<< Предыдущая

стр. 107
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

LO(5) и такими алгебрами:
J12 + ?J34 + ?J56 , 1 ? ? ? ? > 0;
J12 + ?J56 , J34 + ?J56 , 1 ? ? ? ? ? 0, ? = 0;
J12 , J34 , J56 .
Пусть A — такая подалгебра LO(4) ? J56 , чтo ее проекция A1 на LO(4)
является неабелевой алгеброй. Если A1 = LO(3), то вследствие того, что LO(3) —
простая алгебра, заключаем, что A = LO(3)? J56 , а значит, A сопряжена LO(3)?
J45 . Если A1 = J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 ? ? J12 ? J34 , где ? ? {0, 1}, то A
совпадает с одной из алгебр:
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 ? J12 ? J34 + aJ56 (? = 1, a > 0);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 ? J12 ? J34 , J56 (? = 1);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 ? J56 , (? = 0).
Неабелевы подалгебры алгебры LO(3) ? J45 , J46 , J56 , несопряженные подал-
гебрам алгебры LO(5), исчерпываются алгебрами:
LO(3) ? J45 , J46 , J56 ; J12 + J45 , J13 + J46 , J23 + J56 .
Используя теорему 1.1 и лемму 1.2, находим подпространства пространства
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , инвариантные относительно подалгебр алгебры LO(6). Тео-
рема доказана.
Теорема 4.6. Нерасщепимые подалгебры алгебры LE(6) исчерпываются отно-
сительно E(6)-сопряженности нерасщепимыми подалгебрами LE(5) и следую-
щими подалгебрами:
J12 + aP6 : P3 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 (a > 0);
J12 + ?J34 + aP6 : P5 , P1 , P2 , P5 , P3 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 (0 < ? < 1,
a > 0);
J12 + J34 + aP6 : P5 , P1 , P2 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 (a > 0);
J12 + aP6 , J34 + bP6 : P5 , P1 , P2 , P5 , P3 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 (a ? b ?
0);
J12 + aP5 , J34 + bP5 + cP6 : O, P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 (a > 0, c > 0,
b ? 0);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 , J12 ? J34 + aP6 : P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 (a > 0);
J12 , J13 , J23 , J45 + aP6 : O, P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 (a > 0).
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 471

Теорема 4.6 вытекает из теоремы 1.2.
Замечание 4.1. Подалгебры алгебры LE(3) описаны в [15], подалгебры алгебры
LE(4) — в [19].

§ 5. Подалгебры алгебры Галилея LG(3)
Через fC будем обозначать автоморфизм алгебры LG(2), индуцируемой вну-
тренним автоморфизмом A > CAC ?1 группы O(2) (A, C ? O(2)).
Лемма 5.1. Пусть ? = {exp tGa | t ? R}. Подалгебры алгебры P0 , Pa , Ga исчер-
пываются относительно ?-сопряженности алгебрами:
O, P0 , Pa , Ga , Ga + ?Pa , Ga + ?P0 , P0 , Pa , Ga , Pa , Ga + ?P0 , Pa ,
P0 , Pa , Ga (? > 0, ? = 0).
Доказательство. Пусть L — ненулевая подалгебра алгебры P0 , Pa , Ga . Если
?0 (L) = 0, то L содержит P0 или Ga + ?P0 , где ? > 0. В этом случае двумерные
подалгебры исчерпываются такими подалгебрами: P0 , Pa , Ga + ?P0 , Pa . Если
?0 (L) = 0, то L сопряжена одной из алгебр: O, Pa , Ga , Ga + ?Pa , Ga , Pa
(? = 0). Лемма доказана.
Лемма 5.2. Трехмерные подалгебры алгебры G1 , G2 , P1 , P2 исчерпываются
относительно G(2)-сопряженности алгебрами:
G1 + ?P2 , G2 , P1 (? ? 0); G2 , P1 , P2 .
Доказательство. Пусть M = G1 + ?1 P2 , G2 + ?2 P2 , P1 + ?3 P2 . Применяя автомор-
физм exp tJ12 , отображаем M на M = G1 + ?1 P2 , G2 + ?2 P2 , P1 . Автоморфизм
exp tP0 обращает ?2 в 0. Остается установить, что алгебры G1 + ?P2 , G2 , P1 ,
G1 + ?P2 , P1 O(2)-сопряжены тогда и только тогда, когда |?| = |?|. Допустим, что
для автоморфизма fC алгебры LG(2), соответствующего матрице C ? O(2), спра-
ведливо равенство fC G1 + ?P2 , G2 , P1 = G1 + ?P2 , G2 , P1 . Тогда fC (G2 ) = G2 ,
fC (P1 ) = P1 . Отсюда вытекает, чтo C = diag {±1, ±1}. Значит, |?| = |?|.
Пусть L = G1 + ?1 P1 , G2 + ?2 P1 , P2 . За счет автоморфизма exp tP0 , можно
предполагать, что ?1 = 0. Применяя автоморфизм exp ? J12 , отображаем L на M.
2
Очевидно, алгебра G1 + ?G2 , P1 , P2 сопряжена с алгеброй G2 , P1 , P2 . Лемма
доказана.
Лемма 5.3. Трехмерные подалгебры алгебры G1 , G2 , P1 , P2 исчерпываются
относительно O(2)-сопряженности алгебрами:
G1 + ?1 P2 , G2 + ?2 P2 , P1 , G2 , P1 , P2 (?1 ? 0).
Лемма 5.4. Пусть M = G1 + ?1 P1 + ?2 P2 , G2 + ?1 P1 + ?2 P2 , M = G1 + ?1 P1 +
?2 P2 , G2 + ? 1 P1 + ? 2 P2 , где ?2 > 0, ?2 > 0. Алгебры M и M O(2)-сопряжены
тогда и только тогда, когда ?1 = ?2 , ?2 = ±?1 , ? 1 = ±?2 , ? 2 = ?1 или имеет
решение одна из таких систем уравнений:
? ?
? (?2 + ? 1 )x = ?2 ? ? 2 , ? (?2 ? ? 1 )x = ?2 ? ? 2 ,
? ?
? ?
(?1 ? ? 2 )x = ?1 ? ? 1 , (?1 ? ? 2 )x = ?1 + ? 1 ,
(5.1) (5.2)
? (?1 ? ?2 )x = ?2 ? ?2 , ? (?1 ? ?2 )x = ?2 + ?2 ,
? ?
? ?
(?1 + ?2 )x = ?1 ? ?1 , (?1 ? ?2 )x = ?1 ? ?1 .
Доказательство. Если алгебры M и M сопряжены относительно O(2), то fC (M)
= M, где C — одна из матриц:
??
1 1
1? 0 1 1 01
v v
, , , .
?? 1 ?1 ?? ?1
0 10
1 + ?2 1 + ?2
472 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

Если
1 1 ?
C=v ,
?? 1
1 + ?2
то
???1 + ?2 ? ?2 ?1 + ??2
?1 + ??2 + ??1 + ?2 ?2
?1 = , ?2 = ,
1 + ?2 1 + ?2
(5.3)
?1 + ??2 ? ??1 ? ?2 ?2 ???1 + ?2 + ?2 ?1 ? ??2
?1 = , ?2 = .
1 + ?2 1 + ?2
Из равенств (5.3) вытекает, что
??1 + ?2 = ?2 + ??2 ,
?1 ? ??2 = ?1 + ??1 ,
?? 1 + ? 2 = ?2 ? ??2 ,
? 1 ? ?? 2 = ?1 ? ??1 .
Следовательно, ? является решением системы (5.1).
Если fC (M) = M для
01
C= ,
?1 0

то ?1 = ?2 , ?2 = ??1 , ? 1 = ??2 , ? 2 = ?1 .
Если fC (M) = M для
1 1 ?
C=v ,
?1
?
1 + ?2
то
?(?2 ? ? 1 ) = ?2 ? ? 2 ,
?(?1 ? ? 2 ) = ?1 + ? 1 ,
?(?1 ? ?2 ) = ?2 + ?2 ,
?(?1 ? ?2 ) = ?1 ? ?1 .
Значит, ? — решение системы (5.2).
При
01
C=
10

получаем, что ?1 = ?2 , ?2 = ?1 , ? 1 = ?2 , ? 2 = ?1 . Лемма доказана.
Лемма 5.5. Если M — двумерная подалгебра алгебры G1 , G2 , P1 , P2 и ?1 (M) =
G1 , G2 , ?2 (M) = P1 , P2 , то M O(2)-сопряжена алгебре M(?, ?) = G1 +
?P2 , G2 ? ?P1 + ?P2 , где ? > 0, ? ? 0. Алгебры M(?, ?) и M(?, ?) сопряжены
относительно G(2) тогда и только тогда, когда ? = ?, ? = ?.
Доказательство. Пусть M = G1 + ?2 P2 , G2 + ?1 P1 + ?2 P2 , M = G1 + ?2 P2 , G2 +
? 1 P1 + ? 2 P2 . Будeм предполагать, чтo ?2 ? |?1 |, ?2 > 0. Пусть
1 1 ?
C=v .
?? 1
1 + ?2
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 473

Из равенств (5.3) вытекает, что (exp tP0 · fC )(M) = M тогда и только тогда, когда

?2 ? ? 1 = ?2 ? ?1 ,
?2 ? ?2 ?1 + ??2
?2 = , (5.4)
1 + ?2
?2??2 ? 2??1 + ?2 ? ?2 ?2
?2 = .
1 + ?2
Пусть
?2 ? ?1
?2 = ?? 1 = .
2
Отсюда и из второго равенства системы (5.4) находим, что (?2 + ?1 )?2 ? 2?2 ? +
(??2 ? ?1 ) = 0. Так как это уравнение всегда имеет вещественное решение, то M
сопряжена алгебре M(?, ?) = G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 + ?P2 , где ? > 0.
Если
0 1
C1 = ,
?1 0

то fC1 (M) = ?G2 + ?P1 , G1 + ?P2 + ?P1 . Автоморфизм exp ?P0 отображает
fC1 (M) на алгебру G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 ? ?P2 . Поэтому можно считать, что ? ? 0.
Допустим, чтo для некоторого G(2)-автоморфизма ? алгебры LG(2) имеет ме-
сто равенство ?(M(?, ?)) = M(?, ?). Если ? = fC · exp tP0 , то в силу равенств
(5.4) получаем, что ? = ?, ?? = 0, ?(1 + ?2 ) = ?(1 ? ?2 ). Если ? = 0, то ? = 0.
Если ? = 0, то ? = ?. Пусть ? = fC2 · fC · exp tP0 , где C2 = diag {1, ?1}. Тогда
? = ??, откуда вытекает, что ? = ? = 0. Противоречие.
Так как в процессе рассуждений мы не использовали условие ? ? 0, то слу-
чаи автоморфизмов ? = fC1 · fC · exp tP0 , ? = fC2 · fC1 · fC exp tP0 , сводятся к
рассмотренным. Лемма доказана.
Лемма 5.6. Если M — двумерная подалгебра, алгебры G1 , G2 , P1 , P2 и ?1 (M) =
G1 , G2 , ?2 (M) = P1 , P2 , то M O(2)-сопряжена алгебре M(?, ?, ?) = G1 +
?P1 + ?P2 , G2 ? ?P1 + (? + ?)P2 , где ? ? 0, ? ? 0. Алгебры M(?, ?, ?), M(?, ?, ?)
O(2)-сопряжены тогда и только тогда, когда ? = ?, ? = ?, ? = ?.
Доказательство. Поскольку fC · exp tP0 = exp tP0 · fC для любой матрицы C ?
O(2), то в силу леммы 5.5 алгебра M сопряжена алгебре M(?, ?, ?). Если M(?, ?, ?)
сопряжена M(?, ?, ?), то на основании леммы 5.4 ? ± (??) = 0, ? + ? ? ? = 0,
? + ? ? ? = 0, ?? ± ? = 0 или одна из систем (5.1), (5.2) имеет решение. В первом
случае ? = ?, ? = ? = 0, ? = ?. Пусть µ — ненулевое решение системы (5.1).
Тогда

µ(? ? ?) = ? + ? ? (? + ?),
µ(? ? ? ? ?) = ?? + ?,
µ(? ? ? ? ?) = ? ? ?,
µ(?? + ?) = ? ? ?.

Из этих равенств вытекает, что ? = ? = 0, µ(? ? ?) = ? ? ?, µ(? ? ?) = ?? + ?.
Но тогда (µ2 + 1)(? ? ?) = 0, a значит, ? = ?, ? = ?.
474 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

Пусть ? — решение системы (5.2). Тогда

?(? + ?) = ? + ? ? (? + ?),
?(? ? (? + ?)) = ?? ? ?,
?(? ? ? ? ?) = ? + ?,
?(?? ? ?) = ? ? ?.

Отсюда следует, что ?(? + ?) = 0, а потому при ? = 0 имеем ? = ? = 0. Так
как ?(? + ?) = ? ? ?, ?(? ? ?) = ?(? + ?), то ? ? ? = 0, ? + ? = 0 или ? = ?,
? = ? = 0. Если ? = 0, то ? = ? = 0, ? = ?, ? = ?. Лемма доказана.
Теорема 5.1. Пусть R+ = {? ? R | ? > 0}, ?, ? ? R+ , ? ? R, ? = 0. Относитель-
но G(2)-сопряженности подалгебры алгебры LG(2) исчерпываются алгебрами? :
? O, ? P0 , ? P1 , ? G1 , ? G1 +?P2 , ? G1 +?P0 , ? J12 , ? J12 +?P0 ,
? P0 , P1 , ? P1 , P2 , G1 + ?P0 , P1 , ? G1 + ?P0 , P2 , G1 + ?P0 , P1 + ?P2 ,
G1 + ?P2 , P1 , ? G1 , P2 , G1 , P1 , G1 , P1 + ?P2 , ? G1 , G2 , G1 , G2 + ?P1 ,
? G1 + ?P1 , G2 , G1 + ?P1 , G2 + ?P1 , G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 , G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 +
?P2 , ? J12 , P0 , ? P0 , P1 , P2 , P0 , G1 , P1 , P0 , G1 + ?P2 , P1 , G1 + ?P0 , G2 +
?P1 , P2 , G1 + ?P0 , G2 , P2 , G1 + ?P0 , P1 , P2 , G1 , P1 , P2 , G1 , G2 , P1 , G2 , G1 +
?P2 , P1 , ? J12 , P1 , P2 , ? J12 + ?P0 , P1 , P2 , ? J12 , G1 , G2 , J12 , G1 + ?P2 , G2 ?
?P1 , G1 + ?P0 , G2 , P1 , P2 , G1 , P0 , P1 , P2 , G1 , G2 , P1 , P2 , ? J12 , P0 , P1 , P2 ,
G1 , G2 , P0 , P1 , P2 , J12 , G1 , G2 , P1 , P2 , J12 + ?P0 , G1 , G2 , P1 , P2 , J12 , G1 , G2 , P0 ,
P 1 , P2 .
Записанные алгебры не сопряжены относительно группы G(2).
Доказательство. Если L — подалгебра алгебры LG(2) и ?(L) = 0, то L содержит
элемент J12 + wP0 . Допустим, чтo (?1 + ?2 )(L) = 0 и w = 0. Тогда L = M + ?
J12 + wP0 или L = M + J12 , P0 , где M — подпространство G1 , G2 , P1 , P2 ,
?
инвариантное относительно J12 , P0 . Если ?0 (L) = 0, то L = M + ? J12 , где
M ? G1 , G2 , P1 , P2 . В первых двух случаях M сопряжено с одним из про-
странств: P1 , P2 , G1 , G2 , P1 , P2 . В третьем случае M сопряжено с одним из
таких пространств: G1 , G2 , P1 , P2 , G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 (? > 0).
Классификацию подалгебр L алгебры LG(2) с условием ?(L) = 0 проводим по
схеме, изложенной в § 3 с использованием лемм 5.2–5.6.
Теорема 5.2. Подалгебры алгебры LG(2) исчерпываются относительно G(2)-
сопряженности алгебрами, отмеченными в теореме 5.1 знаком ?, полными
пробразами подалгебр алгебры LG(2) при гомоморфизме LG(2) на LG(2) с
ядром M и такими алгебрами:
P0 + ?M , J12 + ?M , J12 + ?P0 + ?M ;
P0 + ?M, P1 , J12 + ?M, P0 + ?M , J12 + ?M, P0 , J12 , P0 + ?M ;
P0 + ?M, P1 , P2 , J12 + ?M, P1 , P2 , J12 + ?M, G1 , G2 ;
J12 +?M, P0 +?M, P1 , P2 , J12 +?M, P0 , P1 , P2 , J12 , P0 +?M, P1 , P2 (? ? R+ ,
? = 0).
Доказательство. Достаточно исследовать на сопряженность те подалгебры алге-
бры LG(2), которые не содержат M . Если L — такая подалгебра и ?(L) = 0, то
L = M + f , где M ? G1 , G2 , P1 , P2 , а f
? — подалгебра алгебры J12 , P0 , M .
Относительно G(2)-сопряженности алгебра f совпадает с одной из алгебр: J12 +
?? стоит перед алгебрами, являющимися также подалгебрами LG(2).
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 475

?M, P0 +?M , J12 +?M, P0 , J12 , P0 +?M , J12 +?M , J12 +?P0 +?M (? > 0,
? = 0).
Допустим, что ?(L) = 0. Если ?1 (L) = 0, то в силу равенства exp(tGa )(Pa +
tM ) = Pa алгебра L сопряжена одной из алгебр: P0 + ?M , P0 + ?M, P1 , P0 +
?M, P1 , P2 . Пусть ?1 (L) = 0. Если G1 + ?P0 + ?M ? L, то exp(?P1 )(L) содержит
G1 + ?P0 . Значит, проекция L на M равна нулю и мы получаем одну из алгебр,
отмеченных в теореме 5.1 знаком ?. Теорема доказана.
Теорема 5.3. Пусть ?, ?, w ? R+ , ? = 0. Подалгебры алгебры LG(3) исчерпы-
ваются относительно G(3)-сопряженности подалгебрами алгебры LG(2) и та-
кими алгебрами? :
J12 , J13 , J23 : ? O, ? P0 , ? P1 , P2 , P3 , ? G1 , G2 , G3 , ? P0 , P1 , P2 , P3 ,
G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 , P0 , P1 , P2 , P3 ;
J12 : ? P3 , ? G3 , ? G3 + ?P0 , ? P0 , P3 , G3 , P3 , G3 + ?P0 , P3 ,
G3 , P0 , P3 , ? P1 , P2 , P3 , ? P1 , P2 , G3 , ? P1 , P2 , G3 + ?P0 , ? G1 , G2 , P3 ,
? G1 , G2 , G3 , ? G1 , G2 , G3 + ?P3 , G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 , P3 , G1 + ?P2 , G2 ?
?P1 , G3 , G1 +?P2 , G2 ??P1 , G3 +?P3 , ? P0 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , G3 , P1 , P2 ,
P3 , G3 + ?P0 , G1 , G2 , G3 , P3 , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , G1 , G2 , G3 + ?P0 , P1 , P2 , P0 ,
G1 , G2 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 +?P0 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 ,
P 0 , P1 , P2 , P3 ;
J12 +?P0 : ? P3 , G3 , P3 , G3 +?P0 , P3 , ? P1 , P2 , P3 , G3 , P1 , P2 , P3 , G3 +

<< Предыдущая

стр. 107
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>