<< Предыдущая

стр. 105
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

можно предполагать, что K1 = L + (P1 ? Y), K2 = L2 ? P2 . Поскольку Y —
?
полупростая алгебра, то [Y, Y] = Y и поэтому Y ? K. Предположим, что K
содержит элемент вида J2 + X1 , где J2 ? K2 , X1 ? Qk . Мы находимся в условиях
случая 1), и, значит, J2 ? K. Пусть K содержит элемент J1 + X2 , гдe J1 ? P, X2 ?
Qn?k . В силу рассуждений, проведенных для случая 1), получаем, что J1 ? K. Это
доказывает, что f ? K. Теорема доказана.
Пусть P ? Y — разложение подалгебры f ? LO(n) в прямую сумму центра P
и фактора Леви Y. Обозначим через U максимальное подпространство N, облада-
ющее тем свойством, что [f, U] = 0. Если dim U = n ? k (0 ? k < n), то можно
предполагать, что U = Pk+1 , . . . , Pn . Но тогда f ? LO(k). Отсюда в силу теоремы
2.1 заключаем, что алгебра K ? LE(n), удовлетворяющая условию ?(K) = f , допу-
скает разложение K = M + (P ? Y), где M — подпространство N, инвариантное
?
относительно f , P — подалгебра прямой суммы P ? Pk+1 , . . . , Pn .
Теорема 2.2. Пусть K — подалгебра LG(n), f — подалгебра LO(n), не со-
пряженная подалгебре алгебры LO(n ? 1) или являющаяся полупростой. Если
(? + ?0 )(K) = f ? P0 , то K = (M + f ) + P0 + X0 , где M — подпространст-
? ?
во V, инвариантное относительно f , X0 ? V и [f, X0 ] = 0. Если(? + ?0 )(K) =
f + P0 + ?J , J ? LO(n), ? ? R, то K = (M + f ) + P0 + ?J + X0 , где M ?
? ? ?
V, X0 ? V и [f, X0 ] = 0.
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 461

Доказательство. Если (? + ?0 )(K) = f ? P0 , то алгебра K обладает бази-
сом J1 + X1 , . . . , Js + Xs , P0 + Y0 , Z1 , . . . , Zt , где J1 , . . . , Js — базис алгебры f ,
X1 , . . . , Xs , Y0 , Z1 , . . . , Zt ? V. Подалгебра L = J1 + X1 , . . . , Js + Xs , Z1 , . . . , Zt
является идеалом алгебры K и потому K = L + P0 + Y0 . Так как f полупроста
?
или не сопряжена подалгебре алгебры LO(n?1), то в силу теоремы 2.1 существует
внутренний автоморфизм алгебры LG(n), отображающий L на алгебру M + f , ?
где M — подпространство V, инвариантное относительно f . Отсюда вытекает, что
с точностью до сопряженности относительно группы внутренних автоморфизмов
алгебры LG(n) имеет место равенство K = (M + f ) + ? ? P0 + Z0 , Z0 ? V.
Так как [Jk , P0 + Z0 ] = [Jk , Z0 ], то [Jk , Z0 ] ? M. Следовательно, подпространство
M = M ? Z0 инвариантно относительнo алгебры f . Пусть M = M ? M? —
разложение M в ортогональную сумму. Поскольку [f, M ] ? M, [f, M? ] ? M? ,
то [f, M? ] = 0. Обозначим образующий элемент подпространства M? через T0 .
Тогда Z0 = ?T0 + T0 , где T0 ? M, ? — вещественное число. Следовательно,
K = (M + f ) + P0 + X0 , где X0 = ?T0 .
? ?
?
Случай, когда (? + ?0 )(K) = f + P0 + ?J , рассматривается аналогично. Тео-
рема доказана.
Теорема 2.3. Пусть LG(n) = V + LO(n). Подалгебра f ? LO(n) обладает
?
только расщепимыми расширениями в алгебре LG(n) тогда и только тогда,
когда f полупроста или f не сопряжена подалгебре алгебры LO(n ? 1).
Доказательство. Пусть f — такая подалгебра LG(n), что ?(f ) = f . Обозначим
через f1 проекцию f на алгебру ?1 (R(n)) + LO(n). Согласно теореме 2.1 алгебра
?
f1 сопряжена алгебре M1 + f , где M1 — подпространство ?1 (R(n)). Отсюда
?
вытекает, что f сопряжена с алгеброй V + K, где V — подпространство V, а
?
K — подалгебра алгебры N + f . Снова применяя теорему 2.1, заключаем, что K
?
сопряжена подалгебре N + f , где N — подпространство N. Следовательно, f
?
сопряжена алгебре M + f , где M ? V. Теорема доказана.
?
Пусть f = P ? Y — произвольная подалгебра алгебры LO(n), где P — ком-
мутативная алгебра, Y — полупростая или нулевая алгебра. Обозначим через M
максимальное подпространство пространства V, обладающее тем свойством, что
[f, M] = 0. Если M = V, то M = Vn?k = Gk+1 , . . . , Gn ? Pk+1 , . . . , Pn (0 < k <
n). В этом случае f сопряжена подалгебре алгебры LO(k) = Jab | a, b = 1, k .
Отсюда ввиду теоремы 2.2 получаем, что подалгебра f алгебры LG(n) с усло-
вием ?(f ) = f относится к одному из следующих типов:
1) если (? + ?0 )(f ) = f ? P0 , то f = (V + (P ? Y)) + P0 + X0 , где P —
? ?
подалгебра P ? Vn?k , X0 ? Vn?k ;
? P0 + ?J , гдe J ? LO(k), ? — ненулевое веще-
2) если (? + ?0 )(f ) = f +
ственное число, то f = (V + (P ? Y)) + P0 + ?J + X0 , где X0 ? Vn?k , P —
? ?
подалгебра P ? Vn?k .

§ 3 Класификация разрешимых подалгебр
обобщенной алгебры Галилея
В этом параграфе используются обозначения предыдущих параграфов.
Предложение 3.1. Любая максимальная разрешимая подалгебра алгебры LG(n)
сопряжена с алгеброй Y(n) = P0 , P1 , . . . , Pn , G1 , . . . , Gn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m
(m = [n/2]).
462 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

Доказательство. Легко видеть, что R(n) = P0 , P1 , . . . , Pn , G1 , . . . , Gn является
радикалом LG(n). Если L — разрешимая подалгебра LG(n), то R(n) + L также
является разрешимой подалгеброй LG(n). Так как R(n) + L/R(n) — разрешимая
подалгебра LO(n), а всякая разрешимая подалгебра LO(n) сопряжена подалгебре
алгебры Картана J(n), то R(n) + L сопряжена с подалгеброй алгебры Y(n). Ал-
гебра Y(n) является разрешимой как расширение абелевой алгебры с помощью
абелевой алгебры. Предложение доказано.
Лемма 3.1. Пусть X = X + ?P0 = ?1 X1 + · · · + ?s Xs + ?P0 , где X1 , . . . , Xs ? ?(n),
Xi ? Xj = 0 при i = j, а ?1 , . . . , ?s такие ненулевые вещественные числа,
что ?i = ?j при i = j (i, j = 1, s). Если M — подпространство Y, инвариан-
2 2

тное относительно X, то M = [X1 , M] ? · · · ? [Xs , M] ? M, где [Xj , M] = 0,
?[P0 , [Xj , M]] ? [Xj , M] (j = 1, s).
Доказательство. Пусть Y = Y + ?P0 = Y1 + · · · + Ys?1 + ?P0 — элемент M,
где Yi = ?[Xi , [Xi , Y ]], [Xi , Ys+1 ] = 0 для i = 1, s. Легко видеть, что [X, Y ] =
[X, Y ]+?[P0 , Y ], [X, [X, Y ]] = [X, [X, Y ]]+2?[X, [P0 , Y ]]. Пусть 2?[X, [P0 , Yj ]] = Zj
(j = 1, s). Очевидно, [P0 , Zj ] = 0, [Xi , [Xi , Zi ]] = ?Zi , [Xi , Zj ] = 0 при i = j.
Применим индукцию по s. Пусть s = 1. Тогда

[X, [X, Y ]] = ??1 + Z1 , [X, [X, ??1 Y1 + Z1 ]] = ??1 (??1 Y1 + Z1 ) ? ?1 Z1 .
2 2 2 2 2


Из этих равенств вытекает, что Z1 ? M, а потому и Y1 ? M.
Пусть s — произвольное натуральное число с условием s ? m. Taк как

[X, [X, Y ]] = ??1 Y1 ? ?2 Y2 ? · · · ? ?s Ys ,
2 2 2


то
[X, [X, Y ]] + ?1 Y = (?1 ? ?2 )Y2 + · · · + (?1 ? ?s )Ys +
2 2 2 2 2
(3.1)
+?1 (Ys+1 + ?P0 ) + Z1 + Z2 + · · · + Zs .
2


Если на элемент (3.1) подействовать генератором X, а затем ?X, то получим
элемент
?1 Z1 + ?2 ((?1 ? ?2 )Y2 + Z2 ) + · · · + ?s ((?2 ? ?s )Ys + Zs )?
2 2 2 2 2 2 2
(3.2)
?(?1 ? ?2 )Z2 ? · · · ? (?1 ? ?s )Zs .
2 2 2 2


2
Прибавив к элементу (3.2) элемент (3.1), умноженный на (??1 ), получим элемент

(?2 ? ?1 )((?1 ? ?2 )Y2 + Z2 ) + · · · + (?s ? ?1 )((?1 ? ?s )Ys + Zs )?
2 2 2 2 2 2 2 2
(3.3)
??1 (Ys+1 + ?P0 ).
4


Пусть M = {Y ? M | [X1 , Y ] = 0}. Очевидно, подпространство M инвариан-
тно относительно ?2 X2 +· · ·+?s Xs +?P0 , поэтому к нему применимо индуктивное
предложение. Поскольку элемент (3.3) принадлежит M , то (?1 ? ?j )Yj + Zj ? M,
2 2

а значит, Yj , Zj ? M (j = 2, s). Так как Y1 + Ys+1 + ?P0 — элемент M и на этот
элемент X действует как ?1 X1 + ?P0 , то Y1 , Z1 ? M, Ys+1 + ?P0 ? M. Лемма
доказана.
Предложение 3.2. Пусть A = H1 , H2 , . . . , Ha ? . Подпространства R(n), ин-
вариантные относительно A, исчерпываются пространствами M1 ? M2 ?
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 463

· · · ? Ma ? M, где Mj = [Hj , Mj ], [Hj , M] = 0 для j = 1, a. Подпространства
R(n), инвариантные относительное A и P0 , исчерпываются пространствами
N1 ? N2 ? · · · ? Na ? N, где Nj = [Hj , Nj ], [P0 , Nj ] ? Nj , [Hj , N] = 0, [P0 , N] ? N.
Предложение вытекает непосредственно из леммы 3.1 и лемм 1.3, 1.4.
На основании предложения 3.2 описание расщепимых разрешимых подалгебр
алгебры LG(n) сводится к нахождению подпространства пространства
a
K(h1 , h2 , . . . , ha ) = ? P2hi ?1 , G2hi ?1 , P2hi , G2hi ,
1

инвариантных относительно

J(h1 , h2 , . . . , ha ) = J2h1 ?1,2h1 + J2h2 ?1,2h2 + · · · + J2ha ?1,2ha ,
J(h1 , h2 , . . . , ha ) и P0 ,

и к классификации относительно O(n)-сопряженности подалгебр радикала R(n)
алгебры LG(n).
Пусть M — ненулевое подпространство K(h1 , . . . , ha ), инвариантное относи-
тельно J(h1 , . . . , ha ). Если ?1 (M) = 0, то согласно теореме 1.1 M сопряжено с
одним из пространств:

P2h1 ?1 , P2h1 , . . . , P2h1 ?1 , P2h1 , . . . , P2ha ?1 , P2ha .

Если ?2 (M) = 0, то M сопряжено с одним из пространств:

G2h1 ?1 , G2h1 , . . . , G2h1 ?1 , G2h1 , . . . , G2ha ?1 , G2ha .

Теперь допустим, что ?1 (M) = 0, ?2 (M) = 0. Тогда M сопряжено подпространству
пространства K(h1 , . . . , ha?1 ), инвариантному относительно J(h1 , . . . , ha?1 ), или
пространству, удовлетворяющему одному из условий:
1) ?1 (M) = G2h1 ?1 , G2h1 , . . . , G2hb ?1 , G2hb , ?2 (M) = P2hb+1 ?1 , P2hb+1 , . . .,
P2ha ?1 , P2ha ;
2) ?1 (M) = G2h1 ?1 , G2h1 , . . . , G2ha ?1 , G2ha , ?2 (M) = P2h1 ?1 , P2h1 , . . . , P2hb ?1 ,
P2hb (b ? a);
3) ?1 (M) = G2h1 ?1 , G2h1 , . . . , G2hb ?1 , G2hb , ?2 (M) — подпрямая сумма про-
странств P2h1 ?1 , P2h1 , . . . , P2hc ?1 , P2hc , P2hb+1 ?1 , P2hb+1 , . . . , P2ha ?1 , P2ha (c ?
b).
В первом случае группа автоморфизмов, относительно которой классифициру-
ются расщепимые алгебры M + J(h1 , . . . , ha ), разлагается в прямое произведе-
?
ние O1 ? O2 двух ортогональных групп, заданных соответственно на евклидовых
пространствах ?1 (M) и ?2 (M). Отсюда вытекает, что M + J(h1 , . . . , ha ) яв-
?
? ?
ляется подалгеброй прямой суммы алгебр ?1 (M) + J(h1 , . . . , hb ) и ?2 (M) +
J(hb+1 , . . . , ha ). Такие подалгебры классифицируются относительно O1 ? O2 -со-
пряженности при помощи алгоритма Ли–Гурса [17].
Во втором случае при b < a допустимо рассматривать только автоморфизмы,
соответствующие группе O1 ? O2 , где O1 — группа ортогональных преобразова-
ний евклидова пространства P2h1 ?1 , P2h1 , . . . , P2hb ?1 , P2hb , а O2 — группа орто-
гональных преобразований евклидова пространства G2hb+1 ?1 , G2hb+1 , . . . , G2ha ?1 ,
G2ha . Следовательно, при b < a алгебра M + J(h1 , . . . , ha ) является подалгеброй
?
464 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

прямой суммы алгебр M + J(h1 , . . . , hb ) и M + J(hb+1 , . . . , ha ), где ?1 (M ) =
? ?
G2h1 ?1 , G2h1 , . . . , G2hb ?1 , G2hb , ?2 (M ) = P2h1 ?1 , P2h1 , . . . , P2hb ?1 , P2hb , а M =
G2hb+1 ?1 , G2hb+1 , . . . , G2ha ?1 , G2ha . И в этом случае применима конструкция Ли–
Гурса.
В третьем случае классификация алгебр M + J(h1 , . . . , ha ) сводится к клас-
?
сификации подалгебр прямой суммы алгебр M + J(h1 , . . . , hc ), M + J(hc+1 ,
? ?
. . . , hb ), M + J(hb+1 , . . . , ha ), где ?1 (M ) = G2h1 ?1 , G2h1 , . . . , G2hc ?1 , G2hc ,
?
?2 (M ) = P2h1 ?1 , P2h1 , . . . , P2hc ?1 , P2hc , ?1 (M ) = G2hc+1 ?1 , G2hc+1 , . . . , G2hb ?1 ,
G2hb , ?2 (M ) = 0, ?1 (M ) = 0, ?2 (M ) = P2hb+1 ?1 , P2hb+1 , . . . , P2ha ?1 , P2ha .
Если M — ненулевое подпространство K(h1 , . . . , ha ), инвариантное относи-
тельно J(h1 , . . . , ha ) и P0 , то M сопряжено подпространству пространства K(h1 ,
. . . , ha?1 ), инвариантному относительно J(h1 , . . . , ha?1 ), или удовлетворяет одно-
му из условий:
a
1) M = ? G2hi ?1 , G2hi , P2hi ?1 , P2hi ;
1
b b
2) M = ? P2hi ?1 , P2hi ? M , где ?1 (M ) = ? G2hi ?1 , G2hi , ?2 (M ) =
1 1
a
? P2hi ?1 , P2hi .
b+1
Пространства M классифицируем при помощи метода Ли–Гурса, примененного
? ?
к прямой сумме алгебр ?1 (M ) + J(h1 , . . . , hb ), ?2 (M ) + J(hb+1 , . . . , ha ).
Подобным образом описываем подпространства пространства V = ? Gi , Pi
(i = 1, n).
Предложение 3.3. Пусть m = [n/2], ? = 0 при n = 2m, ? = 1 при n = 2m+1. Ма-
ксимальные абелевы подалгебры алгебры LG(n) исчерпываются относительно
G(n)-сопряженности такими алгебрами:
P0 , P1 , . . . , Pn ; G1 + ?P0 , P1 , P2 , . . . , Pn (? > 0);
G1 , . . . , Gn , P1 , . . . , Pn ; P0 , ?Pn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m ;
Gn , Pn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m (n = 2m + 1);
J12 , J34 , . . . , J2a?1,2a , P0 , P2a+1 , . . . , Pn (a = 1, m ? 1);
J12 , J34 , . . . , J2a?1,2a , P2a+1 , . . . , Pn , G2a+1 , . . . , Gn (a = 1, m ? 1);
J12 , J34 , . . . , J2a?1,2a , G2a+1 + ?P0 , P2a+1 , . . . , Pn (? > 0, a = 1, m ? 1).
Доказательство. Каждая абелева подалгебра A алгебры LG(n) сопряжена с по-
далгеброй алгебры Y(n), являющейся максимальной разрешимой подалгеброй ал-
гебры LG(n). Если ?0 (A) = 0, то в силу [Ga , P0 ] = Pa заключаем, что P0 ? A
и ?1 (A) = 0 или (?0 + ?1 )(A) = G2s+1 + ?P0 . При ?(A) = 0 получаем, что
A = P0 , P1 , . . . , Pn или A = G1 + ?P0 , P1 , . . . , Pn . Пусть ?(A) = 0. Если
M = A ? R(n), то [A, M] = 0. Отсюда на основании теорем 1.1, 1.2 вытекает,
что проекция A на J2d?1,2d , P2d?1 , P2d , G2d?1 , G2d совпадает с J2d?1,2d или с
подалгеброй алгебры P2d?1 , P2d , G2d?1 , G2d . Значит, A сопряжена с одной из ал-
гебр:
P0 , J12 , . . . , J2a?1,2a , P2a+1 , . . . , Pn ;
J12 , . . . , J2a?1,2a , G2a+1 + ?P0 , P2a+1 , P2a+2 , . . . , Pn (a = 1, m ? 1).
Аналогично исследуем случай, когда ?0 (A) = 0. Предложение доказано.
Предложение 3.4. Пусть m = [n/2], ? = 0 при n = 2m, ? = 1 при n = 2m +
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 465

1. Максимальные нильпотентные подалгебры алгебры LG(n) исчерпываются
относительно G(n)-сопряженности алгебрами:
P0 , P1 , . . . , Pn , G1 , . . . , Gn ;
P0 , ?Pn , ?Gn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m ;

<< Предыдущая

стр. 105
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>