<< Предыдущая

стр. 106
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

P0 , J12 , . . . , J2a?1,2a , P2a+1 , . . . , Pn , G2a+1 , . . . , Gn (a = 1, m ? 1).
Доказательство. Так как LE(n) не является нильпотентной алгеброй, то в силу
теорем 1.1, 1.2 для любой нильпотентной подалгебры A алгебры LG(n) ее проекция
на J2d?1,2d , P2d?1 , P2d , G2d?1 , G2d является коммутативной алгеброй.
Предложение 3.5. Максимальные нильпотентные подалгебры расширенной ал-
гебры Галилея LG(n) исчерпываются относительно G(n)-сопряженности алге-
брами:
P0 , P1 , . . . , Pn , G1 , . . . , Gn , M ;
P0 , ?Pn , ?Gn , M, J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m ;
P0 , M, J12 , . . . , J2a?1,2a , P2a+1 , . . . , Pn , G2a+1 , . . . , Gn (a = 1, m ? 1).
Так как M порождает центр LG(n) и LG(n)/ M ? LG(n), то справедливость =
предложения 3.5 непосредственно вытекает из предложения 3.4.
Предложение 3.6. Пусть m = [n/2], ? = 0 при n = 2m, ? = 1 при n = 2m + 1.
Максимальные абелевы подалгебры алгебры LG(n) исчерпываются относи-
тельно G(n)-сопряженности алгебрами:
P0 , P1 , . . . , Pn , M ; G1 , . . . , Gn , M ;
G1 , . . . , Ga , Pa+1 , . . . , Pn , M ;
P0 , ?Pn , M, J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m ;
Gn , M, J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m (n = 2m + 1);
P0 , M, J12 , . . . , J2a?1,2a , P2a+1 , . . . , Pn (a = 1, m ? 1);
M, J12 , . . . , J2a?1,2a , G2a+1 , . . . , Gn (a = 1, m ? 1);
M, J12 , . . . , J2a?1,2a , P2a+1 , . . . , Pb , Gb+1 , . . . , Gn (a = 1, m ? 1, b < n);
G1 + ?P0 , P2 , . . . , Pn , M (? > 0);
M, J12 , . . . , J2a?1,2a , G2a+1 + ?P0 , P2a+2 , . . . , Pn (? > 0, a = 1, m ? 1);
M, J12 , . . . , J2m?1,2m , Gn + ?P0 (? > 0, n = 2m + 1);
Gi + ?i?1,i Pi?1 + ?ii Pi + ?i,i+1 Pi+1 | i = 1, n ? M , где ?01 = 0, ?11 = 0,
?n,n+1 = 0;
Gi + ?i?1,i Pi?1 + ?ii Pi + ?i,i+1 Pi+1 | i = 1, r ? Pr+1 , . . . , Pn , M , где r =
1, m ? 1, ?01 = 0, ?11 = 0, ?r,r+1 = 0;
M, J12 , . . . , J2a?1,2a ? Gi + ?i?1,i Pi?1 + ?ii Pi + ?i,i+1 Pi+1 | i = 2a + 1, r ?
Pr+1 , . . . , Pn , где a = 1, m ? 1, r ? n ? 1, ?2a,2a+1 = 0, ?2a+1,2a+1 = 0, ?r,r+1 = 0;
M, J12 , . . . , J2a?1,2a ? Gi + ?i?1,i Pi?1 + ?ii Pi + ?i,i+1 Pi+1 | i = 2a + 1, n , где
a = 1, m ? 1, ?2a,2a+1 = 0, ?2a+1,2a+1 = 0, ?n,n+1 = 0.
Доказательство. Пусть A — максимальная абелева подалгебра LG(n). Если ?0 (A)
= 0, то можно допускать, что ?1 (A) = 0 или (?0 +?1 )(A) = G2s+1 +?P0 . В первом
случае A сопряжена с P0 , P1 , . . . , M или с P0 , M, J12 , . . . , J2a?1,2a , P2a+1 , . . . , Pn
(a = 1, m). Во втором случае A сопряжена с одной из таких алгебр:
G1 + ?P0 , P2 , . . . , Pn , M ;
M, J12 , . . . , J2m?1,2m , Gn + ?P0 (n = 2m + 1);
M, J12 , . . . , J2a?1,2a , G2a+1 + ?P0 , P2a+2 , . . . , Pn (a = 1, m ? 1).
Пусть ?0 (A) = 0. Если ?(A) = 0, то A совпадает с одной из алгебр:
466 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

G1 , . . . , Gn , M ;
Gi + ?i?1,i Pi?1 + ?ii Pi + ?i,i+1 Pi+1 | i = 1, n ? M , где ?01 = 0, ?11 = 0,
?n,n+1 = 0;
Gi +?i?1,i Pi?1 +?ii Pi +?i,i+1 Pi+1 |i = 1, r ? Pr+1 , . . . , Pn , M , где r = 1, n ? 1,
?01 = ?11 = ?r,r+1 = 0.
Допустим, что ?(A) = 0. Если ?1 (A) = 0 или ?2 (A) = 0, то применимо предло-
жение 1.3. Остальные случаи сводятся к предыдущему. Предложение доказано.
В качестве иллюстрации предложения 3.6 выпишем в явном виде максималь-
ные абелевы подалгебры LG(4):
P0 , P1 , P2 , P3 , P4 , M ; G1 , G2 , G3 , G4 , M ; G1 , P2 , P3 , P4 , M ;
G1 , G2 , P3 , P4 , M ; G1 , G2 , G3 , P4 , M ; P0 , M, J12 , J34 ;
P0 , M, J12 , P3 , P4 ; M, J12 , G3 , G4 ; M, J12 , G3 , P4 ;
G1 + ?P0 , P2 , P3 , P4 , M (? > 0); M, J12 , G3 + ?P0 , P4 (? > 0);
G1 +?12 P2 , G2 +?12 P1 +?22 P2 +?23 P3 , G3 +?23 P2 +?33 P3 +?34 P4 , G4 +?34 P3 +
?44 P4 , M ;
G1 + ?12 P2 , G2 + ?12 P1 + ?22 P2 , P3 , P4 , M ;
G1 + ?12 P2 , G2 + ?12 P1 + ?22 P2 + ?23 P3 , G3 + ?23 P2 + ?33 P3 , P4 , M , где по
крайней мере один из коэффициентов не равен нулю;
M, J12 , G3 + ?P4 , G4 + ?P3 + ?P4 (?2 + ? 2 = 0).

§ 4. Подалгебры алгебр LE(5) и LE(6)
Сделаем несколько замечаний относительно подалгебр алгебры LO(m). Все
такие подалгебры мы разбиваем на два класса: приводимые подалгебры и не-
приводимые подалгебры. Подалгебра f ? LO(m) называется приводимой, если в
пространстве N = P1 , . . . , Pm существует собственное подпространство, инвари-
антное относительно f . Все подалгебры прямой суммы алгебр Jab | a, b = 1, k ,
Jab | a, b = k + 1, m (2 ? k ? m ? 2) и только они являются приводимыми
подалгебрами алгебры LO(m). Эти подалгебры можно классифицировать относи-
тельно O(m)-сопряженности с помощью алгоритма Ли–Гурса [17] . Подалгебра
f ? LO(m) называется неприводимой, если N не обладает нетривиальным f -
инвариантным подпространством. Более подробно о приводимых и неприводимых
подалгебрах см. в работе [18] .
Пусть f — подалгебра LO(n), 1 < n1 < n2 < · · · < ns , N1 = P1 , . . . , Pn1 ,
N2 = Pn1 +1 , . . . , Pn2 , . . ., Ns = Pns?1 +1 , . . . , Pns . Если каждое подпространство
Ni f -инвариантно и f -неприводимо, то f можно представить в виде подпрямой
суммы f = c ?fi (i = 1, s), где каждая подалгебра fi действует неприводимо на
Ni и [fi , Nj ] = 0 при i = j (i, j = 1, s). В этом случае мы будем говорить, что
f разложима в подпрямую сумму неприводимых подалгебр f1 , . . . , fs . Очевидно,
любая алгебра f ? LO(n) сопряжена алгебре f ? LO(n), которая разлагается в
подпрямую сумму неприводимых подалгебр.
c ?fi (i = 1, s). Подпространство пространства
Теорема 4.1. Пусть f =
N = P1 , . . . , Pn , инвариантные относительно f , исчерпываются относитель-
но E(n)-сопряженности пространствами M1 ? · · · ? Ms ? M , где Mi = 0 или
Mi = Ni (i = 1, s), а M — такое пространство N, что [f, M ] = 0.
Лемма 4.1. Относительно O(5)-сопряженности алгебра LO(5) обладает толь-
ко одной неприводимой подалгеброй
v v
f = 2J12 + J34 , J13 + J24 ? 3J45 , J23 ? J14 + 3J35 .
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 467

Доказательство. Пусть L — неприводимая подалгебра алгебры LO(5). Посколь-
ку 5 — простое число, то естественное представление алгебры L кососимметри-
ческими матрицами порядка 5 над R является абсолютно неприводимым. Так как
dim L < 10, то отсюда вытекает, что L — простая абсолютно неприводимая ли-
нейная алгебра Ли степени 5 над R. Следовательно, C ?R L — простая алгебра
Ли степени 5, размерность которой меньше 10 над полем комплексных чисел C.
Поэтому эта алгебра относится к типу A1 , и, значит, L ? LO(3) или L ? LO(1, 2).
= =
Но ввиду компактности LO(5) последний случай невозможен. В силу теоремы
Картана о связи между неприводимыми представлениями LO(3) над полями R,
C и того факта, что LO(3) обладает над C только одним неприводимым унитар-
ным представлением степени 5, получаем, что относительно O(5)-сопряженности
в LO(5) существует только одна неприводимая подалгебра.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что алгебра f изоморфна LO(3).
Пусть M — ненулевое подпространство N, инвариантное относительно f . На
основании леммы 1.2, примененной к генератору 2J12 + J34 , получаем, что M =
s P1 , P2 ? t P3 , P4 ? r P5 , где s, t, r ? {0, 1}. Легко убедиться, что при любом
предположении относительно s, t, r мы получаем равенство M = N. Значит, f —
неприводимая подалгебра алгебры LO(5). Лемма доказана.
Теорема 4.2. Относительно O(5)-сопряженности подалгебры алгебры LO(5)
исчерпываются такими алгебрами:
f1 = O ;
f2 = J12 ;
f3 = J12 + ?J34 (0 < ? < 1);
f4 = J12 + J34 ;
f5 = J12 , J34 ;
f6 = LO(3) = J12 , J13 , J23 ;
f7 = J12 + J34 , J13 ? J24 , J14v J23 ;
+ v
f8 = 2J12 + J34 , J13 + J24 ? 3J45 , J23 ? J14 + 3J35 ;
f9 = f7 ? J12 ? J34 = J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 , J12 ? J34 ;
f10 = f6 ? J45 = J12 , J13 , J23 , J45 ;
f11 = LO(4) = Jab | a, b = 1, 4 ;
f12 = LO(5) = Jab | a, b = 1, 5 .
Доказательство. Неприводимые подалгебры алгебры LO(5) описаны в лемме 4.1.
Приводимые подалгебры алгебры LO(5) исчерпываются алгеброй LO(3) ? J45 и
подалгебрами LO(4) Последние описаны в работе [19]. Теорема доказана.
Теорема 4.3. Расщепимые подалгебры алгебры LE(5) исчерпываются относи-
тельно E(5)-сопряженности такими алгебрами:
f1 : O, P1 , P1 , P2 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
f2 : O, P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P3 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 ,
P 3 , P4 , P5 ;
f3 : O, P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P5 , P3 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 ,
P 3 , P4 , P5 ;
f4 : O, P5 , P1 , P2 , P1 , P2 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
f5 : O, P5 , P1 , P2 , P1 , P2 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
f6 : O, P4 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
f7 : O, P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
468 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

f8 : O, P 1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
f9 : O, P 5 , P 1 , P2 , P3 , P4 , P 1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
f10 : O, P 4 , P5 , P 1 , P2 , P3 , P 1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
f11 : O, P 5 , P 1 , P2 , P3 , P4 , P 1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
f12 : O, P 1 , P2 , P3 , P4 , P5 .
Теорема 4.3 вытекает из теоремы 4.2 и теоремы 1.1.
Теорема 4.4. Нерасщепимые подалгебры LE(5) исчерпываются относительно
E(5)-сопряженности такими алгебрам:
J12 + aP5 : O, P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 (a > 0);
J12 + ?J34 + aP5 : O, P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 (0 < ? < 1,
a > 0);
J12 + J34 + aP5 : O, P1 , P2 , P1 , P2 , P3 , P4 (a > 0);
J12 + aP5 , J34 + bP5 : O, P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 (a > 0);
J12 ? J34 + aP5 , J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 : O, P1 , P2 , P3 , P4 (a > 0).
Теорема 4.4 непосредственно следует из теоремы 1.2 и теоремы 4.3.
Лемма 4.2. Двумерные подалгебры алгебры LO(6) исчерпываются относитель-
но O(6)-сопряженности алгебрами J12 + ?J56 , J34 + ?J56 , где 0 ? ? ? ? ? 1.
Доказательство. Каждая двумерная алгебра L является разрешимой. Поскольку
LO(6) — компактная алгебра, то в случае L ? LO(6) можно предполагать, что L
— абелева алгебра, а потому L порождается элементами J12 + ?J56 , J34 + ?J56 , где
|?| ? |?|.
Допустим, что |?| > 1. Обозначим через ? O(6)-автоморфизм алгебры LO(6),
при котором J12 > J56 , J56 > J12 , J34 > J34 . Тогда ?(L) = J12 + ??1 J56 , J34 ?
???1 J56 . Вследствие этого можно предполагать, что |?| ? |?| ? 1.
Если ? < 0, то переходим к алгебре CLC ?1 , где C = diag {?1, 1, 1, 1, 1, 1}. Если
? < 0, то используем автоморфизм, соответствующий матрице C = diag {1, 1, ?1,
1, 1, 1}. Следовательно, всегда можно допускать, что L = J12 + ?J56 , J34 + ?J56 ,
где 0 ? ? ? ? ? 1.
Пусть L = J12 + ? J56 , J34 + ? J56 и пусть ?(L) = CLC ?1 = L для некоторой
матрицы C ? O(6). Тогда

?(J12 + ?J56 ) = ?(J12 + ? J56 ) + ?(J34 + ? J56 ),
?(J12 + ?J56 ) = ?(J12 + ? J56 ) + µ(J34 + ? J56 ).

Будем предполагать, что 0 ? ? ? ? ? ? ? 1.
Если ? = 0, то в силу леммы 1.1 имеем ? = ±1, ? = ? , а значит, ? = ? = ? .
Пусть ?? + µ? = 0. Если ? = 0, то ? + µ = 0. Отсюда по лемме 1.1 заключаем,
что ? = 1. Мы получили, что ? = ? = ? = ? = 1.
Предположим, что ? = 0, ? = 0. В этом случае ? = ±1, ? = ? . Если ? = 0,
µ = 0, то L = J12 + ?J56 . Противоречие. Если ? = 0, µ = 0, то ? = ? . Теперь
допустим, что ? = 0, µ = 0. Тогда необходимо ?? + µ? = 0.
Отображение ? можно рассматривать как автоморфизм алгебры LE(6). Из
условия сохранения коммутационных соотношений находим, что
? ?
0 0 A1
C = ? 0 A2 0 ? .
A3 0 0
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 469

Легко получить, что C(J12 + ?J56 )C ?1 = ±?J12 + J56 , откуда вытекает, что ? = 1,
а значит, ? = ?µ? . По лемме 1.1 ? = ? .
Остается рассмотреть случай, когда ? = 0, ? = 0. Очевидно, ?? + ?? = 0.
Если ? = 0, µ = 0, то ?? + µ? = 0. Из условия сохранения коммутационных со-
отношений легко получить, что ?(P1 ) = ?(P2 ) = 0. Противоречие. Следовательно,
? = 0 или µ = 0.
Пусть ? = 0. Тогда
? ? ? ?
A?1
0 0
0 A1 0 3
C=? 0 0 A2 ? , C ?1 = ? A?1 0 ?,
0
1
A?1
A3 0 0 0 0
2

C(J12 + ?J56 )C ?1 = ±?J34 ± J56 = ?J12 + ?J34 . Противоречие.
Если ? = 0, µ = 0, то
? ? ? ?1 ?
A1 0 0
A1 0 0
C=? 0 0 A2 ? , C ?1 = ? 0 A?1 ? ,
0 3
A?1
0 A3 0 0 0
2

C(J34 + ?J56 )C ?1 = ±?J34 ± J56 = ±(J34 + ? J56 ). Отсюда следует, что ? = ? = 1.
Значит, ? = ? = ? = ? = 1. Лемма доказана.
Теорема 4.5. Расщепимые подалгебры алгебры LE(6) исчерпываются отно-
сительно E(6)-сопряженности расщепимыми подалгебрами алгебры LE(5) и
такими подалгебрами:
f1 = O : P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f2 = J12 : P3 , P4 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f3 = J12 +?J34 : P5 , P6 , P1 , P2 , P5 , P6 , P3 , P4 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6
(0 < ? < 1);
f4 = J12 + J34 : P5 , P6 , P1 , P2 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f5 = J12 , J34 : P5 , P6 , P1 , P2 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f6 = J12 , J13 J23 : P4 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f7 = J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 : P5 , P6v P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
,
v
f8 = 2J12 +J34 , J13 +J24 ? 3J45 , J23 ?J14 + 3J35 : P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f9 = J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 , J12 ? J34 : P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f10 = J12 , J13 , J23 , J45 : P6 , P4 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f11 = LO(4) = Jab | a, b = 1, 4 : P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f12 = LO(5) = Jab | a, b = 1, 5 : P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f13 = J12 + ?J34 + ?J56 : O, P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 ,
P5 , P6 , P3 , P4 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 (0 < ? < ? < 1);
f14 = J12 + ?(J34 + J56 ) : O, P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P3 , P4 , P5 , P6 ,
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 (0 < ? < 1);
f15 = J12 + J34 + ?J56 : O, P1 , P2 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P5 , P6 ,
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 (0 < ? < 1);
f16 = J12 + J34 + J56 : O, P1 , P2 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f17 = J12 + ?J56 , J34 + ?J56 : O, P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 ,
P3 , P4 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 (0 ? ? < ? ? 1);
f18 = J12 +?J56 , J34 +?J56 : O, P1 , P2 , P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P5 , P6 ,
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 (0 < ? < 1);
470 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

f19 = J12 + J56 , J34 + J56 : O, P1 , P2 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f20 = J12 , J34 , J56 : O, P1 , P2 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f21 = f7 ? J56 : O, P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f22 = f7 ? J12 ? J34 ? J56 : O, P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f23 = f7 ? J12 ? J34 + aJ56 : O, P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6
(a > 0);
f24 = LO(4) ? J56 : O, P5 , P6 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f25 = LO(3) ? J45 , J46 , J56 : O, P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f26 = J12 + J45 , J13 + J46 , J23 + J56 : O, P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ;
f27 : O, P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , где f27 — неприводимая подалгебра LO(6).
Доказательство. Приводимые подалгебры алгебры LO(6) являются подалгебрами
алгебр LO(5), LO(4) ? J56 , LO(3) ? J45 , J46 , J56 . Подалгебры прямой суммы
находим, используя алгоритм Ли–Гурса. Если подалгебра алгебры LO(6) является
абелевой, то она сопряжена подалгебре алгебры Картана J12 , J34 , J56 . На осно-
вании лемм 1.1, 4.2 абелевы подалгебры исчерпываются абелевыми подалгебрами

<< Предыдущая

стр. 106
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>