<< Предыдущая

стр. 11
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


2 1/2 1/2
m(m, p) = ?4 m2 ? ? + p 2 + m2
? ? ? ,
|j ? ? | ? s, s ? j + ?, ?s ? s3 ? s, ?s ? s3 ? s ,
?? ??
where Ps , Ps3 , Ps , Ps3 , Ps , Ps3 are the projectors into the subspace with the corres-
ponding fixed value of s and s3 .
S 2 ? s(? + 1) S3 ? s3
?s ?
(7.6)
Ps = , Ps3 = ,
s(s + 1) ? s(? + 1) s3 ? s3
?s ?
s=s
? s3 =s3
?


Ps = W ?1 Ps W, Ps3 = W ?1 Ps3 W, Ps3 = W Ps3 W ?1 , Ps = W Ps W ?1 .
? ? ? ?

?? ??
Ps , Ps3 , Ps , Ps3 may be obtained from (7.6) by the substitution

? pa Sb pb (1 ? cos ?) + 1
Sa > Sa = W ?1 Sa W = Sa cos ? + ? ?
? ?abc pb S4c sin ?,
p2 p
? pa Sb pb (1 ? cos ?) ? 1
Sa > Sa = W Sa W ?1 = Sa cos ? + ? ?
? ?abc pb S4c sin ?,
2
p p
?
? = ?1 ? ?2 .
46 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin

Acknowledgment
We would like to express our gratitude to the referee for his useful comments.

1. Aghassi J.J., Roman P., Santilli R.M., J. Math. Phys., 1970, 11, 2297–2305.
2. Bargman V., Ann. Math., 1954, 59, 1–46.
3. Barrabes K., Henry J., J. Phys. A: Math. Gen., 1976, 9, 1428–1434.
4. Castell L., Nuovo Cim., 1967, 49, 285–294.
5. Elizalde E., Gomish J., J. Math. Phys., 1978, 19, 1790–1797.
6. Fedorchuk V.M., Preprint 78-18, Mathematical Institute, Kiev, 1978.
7. Foldy L.L., Phys. Rev., 1956, 102, 568–574.
8. Fushchych W.I., Teor. Mat. Fiz., 1970, 4, 360–367.
9. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1968, 7, 79–87.
10. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Preprint 68-72, Institute for Theoretical Physics, Kiev, 1968.
11. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1969, 14, 537–544.
12. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Yurik I.I., Preprint 75-85, Mathematical Institute, Kiev, 1975.
13. Leutwyler H., Stern J., Ann. Phys., 1968, 112, 94–164.
14. Levi-Leblond J.-M., Comm. Math. Phys., 1967, 6, 286–311.
15. Nikitin A.G., Fushchych W.I., Yurik I.I., Teor. Mat. Fiz., 1976, 26, 202–220 (transl. Teor. and
Math. Phys., 1976, 26, 138–147).
16. Nikitin A.G., Salogub V.A., Ukr. Fiz. J., 1975, 20, 1730–1732.
17. Shirokov Yu.M., Dokl. Akad. Nauk USSR, 1954, 94, 857–861.
18. Shirokov Yu.M., Dokl. Akad. Nauk USSR, 1954, 99, 737–739.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 47–54.

Инвариантные системы уравнений
в обобщенной механике
В.И. ФУЩИЧ, Ю.Н. СЕГЕДА, Г.А. РЕДЧЕНКО

Введение. М.В. Остроградский [1] обобщил вариационный принцип Гамильто-
на на случай, когда лагранжиан L зависит от обобщенных координат qi , обобщен-
(r)
ных скоростей qi и высших производных qi , . . . , qi , и одновременно решил задачу
? ?
о приведении соответствующей системы уравнений
d2 ?L r
?L d ?L rd ?L
? ? · · · + (?1) r (r) = 0, (1)
+2
?qi dt ? qi
? dt ? qi
? dt ?q
i

N — число степеней свободы, к каноническому виду.
Уравнения (1) в общем случае порядка 2r.
В настоящее время механику материальных систем, описываемую уравнения-
ми вида (1), принято называть обобщенной механикой Лагранжа–Остроградско-
го (ЛО).
Уравнения вида (1) встречаются, например, в задаче о взаимодействии двух
точечных зарядов в электродинамике [2, 3]. Это говорит о том, что механика ЛО
является неформальным обобщением механики Лагранжа и может иметь разли-
чные физические приложения.
В работе [4] поставлена задача об исследовании теоретико-групповой структу-
ры механики ЛО. В данной статье изучим групповые свойства уравнений вида (1)
четвертого порядка, описывающих движение системы двух частиц.
Более точно задача формулируется следующим образом. Рассмотрим уравнения
4-го порядка
d2 ?L
?L d ?L
? ? dt ? q ? + dt2 ? q ? = 0, (1 )
?qi ?i ?i
?
qi — обобщенные координаты частиц, ? = 1, 2; i = 1, 2, . . . , N .
Пусть система (1 ) разрешена относительно старших производных. В качестве
обобщенных координат системы выберем декартовы координаты. Обозначая коор-
динаты первой частицы символом xi , а второй yj , систему уравнений (1 ) можно
записать в виде
?
· · ·· ·· ··· ···
? (4)
? x = f I t, x, y, x, y, x, y, x, y ,
?i
? i
(2)
S:
? (4) · · ·· ·· ··· ···
?
? y = fiII t, x, y, x, y, x, y, x, y .
?i

Пусть заданы преобразования независимых и зависимых переменных
t > t = ?(t, x, y; a), x > x = ?(t, x, y; a), y > y = ?(t, x, y; a), (3)
образующие некоторую однопараметрическую группу G.
Украинский математический журнал, 1980, 32, № 4, С. 569–576.
48 В.И. Фущич, Ю.Н. Сегеда, Г.А. Редченко

Определение. Уравнения (2) назовем инвариантными относительно преобра-
зований (3), если выполняются соотношения
· · ··· · · ···
(4) (4)
= fiI = fiII . (2 )
xi t ,x ,y ,x ,y ,...,y , yi t ,x ,y ,x ,y ,...,y

Наша задача состоит в следующем: описать всевозможные функции fiI , fiII ,
при которых система (2) инвариантна относительно смещений координат и вре-
мени, масштабных и проективных преобразований, а также преобразований Гали-
лея. Тот факт, что система (4) содержит уравнения четвертого порядка, позволяет
найти новый класс преобразований, оставляющих уравнения (4) инвариантными,
подобно тому, как уравнения второго порядка допускают преобразования Галилея.
Эти новые преобразования соответствуют переходу к неинерциальным системам
отсчета. Естественно поэтому назвать их обобщенными преобразованиями Гали-
лея.
Для решений поставленной задачи воспользуемся понятием продолженного
оператора группы [5]
? ? ? ? ?
? + · · · + ?y(4) (4) , (4)
X = ?t + ?xi + ?yi + ?xi
?
?t ?xi ?yi ? xi
? i
?y i
где
(r)
dt dx dx
=i (r)
=i
?t = , ?xi , ..., ?xi , ...
da da da
a=0 a=0 a=0

Как показано в [5], необходимым и достаточным условием инвариантности
уравнений (2) относительно группы преобразований (3) является выполнение ра-
венства
(4)
xi ? fiI = 0,
? S? (5)
XS|S = 0, (4)
yi ? fiII = 0.

Условие (5) означает, что искомая система уравнений (2) образует инвариантное
дифференциальное многообразие группы преобразований (3).
1. Инвариантность относительно сдвигов и масштабных преобразований.
1. Для простоты изложения, здесь и в последующих разделах ограничимся одной
пространственной координатой, т.е. исследуем систему уравнений вида
· · ··· ···
(4)
x1 = f1 t, x1 , x2 , x1 , x2 , . . . , x 1 , x 2 ,
(2 )
· · ··· ···
(4)
= f2 t, x1 , x2 , x1 , x2 , . . . , x 1 , x 2 ,
x2

где x1 ? x, x2 ? y, и т.д. Обобщение на случай большего числа пространственных
координат очевидно.
Рассмотрим преобразование смещения времени
(3 )
t = t + a, x1 = x1 , x2 = x2 .
В этом случае согласно (4) имеем ?t = 1, ?x1 = ?x2 = 0; ?x1 = ?x2 = · · · =
? ?
?
? ?
?x(4) = ?x(4) = 0, и оператор X имеет весьма простой вид: X = . Условие
?t
1 2
Инвариантные системы уравнений в обобщенной механике 49

?f1 ?f2
инвариантности (5) сводится к уравнениям: = 0. Следовательно,
= 0,
?t ?t
уравнения (2 ) инвариантны относительно временных трансляций, если функции
f1 и f2 не зависят от времени:
· · ···
f? ? f? x1 , x2 , x1 , x2 , . . . , x 2 , (6)
? = 1, 2.

В случае пространственных трансляций t = t, x1 = x1 + a, x2 = x2 + a, имеем
?x1 = ?x2 = · · · = ?x(4) = 0, (3 )
?t = 0, ?x1 = ?x2 = 1, ? ?
2


вследствие чего условие (5) сводится к системе уравнений
?f? ?f?
+ = 0, ? = 1, 2,
?x1 ?x2
общее решение которой, очевидно, следующее:
· · ···
f? ? f? t, x1 ? x2 , x1 , x2 , . . . , x 2 , (7)
? = 1, 2.

Таким образом, уравнения (2 ) инвариантны относительно преобразования сме-
щения координат в том и только том случае, если функции f? зависят от разности
координат.
2. Рассмотрим масштабные преобразования координат:
(3 )
t = t, x1 = ax1 , x2 = ax2 ,
где a — вещественный параметр.
?
Коэффициенты оператора X в этом случае равны:
?t = 0, ?x1 = x1 , ?x2 = x2 , ?x1 = x1 ,
? ?x2 = x2 ,
? ?x1 = x1 ,
? ?x2 = x2 ,
?
? ? ? ?
··· ··· (4) (4)
?··· = x 1 , ?··· = x 2 , ?x(4) = x1 , ?x(4) = x2 .
x x
1 2 1 2


?
Если подставить оператор X с этими коэффициентами в уравнение (5), то в каче-
стве условия инвариантности получим систему уравнений
?f? ?f? ?f? ?f? ?f? ?f?
x1 + x2 + x1? + x2
? + x1
? + x2
? +
?x1 ?x2 ? x1
? ? x2
? ? x1
? ? x2
?
(8)
··· ?f? ··· ?f?
+ x 1 ··· + x 2 ··· = f? , ? = 1, 2,
? x1 ? x2
Общее решение системы (8) представляется в виде

x1 x1 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2
?
(9)
F? t, , , , , , ··· , ··· , , = 0,
x2 x1 x2 x1 x2 x 1 x 2 f1 f2
????

где F? — произвольные дифференцируемые функции.
Если, в частности, систему (9) разрешить относительно f1 и f2 , то получим
x1 x1 x1 x1 x2 x1 x2

<< Предыдущая

стр. 11
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>