? и ?? ) уравнений

Nµ (x0 , x1 , x2 , x3 , ?0 , ?1 , ?2 , ?3 ) = 0, µ = 0, 1, 2, 3.

Примером неявного анзатца может быть такое соотношение:
? ? ?
f1 (x)?? x? + f2 (x)(??) + f3 (x)x? ??? ? + f4 (x)? ? ??? ? ? =
= f5 (x)? ? x? ?(?) + f6 (x)? ? (??? ?)?(?),
?
где f1 , f2 , . . . , f6 — произвольные гладкие функции.

1. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
2. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
3. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouvil, D’alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, № 15,
3645–3656.
4. Фущич В.И., Жданов Р.З., Точные решения систем нелинейных дифференциальных уравне-
ний для спинорного и векторного полей, в кн.: Теоретико-групповые исследования уравнений
математической физики, Киев, Институт математики АН УССР, 1985, 20–30.
5. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Zhdanov R.Z., On the new conformally invariant equations for
spinor fields and their exact solutions, Phys. Lett. B, 1985, 159, № 2–3, 189–191.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 451–478.

Непрерывные подгруппы обобщенной
группы Галилея. I
В.И. ФУЩИЧ, А.Ф. БАРАННИК, Л.Ф. БАРАННИК
В работе изучаются подалгебры обобщенной алгебры Евклида LE(n) и обобщенной
алгебры Галилея LG(n) для произвольного n ? 2. Показано, что полное описание
подалгебр алгебры LE(n) сводится к задаче классификации относительно O(n)-
сопряженности подалгебр ортогональной алгебры LO(n). Выделены все подалге-
бры LO(n), обладающие только расщепимыми расширениями в LE(n) и в изохрон-
?
ной алгебре Галилея LG(n). Доказывается теорема о строении подалгебр алгебры
LG(n).
Изложен алгоритм классификации относительно G(n)-сопряженности расщепимых
разрешимых подалгебр алгебры LG(n). Полностью описаны относительно G(n)-
сопряженности максимальные абелевы подалгебры алгебры LG(n) и расширенной
алгебры Галилея LG(n).
Полностью проведена классификация всех подалгебр алгебр Евклида LE(5) и
LE(6), а также подалгебр алгебр LG(3) и LG(3).

Введение
Пусть R — поле вещественных чисел, Rn — n-мерное евклидово пространство.
Группа Галилея G(n) определяется как множество всех преобразований вида
x = W x + tv + u,
t = t + b,
где t — время, W — ортогональное преобразование Rn , u, v ? Rn , b ? R. Групповое
умножение двух произвольных элементов (W, b, v, u), (W , b , v , u ) группы G(n)
определяется формулой
(W, b, v, u) · (W , b , v , u ) = (W W , b + b , W v + v, W u + u + b v).
Групповое умножение может быть записано как матричное произведение, если
представить g = (W, b, v, u) в виде матрицы порядка n + 2:
? ?
Wvu
g = ? 0 1 b ?.
001
Отсюда вытекает, что алгебра Ли LG(n) группы G(n) допускает изоморфное пред-
ставление матрицами
? ?
S v1 u1
? 0 0 b1 ? ,
000
где S — кососимметрическая матрица порядка n, v1 , u1 — произвольные n-
мерные векторы, b1 — вещественное число. Обозначим через Jab (a < b), Pa , Ga
Препринт 85.19, Киев, Институт математики АН УССР, 1985, 46 c.
452 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

(a, b = 1, n) соответственно генераторы поворотов, пространственных трансляций,
чистых преобразований Галилея, а через P0 — генератор временной трансляции.
Эти генераторы образуют базис алгебры LG(n) и связаны следующими коммута-
ционными соотношениями:
[Jab , Jcd ] = ?ad Jbc + ?bc Jad ? ?ac Jbd ? ?bd Jac , [Pa , Jbc ] = ?ab Pc ? ?ac Pb ,
[Ga , Jbc ] = ?ab Gc ? ?ac Gb ,
[Pa , Pb ] = 0, [Ga , Gb ] = 0, [Pa , Gb ] = 0,
[P0 , Jab ] = [P0 , Pa ] = 0, [Ga , P0 ] = Pa (a, b, c = 1, n).
Расширенная группа Галилея G(n) определяется как центральное расширение
мультипликативной группы комплексных чисел, равных по модулю единице, с
помощью группы G(n). Алгебра LG(n), называемая расширенной алгеброй Га-
лилея, получается из алгебры LG(n), если для генератора центра M положить
[Ga , Pa ] = M , а все остальные коммутационные соотношения оставить без изме-
нения. В дальнейшем генераторы алгебр LG(n) и LG(n) будем обозначать одними
и теми же символами.
Описание подгрупповой структуры группы Ли используется при решении ря-
да задач математической и теоретической физики: разделение переменных в ли-
нейных дифференциальных уравнениях в частных производных [1], построение
точных частных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных [2–4], редукция представлений группы на подгруппы [5–7] .
Алгебра LG(3) является одной из важных подалгебр алгебры Пуанкаре
LP (1, 4), которую в работах [8–11] было предложено использовать для описа-
ния движения частиц переменной массы и переменного спина. В [12] связные
подгруппы группы G(3) были применены в качестве групп инвариантности эле-
ктромагнитных полей. Группа Галилея является подгруппой группы симметрии
свободного уравнения Шредингера [13, 14], и поэтому может быть использована
для классификации потенциалов и граничных условий. В работе [15] подгруппы
евклидовой группы E(3) являющейся подгруппой G(3), были использованы для
изучения нарушений симметрии в нерелятивистской квантовой механике скаляр-
ной и спинорной частиц.
В [16] проведено исследование относительно G(3)-сопряженности подалгебр
алгебры LG(3). Анализ списка подалгебр, полученных в этой работе, показывает,
что некоторые из них являются сопряженными относительно G(3).
В данной работе исследуется для произвольного n ? 2 структура алгебры
LG(n) относительно G(n)-сопряженности. При описании представителей классов
G(n)-сопряженных подалгебр алгебры LG(n) мы используем предложенный в [17]
общий метод нахождения классов сопряженных подалгебр конечномерной алгебры
Ли с нетривиальным абелевым идеалом. Дадим краткую характеристику работы.
В § 1 изучены разрешимые подалгебры обобщенной алгебры Евклида LE(n).
Показано, что полное описание таких подалгебр относительно E(n)-сопряжен-
ности сводится к классификации относительно O(n)-сопряженности подалгебр по-
далгебры Картана алгебры LO(n).
В § 2 выделены подалгебры алгебры LO(n), обладающие только расщепимыми
?
расширениями в LE(n) и в изохронной алгебре Галилея LG(n). В этом же пара-
графе доказывается теорема о строении подалгебр алгебры LG(n).
В § 3, являющимся логическим продолжением предыдущих параграфов, изло-
жен алгоритм классификации относительно G(n)-сопряженности расщепимых ра-
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 453

зрешимых подалгебр алгебры LG(n). Полностью описаны относительно G(n)-
сопряженности максимальные абелевы подалгебры алгебр LG(n) и LG(n).
§ 4 посвящен классификации всех подалгебр алгебр Евклида LE(5) и LE(6),
а в § 5 мы находим представители классов G(3)-сопряженных подалгебр алгебр
LG(3) и LG(3).
Отметим, что в следующей статье будет изложена классификация всех подал-
гебр алгебры LG(4) и подалгебр с некоторыми ограничениями алгебры LG(5).

§ 1 Разрешимые подалгебры обобщенной алгебры Евклида
Пусть X1 , X2 , . . . , Xs — векторное пространство или алгебра Ли с образу-
ющими X1 , X2 , . . . , Xs над полем R вещественных чисел; N = P1 , P2 , . . . , Pn ;
M — подпространство N; J(n) = J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m — подалгебра Картана
алгебры LO(n) группы O(n) ортогональных преобразований n-мерного евклидова
пространства, m = [n/2];
m m m
?i J2i?1,2i | ?i = 0, ±1 ; |?i |J2i?1,2i .
?(n) = ?i J2i?1,2i =
1 1 1

Если Xa , Xb ? ?(n), то |Xa | ? |Xb | — сумма общих слагаемых элементов |Xa |,
|Xb |; Xa ? Xb = 0, если |Xa | и |Xb | не имеют общих слагаемых.
Алгебра Евклида LE(n) n-мерного пространства определяется такими комму-
тационными соотношениями:
[Jab , Jcd ] = ?ad Jbc + ?bc Jad ? ?ac Jbd ? ?bd Jac ,
[Pa , Jbc ] = ?ab Pc ? ?ac Pb , Jba = ?Jba
[Pa , Pb ] = 0, (a, b, c = 1, n).

Предложение 1.1. Алгебра JJ(n) = N + J(n) является максимальной разре-
?
шимой подалгеброй алгебры LE(n). Каждая максимальная разрешимая подал-
гебра алгебры LE(n) сопряжена с JJ(n).
Доказательство. Хорошо известно, что LO(n) обладает относительно O(n)-сопря-
женности только одной максимальной разрешимой подалгеброй, совпадающей с
подалгеброй Картана J(n). Так как N — радикал LE(n), то каждая максимальная
разрешимая подалгебра содержит N, а потому сопряжена с JJ(n). Предложение
доказано.
Лемма 1.1. Одномерные подалгебры алгебры LO(n) исчерпываются относи-
тельно O(n)-сопряженности алгебрами

J12 + ?1 J34 + · · · + ?m?1 J2m?1,2m ,

где m = [n/2], 0 ? ?m?1 ? · · · ? ?1 ? 1. Две такие алгебры O(n)-сопряжены
тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых базисных
векторах J2l?1,2l (l = 2, m).
Доказательство. Если A — подалгебра LO(n) и dim A = 1, то A сопряжена с
алгеброй ?1 J12 + ?2 J34 + · · · + ?m J2m?1,2m . Пусть C — матрица, получаемая из
единичной в результате выполнения над столбцами такой подстановки

2s ? 1 2t ? 1
2s 2t
(s < t).
2t ? 1 2s ? 1
2t 2s
454 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

Автоморфизм LO(n), соответствующий матрице C, оставляет без изменений гене-
раторы J2a?1,2a (a = s, a = t) и отображает J2s?1,2s в ?J2t?1,2t , а J2t?1,2t — в
?J2s?1,2s . Вследствие этого можно предполагать, что ?1 = 0 и если ?c = 0 для
?1
1 < c < m, то ?i = 0 для всех i > c. Умножив генератор алгебры A на ?1 , полу-
чим, что A = J12 +?1 J34 +· · ·+?m?1 J2m?1,2m , где все коэффициенты, следующие
за нулевым коэффициентом, суть нулевые. Автоморфизм LO(n), соответствующий
матрице
diag {1, . . . , ?1, . . . , 1},
2s+1

изменяет знак ?s и оставляет без изменений остальные коэффициенты. Следова-
тельно, можно предполагать, что ?i ? 0 для i = 1, m ? 1.
Если ?1 > 1, то, переставив J12 и J34 , подучим алгебру
?1 J12 + J34 + ?2 J56 + · · · + ?m?1 J2m?1,2m =
?1 ?1 ?1
= J12 + ?1 J34 + ?1 ?2 J56 + · · · + ?1 ?m?1 J2m?1,2m .
На основании этого можно всегда допускать, что 1 ? ?1 ? ?2 ? · · · ? ?m?1 ? 0.
Так как характеристический многочлен матрицы
?(J12 + ?1 J34 + · · · + ?m?1 J2m?1,2m )
равен
(x2 + ?2 )(x2 + ?1 ?2 ) · · · (x2 + ?m?1 ?2 ),
2 2


то из сопряженности алгебр
m?1 m?1
J12 + ?i J2i+1,2i+2 , J12 + ?i J2i+1,2i+2
i=1 i=1

вытекает, что 1 = ?2 ?j , ?i = ?2 ?ni (i = 1, m ? 1, j = i). Отсюда получаем, что
2 2 2

?2 = 1 и ?i = ?i для всех i = 1, m ? 1. Лемма доказана.
Предложение 1.2. Ненулевая абелева подалгебра алгебры LO(n) сопряжена с
алгеброй A(p, 0; 0) = J2i?1,2i | i = 1, p или с алгеброй A(p, q; ?), обладающей
базисом
? ?
? ?
p+q
?ij J2j?1,2j | i = 1, p , (1.1)
J +
? 2i?1,2i ?
j=p+1

где коэффициенты ?ij удовлетворяют таким условиям:
1 ? ?1,p+1 ? ?1,p+2 ? ?1l1 > 0, ?1,l1 +1 = · · · = ?1m = 0;
1)
1 ? ?2,l1 +1 ? ?2,l1 +2 ? ?2l2 > 0, ?2,l2 +1 = · · · = ?2m = 0;
1 ? ?s,ls?1 +1 ? ?s,ls?1 +2 ? · · · ? ?sls > 0, ?s,ls +1 = · · · = ?sm = 0,
?ij = 0 при i > s, j > q + p = ls ;
2) если в i-ой строке подряд записано несколько равных коэффициентов
(i = 1, t), то в t+1-ой строке коэффициенты с теми же номерами расположены
в порядке убывания;
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 455

3) число ненулевых элементов i-ой строки не меньше числа ненулевых эле-
ментов i + 1-ой строки (i = 1, p ? 1 ).
Доказательство. Согласно лемме 1.1 ненулевая подалгебра A алгебры Картана
J(n) обладает генератором J12 + ?2 J34 + · · · + ?m J2m?1,2m (m = [n/2]). Если
dim A > 1, то по лемме 1.1 в A существует генератор J34 +?3 J56 +· · ·+?m J2m?1,2m .
Продолжая эти рассуждения, приходам к выводу о существовании в A базиса
? ?
? ?
m
?ij J2j?1,2j | i = 1, p ,
J2i?1,2i +
? ?
j=p+1

где p = dim A. Используя рассуждения, проведенные в доказательстве леммы 1.1,
получаем, что построенный базис сопряжен с базисом (1.1). Предложение доказа-
но.
Лемма 1.2. Пусть X = ?1 X1 + · · · + ?s Xs , где X1 , . . . , Xs ? ?(n), Xi ? Xj = 0
2 2
при i = j, а ?1 , . . . , ?s — такие ненулевые вещественные числа, что ?i = ?j
при i = j. Если M — подпространство N и [X, M] ? M, то M = [X1 , M] ? · · · ?
[Xs , M] ? M, где [Xi , M] = 0 для i = 1, s.
b
±J2ij ?1,2ij . Так как
Доказательство. Проведем индукцию по s. Пусть X1 =
1
[X1 , M] — проекция M на P2i1 ?1 , P2i1 , . . . , P2ib ?1 , P2ib , то M = [X1 , M] ? M, где
[X1 , M] = 0.
Пусть s > 1. Если Y ? M, то Y = Y1 + · · · + Ys + Y , где Yj = ?[Xj , [Xj , Y ]],
[Xj , Y ] = 0 (j = 1, s). Так как

<< Предыдущая

стр. 103
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>