<< Предыдущая

стр. 108
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?P0 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 + ?P0 , P1 ,
P 2 , P3 ;
J12 + ?P0 + ?G3 : ? O, ? P3 , ? P1 , P2 , ? P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , P1 , P2 ,
G1 , G2 , P1 , P2 , P3 ;
J12 + ?G3 : ? O, ? P3 , ? P0 , P3 , ? P1 , P2 , ? G1 , G2 , G1 + ?P2 , G2 ?
?P1 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , P3 , G1 , G2 , G3 + ?P3 , G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 , P3 , G1 +
?P2 , G2 ? ?P1 , G3 + ?P3 , P0 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , P1 , P2 , G1 , G2 , P1 , P2 , P3 P3 ,
G1 , G2 , P0 , P1 , P2 , P3 ;
J12 + ?P3 : ? O, ? P0 , G3 , G3 + ?P0 , ? P1 , P2 , ? G1 , G2 , G1 +
?P2 , G2 ? ?P1 , ? P0 , P1 , P2 , P1 , P2 , G3 , G3 + ?P0 , P1 , P2 , G1 , G2 , G3 , G1 +
?P2 , G2 ? ?P1 , G3 , G1 , G2 , P1 , P2 , G1 , G2 , P0 , P1 , P2 , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , G1 ,
G2 , G3 + ?P0 , P1 , P2 ;
O : ? G1 + ?P2 , P3 , ? G2 , G1 + ?P3 , ? G1 + ?P1 , G2 + ?P3 , ? G2 , G1 +
?P1 +?P3 , ? G1 +?P1 +?G2 , G2 +?P3 , G1 , P1 +?G2 +?P3 , P1 +?G2 , G1 +?P3 ,
P1 + ?G2 + ?G1 , G1 + ?P3 , G1 + ?P1 , P1 + ?G2 + ?P3 , P1 + ?G2 , G1 + ?P1 +
?P3 , G1 + ?P1 + ?P3 , P1 + ?G2 + ?P3 , G1 + ?G2 , P1 + ?P3 , G1 + ?P2 , G2 +
?P1 + ?P2 + ?P3 , ? P1 , P2 , P3 , ? G1 , P2 , P3 , G1 , P1 + ?P2 , P3 , P1 , G1 +
?P2 , P3 , ? G1 , G2 , G3 , ? G1 + ?P1 , G2 , P3 , G1 , P1 + ?G2 , P3 , G1 + ?P1 , P1 +
?G2 , P3 , G1 +?P1 , G2 +?P1 , P1 +?P3 , G2 , P1 , G1 +?P3 , G1 +?P2 , G2 ??P1 , P3 ,
G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 + ?P2 , P3 , G2 + ?P1 , G1 + ?P2 + µP1 , P1 + ?P3 , G2 +
?P3 , P1 , G1 +?P2 +?P3 , G1 +?P2 , P1 , G2 +?P3 , ? G1 , G2 , G3 , G1 , P1 +?G2 , G3 ,
G1 + ?P1 , P1 + ?G2 , G3 , ? G1 + ?P1 , G2 , G3 , G1 + ?P1 + ?P2 , G2 ? ?P1 +
(? + ?)P2 , G3 , ? G1 + ?P1 , G2 + (? + ?)P2 , G3 , ? G1 + ?P1 , G2 + ?P2 , G3 ,
G1 + ?P1 + ?P2 , G2 ? ?P1 + ?P2 , G3 , G2 + ?P2 , G1 + ?P1 + µP2 , P2 + ?G3 ,
G2 + ?P1 , G1 + ?P2 + µP1 , P1 + ?G3 , P1 + ?P2 + ?G2 , G1 + ?P2 + µG2 , G2 +
?? стоит перед алгебрами, являющимися также подалгебрами алгебры LG(3).
476 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

?G3 , P1 + ?P2 + ?G3 , G2 , G1 + ?P2 + ?G3 , G1 + ?P2 , G2 , P1 + ?P2 + ?G3 ,
3
?i Pi , G3 + ?1 G1 + ?2 G2 + ?P1 (?3 > 0), ? G1 + ?P0 , P2 , P3 ,
G1 + ?P2 , G2 +
1
G1 + ?P0 , P1 + ?P2 , P3 , G1 + ?P0 , G2 + ?P3 , P2 , G1 + ?P0 , G2 + ?P1 + wP3 , P2 ,
G1 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , P1 , P3 , G2 , G1 +?P2 , P1 , P3 , G1 , G2 , P1 , P2 +?P3 , G1 +
?P2 , G2 , P1 , P2 +?P3 , G1 +?P3 , G2 , P1 , P2 , G1 , G2 , G3 , P1 , G1 +?P1 , G2 , G3 , P2 ,
G1 + ?P2 , G2 , G3 , P1 , G1 + ?P2 , G2 , G3 , P1 + ?P2 , G1 + ?P1 , G2 , P2 , P1 + ?G3 ,
G1 + ?P1 , G2 + ?P1 , P2 , P1 + ?G3 , G3 , G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 + ?P2 , P3 , G3 , G1 +
?P2 , G2 ? ?P1 , P3 , G3 , G1 + ?P1 + ?P2 , G2 + µG1 + ?P1 , P3 + ?P2 , G1 + ?1 P1 , G2 +
?G1 + ?2 P2 , G3 , P3 + ?P2 , G1 + ?1 P1 , G2 + ?G1 + ?2 P2 , G3 , P3 + ?P2 (?1 = 0,
?2 = 0), G1 +?P1 +?P3 , G2 +µG1 +?P1 , G3 , P2 , G1 +?P1 , G2 +?G1 +?P3 , G3 , P2 ,
? P0 , P1 , P2 , P3 , P0 , G1 +?P2 , P1 , P3 , G1 +?P0 , P1 , P2 , P3 , G1 +?P0 , G2 , P2 , P3 ,
G1 + ?P0 , G2 + ?P1 , P2 , P3 , G1 + ?P0 , G2 , P2 , P1 + ?P3 , G1 + ?P0 , G2 + wP3 , P1 +
?P3 , P2 , G1 , G2 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , G1 + ?P1 , G2 , G3 , P1 + ?P3 , P2 ,
G1 + ?P2 , G2 , G3 , P1 , P3 , G1 , P0 , P1 , P2 , P3 , G1 + ?P0 , G2 , P1 , P2 , P3 , G1 + ?P3 ,
G2 , P0 , P1 , P2 , G1 + ?P0 , G2 , G3 , P2 , P3 , G1 + ?P0 , G2 + ?P1 , G3 , P2 , P3 , G1 , G2 ,
G3 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , P0 , P1 , P2 , P3 , G1 +?P0 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 , P0 ,
P 1 , P2 , P3 .
Доказательство. Поскольку LO(3) — простая алгебра, то всякая подалгебра L
алгебры LG(3) с условием ?(L) = LO(3) является расщепимой. Пусть R(3) —
радикал LG(3) и M = L ? R(3). Если ?1 (M) = 0, то в силу леммы 1.2 и того,
что LO(3) действует неприводимо на P1 , P2 , P3 , заключаем, что M совпадает с
одним из пространств: O, P0 , P1 , P2 , P3 , P0 , P1 , P2 , P3 . Если ?2 (M) = 0, то M
сопряжено одному из пространств: O, P0 , G1 , G2 , G3 .
Допустим, что ?1 (M) = 0, ?2 (M) = 0. На основании леммы 3.1 M содержит
G1 + µP1 . Так как exp(µP0 )(G1 + µP1 ) = G1 , то можно предполагать, что G1 ? M.
Но в таком случае M совпадает с G1 , G2 , G3 , P1 , P2 , P3 ? s P0 , где s ? {0, 1}.
Если L — подалгебра LG(3) и ?(L) = J12 , то в силу леммы 3.1 L = M + f , ?
где f — подалгебра J12 , P0 , a M — подалгебра R(3) и M = [J12 , M] ? M ,
где M ? G3 , P0 , P3 . Алгебра M сопряжена с одной из алгебр, выписанных в
лемме 5.1. При [P0 , [J12 , M]] = 0 следует считать, что M = G3 + ?P3 (? = 0).
Алгебра [J12 , M] сопряжена с одной из алгебр: O, P1 , P2 , G1 , G2 , G1 +?P2 , G2 ?
?P1 , G1 , G2 , P1 , P2 (? > 0).
Случаи, когда ?(L) = 0, исследуются методом Ли–Гурса с использованием
лемм 5.2–5.6. Проиллюстрируем это на примерах двух случаев.
Пусть ?0 (L) = 0, ?1 (L) = G1 , ?2 (L) = P2 , P3 . В этом случае мы проводим
классификацию алгебр L относительно группы матриц вида
10
,
0A
где A ? O(2). Taк как каждый одномерный идеал алгебры P2 , P3 сопряжен с
P3 , то L сопряжена с G1 , P2 , P3 или с G1 + ?P2 , P3 (? > 0).
Пусть ?0 (L) = 0, ?1 (L) = G1 , G2 , ?2 (L) = P1 , P2 , P3 . Будем предполагать,
что L не сопряжена алгебре L с проекциями ?1 (L ), ?2 (L ), отличными от ?1 (L),
?2 (L). Согласно теореме 5.1 подалгебры алгебры G1 , G2 , P1 , P2 исчерпываются
относительно G(2)-сопряженности алгебрами:
G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 + µP2 (? > 0, µ ? 0);
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I 477

(5.5)
G2 , G1 + ?P2 , P1 (? > 0);
G1 , G2 , P1 , P0 .
Для каждой алгебры M вида (5.5) классифицируем подалгебры алгебры M ?
P3 . С этой целью в M находим идеалы U, для которых dim M|U = 1, а затем
классифицируем эти идеалы относительно нормализатора M в G(2). Подалгебры
алгебры M ? P3 , отличные от M ? P3 , сопряжены алгебрам U ? X + ?P3 , где
X ? M, X ? U. Применяя автоморфизм алгебры LG(3), соответствующий матрице
diag {1, 1, ?1}, получаем, что ? > 0. Следовательно, L сопряжена одной из алгебр:
G1 + ?P2 , G2 ? ?P1 + µP2 , P3 (? > 0, µ ? 0);
G1 + ?P2 , G2 + ?P1 + µP2 + ?P3 (? > 0, ? > 0, ? = 0);
G2 , G1 + ?P2 , P1 , P3 (? > 0);
G2 + ?P1 , G1 + ?P2 + µP1 , P1 + ?P3 (? > 0, ? > 0, ?, µ ? R);
G2 + ?P3 , P1 , G1 + ?P2 + ?P3 (? > 0, ? > 0, ? ? R);
G1 + ?P2 , P1 , G2 + ?P3 (? > 0, ? > 0);
G1 + ?P2 , G2 , P1 , P2 + ?P3 (? > 0, ? ? 0);
G2 , P1 , P2 , G1 + ?P3 (? > 0);
G1 , G2 , P1 , P2 , P3 .
Теорема доказана.
Теорема 5.4. Подалгебры алгебры LG(3) исчерпываются относительно G(3)-
сопряженности подалгебрами алгебры LG(2), алгебрами, отмеченными в тeo-
peмe 5.3 знаком ?, полными прообразами подалгебр алгебры LG(3) при гомо-
морфизме LG(3) нa LG(3) с ядром M и такими алгебрами:
J12 , J13 , J23 , P0 + ?M (? = 0);
J12 , J13 , J23 , P0 + ?M, P1 , P2 , P3 (? = 0);
J12 +?M : O, P3 , G3 , G3 +?P0 , P0 , P3 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , G3 , P1 , P2 ,
G3 + ?P0 , G1 , G2 , P3 , G1 , G2 , G3 , G1 , G2 , G3 + ?P3 , P0 , P1 , P2 , P3 (? > 0,
? > 0, ? = 0);
J12 + ?M, P0 + ?M, P3 (? > 0, ? = 0); J12 , P0 + ?M, P3 (? = 0);
J12 , P0 + ?M, P1 , P2 , P3 ; J12 + ?M, P0 + ?M, P1 , P2 , P3 (? > 0, ? = 0);
J12 + ?P0 + ?M : P3 , P1 , P2 , P3 (? > 0, ? = 0);
J12 + ?P3 + ?M : P0 + ?M , P0 + ?M, P1 , P2 (? > 0, ? > 0, ? ? R);
G1 + ?P2 , G2 + ?P1 + ?P2 + ?P3 (? > 0, ? > 0, ? ? R);
G1 + ?P2 , G2 + ?P1 + µP2 + (?? + ??1 ?µ)P3 , G3 + ?G1 + ??1 ?G2 + ?P1 (? > 0,
? = 0, ?, µ ? R, ? = ???2 ?µ).
Доказательство теоремы 5.4 аналогично доказательству теоремы 5.2.

1. Миллер У., Симметрия и разделение переменных, М., Мир, 1981, 342 с.
2. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
3. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
4. Fushchych W.I., Serov N.I., The sуmmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alambert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, № 15,
3645–3656.
5. Никитин А.Г., Фущич В.И., Юрик И.И., Редукция неприводимых унитарных представлений
обобщенных групп Пуанкаре по их подгруппам, Теор. мат. физ., 1976, 26, № 2, 206–220.
478 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

6. Fushchych W.I., Nikitin А.G., Reduction of the representations of the generalised Poincar? algebra
e
by the Galilei algebra, J. Phys. A: Math. Gen., 1980, 13, № 7, 2319–2330.
7. Баранник Л.Ф., Об унитарных проективных представлениях группы Галилея, В кн.: Теоретико-
алгебраические исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981,
108–118.
8. Fushchych W.I., Krivsky I.Ju., On a possible approach to the variable mass problem, Nucl. Phys.
B, 1968, 7, № 1, 79–82.
9. Fushchych W.I., Krivsky I.Ju., On representations of the inhomogeneous de Sitter group and equati-
ons in five-dimensional Minkowski sраce, Nucl. Phys. B, 1969, 14, № 4, 573–585.
10. Фущич В.И., Представления полной неоднородной группы де Ситтера и уравнения в пятимерном
подходе. I, Теор. мат. физ., 1970, 4, № 3, 360–382.
11. Fushchych W.I., On а motion equations for two particles in relativistic quantum mechanics, Lett.
Nuоvо Cimento, 1974, 10, № 4, 163–168.
12. Le Bellac M., Vary-Leblond J.M., Galilean electromagnetism, Nuovo Cimento B, 1973, 14, № 1,
217–235.
13. Burdet G., Perrin M., Sorba P., J. Math. Phys., 1974, 15, 1436; 2253.
14. Niederer U., The maximal kinematical invariance group of the free Schr?dinger equation, Helv.
o
Phys. Acta, 1972, 45, № 5, 808–810.
15. Beckers J., Patera J., Perroud M., Winternitz P., Subgroups of the Euclidean group and symmetry
breaking in nonrelativistic quantum mechanics, J. Math. Phys., 1977, 18, № 1, 72–83.
16. Sorba P., The Gаlilei group and its connected subgroups, J. Math. Phys., 1976, 17, № 6, 941–953.
17. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
I. General method and the Poincar? group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1597–1624.
e
18. Patera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zаssеnhаus H., Continuous subgroups of the fundamental
groups of physics. III. The de Sitter groups, J. Math. Phys., 1977, 18, № 2, 2259–2288.
19. Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Москаленко Ю.Д., Непрерывные подгруппы группы Евклида
четырехмерного пространства, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математиче-
ской физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, 119–123.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 479–484.

Continuous subgroups
of the Poincare group P (1, 4)
?
W.I. FUSHCHYCH, A.F. BARANNIK, L.F. BARANNIK, V.M. FEDORCHUK
An exhaustive description of the non-splitting subalgebras of the LP (1, 4) algebra with
respect to P (1, 4) conjugation is presented.


1. Introduction
The generalised Poincar? group P (1, 4) is the group of inhomogeneous pseudoor-
e
thogonal transformations of the five-dimensional pseudo-Euclidean space with the
scalar product (X, Y ) = x0 y0 ? x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? x4 y4 . The P (1, 4) group is the
simplest one which contains the Poincar? group P (1, 3) as a subgroup. Fushchych
e
and Krivsky [11, 12] and Fushchych [10] have used the P (1, 4) group and its unitary
representations to describe particles with variable mass and spin. An arbitrary partial
differential equation which is invariant under the P (1, 4) group is also invariant under
the P (1, 3) group as well as under the extended Galilei group G(1, 3) since G(1, 3) ?
P (1, 4) (Fushchych and Nikitin [13]). The papers of Aghassi et al [1, 2] deal with
irreducible representations of P (1, 4) and C(1, 4), using the latter in the theory of
elementary particles. Kadyshevsky [16] proposed using the P (1, 4) group in field
theory with the fundamental length. The P (1, 4) group is the invariance group of the
relativistic Hamilton–Jacobi equation (Fushchych and Serov [14]) and the Monge–
Ampere equation (Fushchych and Serov [15]). These nonlinear equations are invariant
under transformations of the P (1, 4) group with the fifth coordinate as x4 ? u, where
u = u(x0 , x1 , x2 , x3 ). So it is important to investigate the subgroup structure of the
P (1, 4) group. In particular, these results can be used in the separation of variables
of many important partial differential equations.
The splitting subalgebras of LP (1, 4) were described by Fedorchuk [6, 7]. Some
high-dimension non-splitting subalgebras of LP (1, 4) were listed by Fedorchuk and
Fushchych [9] and Fedorchuk [8]. In this paper we list all the non-splitting subal-
gebras of the LP (1, 4) algebra with respect to P (1, 4) conjugation. In the papers of
Lassner [17], Bacry et al [3, 4, 5] and Patera et al [18] all the subalgebras of LP (1, 3)
are classified with respect to P (1, 3) conjugation, so we consider such subalgebras of
LP (1, 4) which are non-conjugate to the subalgebras of LP (1, 3). In our paper we use
the method due to Patera et al [16].

2. Some auxiliary remarks
The LP (1, 4) algebra is defined by the following computation relations:

[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? ,
[P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , J?? = ?J?? , [P? , P? ] = 0,

where g00 = ?g11 = ?g22 = ?g33 = ?g44 = 1, g?? = 0 if ? = ? (?, ? = 0, 1, 2, 3, 4).
J. Phys. A: Math. Gen., 1985, 18, P. 2893–2899.
480 W.I. Fushchych, A.F. Barannik, L.F. Barannik, V.M. Fedorchuk

Below we shall use the following notation: Ka = J0a ? Ja4 (a = 1, 2, 3); W =
X1 , . . . , Xs is a space or Lie algebra over the real number field R with the generating
elements X1 , . . . , Xs ; V = P0 , P1 , P2 , P3 , P4 ; ? is a projection LP (1, 4) on LO(1, 4);
?a,...,q is a projection LP (1, 4) on Pa , . . . , Pq .
Lemma 1. Let W be a subspace of V invariant under Ad Jab (1 ? a < b ? 4). If
?a,b (W ) = 0 then Pa , Pb ? W .
Proof. Let X = x? P? ? W and ?ab (X) = 0. Obviously,
[Jab , X] = xa Pb ? xb Pa , [Jab , [Jab , X]] = ?xa Pa ? xb Pb .
Since the vectors obtained are linearly independent, so Pa , Pb ? W and this proves
the lemma.
Lemma 2. If W ? V and [J0a , W ] ? W and if ?0,a (W ) = 0, then the subspace W
contains P0 + Pa or P0 ? Pa .
Corollary. Let W ? V and [J0a , W ] ? W . If ?0,a (W ) = 0, then within the conjugati-
on corresponding to the element
diag (1, . . . , ?1, . . . , 1)
a+1

from O(1, 4) group W contains P0 + Pa .
Lemma 3. Let W be a subspace of V invariant under Ad (J0a + ?Jcd ), where ? ? R,
? = 0, 0, a, c, d are mutually different. Then W = ?0,a (W ) ? s Pb , where s ? {0, 1},
b ? {0, a, c, d}.
Proof. If
4
?j Pj ? W
X=
0

then W contains the elements
X1 = [J0a + ?Jcd , X] = ??0 Pa ? ?a P0 + ?(?c Pd ? ?d Pc ),
X2 = [J0a + ?Jcd , X1 ] = ?0 Pa + ?a P0 + ? 2 (??c Pc ? ?d Pd ),
X3 = [J0a + ?Jcd , X2 ] = ??0 Pa ? ?a P0 + ? 3 (??c Pd + ?d Pc ).

Since X1 ? X3 = (? + ? 3 )(?c Pd ? ?d Pc ) and ? = 0, then ?c Pd ? ?d Pc ? W whence
?c,d (X), ?0,a (X) ? W . Thus, this lemma is proved.
Lemma 4. Let W be a subspace of V invariant under Ad Ka . If ?0,4 (W ) ? P0 + P4
then P0 + P4 , Pa ? W . If ?a (W ) = 0 then P0 + P4 ? W .
Proof. Let W contains the vector X = ?j Pj , then W also contains X1 = [X, Ka ] =
?a (P0 + P4 ) + (?0 ? ?4 )Pa , X2 = [X1 , Ka ] = (?0 ? ?4 )(P0 + P4 ). If ?0 ? ?4 = 0 then
P0 + P4 , Pa ? W . If ?0 ? ?4 = 0, ?a = 0 then P0 + P4 ? W . Thus this lemma is
proved.
Lemma 5. Let W be a subspace of V invariant under Ad (Ka ?Jbc ), where {a, b, c} =
{1, 2, 3}. Then W is invariant under Ad Ka and Ad Jbc .
Proof. Let X = Ka ?Jbc , Y ? W . Since [X, [X, [X, Y ]]] = [Jbc , Y ], then [Jbc , W ] ? W ,
[Ka , W ] ? W . Thus, the lemma is proved.
Continuous subgroups of the Poincar? group P (1, 4)
e 481

Lemma 6. Let F be a subalgebra of LO(1, 4) with the generators J04 and Ka ,
where a covers a subset I of the set {1, 2, 3}. If A is a subalgebra of LP (1, 4) and
?(A) = F , then within the conjugation with respect to the group of translations A
contains elements Ka (a ? I) and J04 + ?1 P1 + ?2 P2 + ?3 P3 .
Proof. Let Xa = Ka + ?i Pi , Y = J04 + ?i Pi (i = 0, 1, 2, 3, 4). By the automor-
phism exp(t1 P0 + t2 P4 ) the coefficients ?0 , ?4 can be made zero. Since [Y, Xa ] =
?Ka + ?a (P0 + P4 ) ? ?0 P4 ? ?4 P0 , one can therefore consider Xa = Ka + ?P0 within
the automorphism exp(tPa ). Evidently [Y, Xa ]+Xa = (?a +?)P0 +(?a ??)P4 . If ? = 0
then P0 + P4 ? A by lemma 4. Therefore we have P0 , P4 ? A and hence ? = 0 within
the conjugation. Thus, this lemma is proved.
Lemma 7. Let A be a subalgebra of LP (1, 4), X = J12 +cJ04 +?P3 , Y = K3 + ?i Pi
(i = 1, 2, 3, 4; c > 0). If X, Y ? A, then A contains K3 .
Proof. It is easy to obtain

<< Предыдущая

стр. 108
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>