<< Предыдущая

стр. 104
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?[X, [X, Y ]] = ?1 Y1 + ?2 Y2 + · · · + ?s Ys ,
2 2 2


то
?[X, [X, Y ]] ? ?1 Y = (?2 ? ?1 )Y2 + · · · + (?s ? ?1 ) ? ?1 Y .
2 2 2 2 2 2


Пусть M = {Y ? M | [X1 , Y ] = 0}. Очевидно, M инвариантно относитель-
но ?2 X2 + · · · + ?s Xs , а потому к нему применимо индуктивное предположение.
Поскольку [X, [X, Y ]] + ?1 Y ? M , то Y2 , . . . , Ys , Y ? M . Отсюда вытекает, что
2

Y1 , Y2 , . . . , Ys , Y ? M. Лемма доказана.
Лемма 1.3. Пусть X = X1 + X2 , X = X3 + X4 , где Xi ? ?(n) (i = 1, 4),
|X1 | = |X3 |, Xi ? Xj = 0 при i < j, (i, j) = (1, 3). Если M ? N и M инвариантно
относительно ad X, ad X , то M = [X1 , M] ? [X2 , M] ? [X4 , M] ? M, где [X, M] =
0, [X , M ] = 0.
Доказательство. По лемме 1.2 M = [X, M]?M , где [X, M ] = 0. Так как Xi ?Xj =
0 при i < j, (i, j) = (1, 3), то [X , [X, M]] = [X3 , [X1 , M]] = [X1 , M]. Но тогда
[X, M] = [X1 , M] ? [X2 , M]. Поскольку [X, M ] = 0, то [X , M ] = [X4 , M ], а
потому M = [X4 , M] ? M, где [X, M] = 0, [X , M] = 0. Лемма доказана.
Лемма 1.4. Пусть X, X ? ?(n), |X| = |X | и [X, M] = M, [X , M] = M. Тогда
M = [X + X , M] ? [X ? X , M].
Доказательство. Очевидно, 2?1 (X + X ) — это сумма генераторов J2a?1,2a , вхо-
дящих в запись X, X с одинаковыми знаками, а 2?1 (X ? X ) — это сумма
456 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

генераторов J2a?1,2a , входящих в запись X, X с различными знаками. По лем-
ме 1.2 M = [X + X , M] ? M, где [X + X , M] = 0. Так как M = [X, M], то
M = [X ? X , M]. Следовательно, M = [X + X , M] ? [X ? X , M]. Лемма доказана.
Пусть A — ненулевая подалгебра J(n). Будем писать A = H1 , H2 , . . . , Ha ? ,
если A ? H1 , H2 , . . . , Hs , где H1 , H2 , . . . , Ha ? ?(n), |Hi | = Hi , Hi ? Hj = 0 при
i = j и выполняются условия:
1) для каждого i = 1, a проекция A на Hi отлична от нуля;
2) для любых Hi , Hj (i = j) алгебра A содержит · · · + ?i Hi + · · · + ?j Hj + · · ·
с неравными ?i , ?j ;
3) если все ненулевые коэффициенты при Hi в базисных векторах A имеют
одинаковый знак, то эти коэффициенты суть положительные числа.
Теорема 1.1. Каждая нулевая подалгебра A вида (1.1) алгебры J(n) может
быть записана в виде H1 , H2 , . . . , Ha ? , где H1 , H2 , . . . , Ha ? ?(n). Элементы
H1 , H2 , . . . , Ha определяются алгеброй A однозначно с точностю до нумерации.
Подпространства пространства N, инвариантное относительно H1 , H2 , . . .,
Ha ? , исчерпываются относительно O(n)-сопряженности пространствами
M1 ? M2 ? · · · ? Ma ? M, где Mj = [Hj , Mj ], [Hj , M] = 0 для j = 1, a.
?jb J2b?1,2b , где ?jb1 = · · · = ?jbsj = 1, ?jb = 0 при b ?
Если Hj =
{b1 , . . . , bsj }, то относительно O(n)-сопряженности подпространства Mj ис-
черпываются пространствами

(1.2)
O, P2b1 ?1 , P2b1 , . . . , P2b1 ?1 , P2b1 , P2b2 ?1 , P2b2 , . . . , P2bsj ?1 , P2bsj .

Если H1 , H2 , . . . , Ha ? = A(p, q; ?), то пространство M совпадает относитель-
но O(n)-сопряженности с одним из пространств:

O, P2(p+q)+1 , P2(p+q)+1 , P2(p+q)+2 , . . . , P2(p+q)+1 , P2(p+q)+2 , . . . , Pn .(1.3)

Доказательство. В каждом базисном элементе алгебры A соберем слагаемые с
коэффициентами, равными по абсолютной величине, вынесем за скобки абсо-
лютную величину коэффициентов, а затем в полученных выражениях выделим
суммы, содержащие максимально возможное число слагаемых с одним и тем же
знаком. Пусть S = {X1 , . . . , Xk } — множество абсолютных значений всех та-
ких сумм. Если Xi ? Xj = 0, то из множества S исключаем Xi , Xj и вводим
Xi ? Xj , Xi ? Xi ? Xj , Xj ? Xi ? Xj . В полученном множестве снова находим
ненулевые пересечения его элементов и производим дальнейшее преобразование
множества S. На конечном шаге мы получим множество {H1 , H2 , . . . , Ha }, обла-
дающее тем свойством, что Hi ? Hj = 0 при 1 ? i < j ? a. Легко убедиться, что
A = H1 , H2 , . . . , Ha ? .
Докажем единственность такого представления алгебры A. Пусть H1 , H2 , . . .,
Ha ? = H1 , H2 , . . . , Ha . Очевидно, Hj является линейной комбинацией H1 , H2 ,
. . . , Ha . Так как |Hj | = Hj , то Hj совпадает с суммой некоторых Hi1 , Hi2 , . . . , Hir .
?i Hi , где ?i1 = ?i2 , не принадлежит H1 , H2 , . . . , Ha ? , что проти-
Но тогда
воречит условию 2) определения H1 , H2 , . . . , Ha ? . Значит, Hj = Hij для всех
j = 1, a . Отсюда вытекает, что a ? a . Аналогично получаем, что a ? a, а потому
a = a и {H1 , H2 , . . . , Ha } = {H1 , H2 , . . . , Ha }.
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 457

Пусть M — подпространство N, инвариантное относительно A. На основании
лемм 1.2–1.4 получаем, что M = [H1 , M] ? · · · ? [Ha , M] ? M, где [Hj , M] = 0 для
j = 1, a.
Пусть H = J12 +J34 +· · ·+J2l?1,2l , M — подпространство N с условием [H, M] =
M. Проведем классификацию всех таких M относительно O(2l)-сопряженности.
Пусть l = 2 и dim M = 2. Тогда M обладает базисом P1 + ?P3 , P2 + ?P4 , ? ? 0.
Пусть
? ?
10? 0
?0 1 0 ??
1 ? ?.
C(?) =
1 + ? 2 ? ? 0 ?1 0 ?
0 ? 0 ?1

C ? O(4) и что C ?1 (J12 + J34 )C = J12 + J34 . Так
Непосредственно проверяем, что
как
?? ? ? ? ?? ?
1 1 0 0
?0? ?0 ? ?1? ?1 ?
1 1
C ·? ?= ? ?, C ·? ?=? ? ,
?0? 2? ? ? ?0? ?0 ? 1 + ?2
1+?
0 0 0 ?

то автоморфизм LE(4), соответствующий матрице C ?1 , отображает P1 + ?P3 ,
P2 + ?P4 на P1 , P2 .
Пусть l = 2. Тогда M сопряжено пространству, содержащему элементы P1 +
?2 P3 + · · · + ?l P2l?1 , P2 + ?2 P4 + · · · + ?l P2l . Автоморфизм LE(2l), соответствующий
матрице diag {C(?2 ), 1, . . . , 1}, не изменяет A, H и отображает M на пространс-
тво M , содержащее P1 + ?3 P5 + · · · + ?l P2l?1 , P2 + ?3 P6 + · · · + ?l P2l . Если к про-
странству M применять автоморфизм, соответствующий матрице diag {C(?3 ), 1,
. . . , 1}, где
? ?
10 0 0 ? 0
?0 1 ??
0 0 0
? ?
? 0 0 ??1 0?
0 0
C(?) = ? ? ? (? = (1 + ? 2 )?1/2 ),
?0 0 0?
??1 0
0
? ?
?? 0 ?1 0 ?
0 0
0 ?1
0? 0 0

то получим пространство, содержащее P1 + ?4 P7 + · · · + ?l P2l?1 , P2 + ?4 P8 +
· · · + ?l P2l . Следовательно, M сопряжено с пространством P1 , P2 ? V, где V ?
P3 , P4 , . . . , P2l . Отсюда заключаем , что M сопряжено одному из пространств:
P1 , P2 , P1 , P2 , P3 , P4 , . . ., P1 , P2 , P3 , P4 , . . . , P2l?1 , P2l .
Справедливость последнего утверждения теоремы вытекает из теоремы Витта.
Теорема доказана.
Теорема 1.2. Пусть A — такая подалгебра LE(n), что ее проекция на LO(n)
совпадает с A = A(p, q; ?). Если X1 , . . . , Xk — базис A вида (1.1), Y1 , . . . , Yl —
базис M = A ? N вида (1.2)–(1.3), то A сопряжена с алгеброй, обладающей
базисом

Y1 , . . . , Yl , X1 + ?1j Pj , . . . , Xk + ?kj Pj (j = 2(p + q) + 1, . . . , n),
458 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

где коэффициенты суть нулевые или удовлетворяют условию:
?i1 t = 0, ?i2 ,t+1 = 0, . . . , ?ir ,t+r?1 = 0 (t = 2(p + q) + 1);
?ab = 0 при a < i1 ; is < a < is + 1 и b > t + s ? 1 (s = 1, r ? 1);
a > ir и b > t + r ? 1.

Доказательство. Если применить автоморфизм exp( ?i Pi ) (i = 1, n), то можно
допускать, что алгебра A содержит генератор X1 + ?1i Pi , где ?1i может биыть
отлично от нуля только для таких значений i, для которых [X1 , Pi ] = 0. Если
X2 + ?2i Pi ? A и ?2i0 = 0 для такого i0 , что [X1 , Pi0 ] = 0, то

[X1 + ?1i Pi , X2 + ?2i Pi ] = ?i Pi ,

где ?i0 = 0. Отсюда в силу теоремы 1.1 вытекает, что Pi0 ? A. Значит, ни в одном
из генераторов Xb + ?bi Pi (b = 1, k) не содержится такое Pi , что [X1 , Pi ] = 0,
Pi ? A. Такими же рассуждениями получаем, что [Xb , ?1i Pi ] = 0 для b =
2, k. Аналогично исследуем остальные базисные элементы. Дальнейшее упрощение
генераторов A производим на основании теоремы Витта. Теорема доказана.
Теоремы 1.1, 1.2 сводят в силу предложения 1.1 описание разрешимых подалгебр
алгебры LE(n) описанию подалгебр алгебры J(n).
Следствие 1. Каждая разрешимая подалгебра алгебры LE(n) сопряжена с M + ?
A, где M ? N, A — абелева подалгебра LE(n).
Следствие 2. Каждая нильпотентная подалгебра алгебры LE(n) является абе-
левой.
Доказательство. Пусть A — нильпотентная подалгебра алгебры LE(n), M =
A ? N, M = A ? N. Если [A, M] = 0, то по теореме 1.2 алгебра A содержит такие
ненулевые элементы X, Y1 , Y2 , что X, Y1 , Y2 = LE(2). Так как LE(2) не является
нильпотентной алгеброй, то мы приходим к противоречию. Значит, [A, M] = 0.
Отсюда и из следствия 1 заключаем, что A — абелева алгебра. Следствие доказано.
Предложение 1.3. Максимальные абелевы подалгебры алгебры LE(n) исчер-
пываются относительно E(n)-сопряженности такими алгебрами:
J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m при n = 2m;
Pn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m при n = 2m + 1;
P1 , P2 , . . . , Pn ;
P1 , P2 , . . . , P2r , J2r+1,2r+2 , . . . , J2m?1,2m при n = 2m;
P1 , P2 , . . . , P2r , Pn , J2r+1,2r+2 , . . . , J2m?1,2m при n = 2m + 1, где r = 1, m ? 1.
Число максимальных абелевых подалгебр алгебры LE(n) равно [n/2] + 1.
Предложение 1.3 вытекает из теоремы 1.2.

§ 2 Общие замечания о структуре
алгебры Галилея n-мерного пространтсва
Пусть ?, ?0 , ?1 , ?2 — проектирование LG(n) соответственно на LO(n), P0 ,
G1 , . . ., Gn , P1 , . . . , Pn , R(n) = G1 , . . . , Gn , P1 , . . . , Pn , N = ?2 (R(n)), V =
(?1 + ?2 )(R(n)).
Пусть f — подалгебра LO(n), f — такая подалгебра алгебры LE(n) = N + ?
LO(n), что ?(f ) = f . Если алгебра f E(n)-сопряжена алгебре M + f , где M — ?
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 459

f -инвариантное подпространство пространства N, тоf будем называть расщепимой
в алгебре LE(n). Если любая подалгебра f ? LE(n), удовлетворяющая условию
?(f ) = f , является расщепимой, то будем говорить, что подалгебра f ? LO(n)
обладает только расщепимыми расширениями в алгебре LE(n). Примерами таких
подалгебр является все полупростые подалгебры.
Для определения структуры произвольной подалгебры алгебры LG(n) (и, в ча-
стности, алгебры LE(n)) важно решить вопрос о тех подалгебрах алгебры LO(n),
которые обладают только расщепимыми расширениями в LE(n). Поэтому в дан-
ном параграфе мы определяем вначале подалгебры такого рода.
Алгебру LO(n) мы рассматриваем как алгебру кососимметрических операторов
в пространстве N и потому для нее справедлив следующий результат.
Лемма 2.1. Пусть f — подалгебра LO(n), M — f -инвариантное подпространс-
тво пространства N. Если M — произвольное f -инвариантное подпространс-
тво пространства M, то M разложимо в прямую сумму двух ортогональных
f -инвариантных подпространств M и M ? .
Пусть f ? LO(n) и X — произвольный элемент N. Пересечение всех f -
инвариантных подпространств пространства N, содержащих X, будем называть
f -подпространством, порожденным X.
Лемма 2.2. Пусть f — подалгебра LO(n), M — подпространство N, инва-
риантное относительно f . Тогда M разложимо в ортогональную сумму не-
приводимых f -подпространств. Это разложение единственно с точностью до
эквивалентности.
Лемма 2.2 вытекает из леммы 2.1 и теоремы Жордано–Гельдера.
Теорема 2.1. Подалгебра f ? LO(n) обладает только расщепимыми расшире-
ниями в алгебре LE(n) в том и только том случае, когда f полупроста или
не сопряжена подалгебре алгебры LO(n ? 1).
Доказательство. В силу теоремы 1.2 утверждение теоремы справедливо для ком-
мутативных подалгебр. Поэтому будем предполагать, что f — некоммутативная ал-
гебра. Необходимость теоремы вытекает из теоремы 1.2. Докажем достаточность.
Пусть подалгебра f не является полупростой. Так как f — компактная алге-
бра, то она разложима в прямую сумму P ? Y своего центра P и полупростой
подалгебры Y. Поскольку f не сопряжена подалгебре алгебры LO(n ? 1), то из
условия [f, X] = 0, X ? N, вытекает, что X = 0. Пусть K — произвольная по-
далгебра LE(n) с условием ?(K) = f . Докажем, что K — расщепимая подалгебра.
Рассмотрим два случая.
1) Пусть из условия [Y, X] =, где X ? N, вытекает, что X = 0. Так как
Y — полупростая алгебра, то можно предполагать, что Y ? K. Допустим, что
K содержит элемент вида J + X, где J ? P, X ? N. Обозначим через M Y-
подпространство пространства N, порожденное X. По лемме 2.2 M разлагается в
прямую сумму неприводимых Y-подпространств: M = M1 ? · · · ? Ms . Докажем
индукцией по числу s, что J ? K.
Пусть s = 1. Если [Y, X] = 0, то X = 0 и наше утверждение справедли-
во. Предположим, что [Y, X] = 0. Тогда существует такой элемент J ? Y, что
[J , X] = X , X = 0. Y-подпространство M1 , порожденное X , содержится в M1 ,
и в силу неприводимости последнего M1 = M1 . Поскольку X ? K, то M1 ? K и
потому X ? K.
460 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

Пусть s > 1, X = X1 + · · · + Xs , где Xi ? Mi (i = 1, s). Если [Y, X] = 0, то X =
0, Поэтому будем предполагать, что [Y, X] = 0. Пусть J ? Y — такой элемент,
что [J , X] = X , X = 0, и пусть X = X1 + · · · + Xs , где Xi ? Mi (i = 1, s). Будем
считать, что X1 = 0. Обозначим через M Y-подпространство M, порожденное
X . Очевидно, M ? K. Проекция M 1 пространства M на подпространство M1
является Y-подпространством. Отсюда в силу неприводимости M1 заключаем, что
?
M1 = M1 . Следовательно, M , а значит, и K содержит элемент вида X1 + X2 +
? ? ? ?
· · · + Xs , где Xi ? Mi (i = 2, s). Но тогда J + (X2 ? X2 ) + · · · + (Xs ? Xs ) ? K. В
силу индуктивного предположения отсюда вытекает, что J ? K.
2) Допустим, что для некоторого ненулевого элемента X ? N имеет место
равенство [Y, X] = 0. Обозначим через U максимальное подпространство про-
странства N, обладающее тем свойством, чтo [Y, U] = 0. Если dim U = n ? k
(0 < k < n), то можно предполагать, что U = Qn?k = Pk+1 , . . . , Pn . Но то-
гда Y ? LO(k) = J12 , J13 , . . . , Jk?1,k и Y действует на подпространстве Qk =
P1 , . . . , Pk . Если J1 ? P, J2 ? Y, X ? Qn?k , то [J1 , J2 ] = 0, [J2 , X] = 0. Отсю-
да и из тождества Якоби [J1 , [J2 , X]] + [J2 , [X, J1 ]] + [X, [J1 , J2 ]] = 0 получаем, что
[J2 , [X, J1 ]] = 0. Следовательно, [X, J1 ] ? Qn?k . Это значит, что [P, Qn?k ] ? Qn?k .
Отсюда вытекает, что P является подалгеброй алгебры LO(k) ? LO(n ? k), где
LO(n?k) = Jab | a, b = k + 1, n . Так как для любого Y ? Qn?k имеем [Y, Y ] = 0,
то из условия [P, Y ] = 0 следует, что Y = 0.
Пусть P1 и P2 — проекции P соответственно на LO(k) и LO(n ? k), K1 и K2 —
проекции K соответственно на LE(k) и LE(n ? k). Так как проекция f на LO(k)
совпадает с f1 = P1 ? Y и из условия [Y, X] = 0, X ? Qk , вытекает, что X = 0,
то в силу предыдущего случая 1) существует внутренний автоморфизм LE(k),
отображающий K1 на L1 + (P1 ? Y). Аналогично убеждаемся, что существует
?
внутренний автоморфизм LE(n?k), отображающий K2 на K2 ?P2 . Таким образом,

<< Предыдущая

стр. 104
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>