<< Предыдущая стр. 112(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
from the formulae given in § 2. Taking into account (3.17) we obtain

?0 = ?U1 , ?1 = 0,
(3.18)
? 00 = ?2U01 , ? 01 = ? 10 = ?U11 , ? 11 = 0.

With the help of formulae (3.17) and (3.18) the invariance condition (3.16) can
easily be reduced to the following linear pde for the function F :
?F ?F ?F
(3.19)
U1 + 2U01 + U11 =0
?U0 ?U00 ?U01
The Galilean relativistic principle and nonlinear partial differential equation 495

which can be readily solved. The general solution of (3.19) is an arbitrary differentiable
function

F = F1 (w(I) , w(II) , U, U1 , U11 )

which depends on five variables. The theorem is proved.
Theorem 10, without any substantial complications, is generalised for the case of
(n + 1)-dimensional space

F (x0 , x1 , . . . , xn , U, U0 , U , U00 , U01 , . . . , U0n , U ) = 0,
I II
(3.20)
U = (U1 , . . . , Un ), U = (U11 , U12 , . . . , Unn )
I II

i.e. we have the following theorem.
Theorem 11. Amongst equations of the class (3.20) only equations given by

F1 (w(I) , w(II) , U, U , U ) = 0 (3.21)
I II

are invariant under GT (1.6) and x0 , x1 , . . . , xn coordinate translations, where
? ?
U1 · · · Un
U0
?U U11 · · · U1n ?
w(I) = det ? 10 ?
? ··· ··· ··· ··· ?,
Un0 Un1 · · · Unn
? ? (3.22)
U00 U01 · · · U0n
?U U11 · · · U1n ?
w(II) = det ? 10 ?
? ··· ··· ··· ··· ?.
Un0 Un1 · · · Unn

Note 7. In the specific case when

F1 ? w(II) = det(Uµ? ) = 0, Uµ? = ? 2 U/?xµ ?x?

a many-dimensional Monge–Amp` re equation is obtained, the group properties of
e
which have been studied by Fushchych and Serov [8].
Note 8. In the case

F1 = w(I) ? ? = 0, ? = constant (3.23)

the maximal IA of this equation is generated by an operator
? ?
X = ?µ +? ,
?xµ ?U
? 0 = C00 t + d0 , ? a = Cab xb + fa (t), (3.24)
a, b = 1, n,
C00 + 2(C11 + · · · + Cnn )
? = CU + d, C= ,
n+1
where C00 , Cab , d0 , d are arbitrary constants, and fa (t), a = 1, n are arbitrary
differentiable functions.
496 W.I. Fushchych, R.M. Cherniha

It means that the maximal IA of (3.23) is infinitely dimensional. In particular, this
algebra contains operators of the form

(3.25a)
?x0 , ?xa , ?U , xb ?xa , a = b, a, b = 1, n,

U
D0 = x0 ?x0 + ?U ,
n+1
(3.25b)
2U 2U
D1 = x1 ?x1 + ?U , ..., Dn = xn ?xn + ?U ,
n+1 n+1

(3.25c)
X1 = f1 (t)?x1 , ..., Xn = fn (t)?xn .

Note 9. It is possible to construct a general solution for the two-dimensional equation

U0 U1
w(I) = det (3.26)
= 0.
U01 U11

To prove this, we represent (3.26) as follows:
? U1 ?U ?U
= 0, U1 = , U0 =
?x1 U0 ?x1 ?x0
and then we obtain the general solution

U = F (x1 + G(x0 )),

where F and G are arbitrary differentiable functions. Direct verification shows that

La = constant
U = F (La xa + G(x0 )), a = 1, n,

is a particular solution of (n + 1)-dimensional equation (3.23) under ? = 0.
Note 10. Equations

···
U0 Un
···
U10 U1n
w(I) = (3.27)
= F (U ),
··· ··· ···
···
Un0 Unn

where F (U ) is an arbitrary twice differentiable function, can be reduced to (3.23) at
? = 1 for the function W (x0 , . . . , xn ) by the substitution

[F (U )]?1/(n+1) dU.
W=

Note 11. Maximal IA of the equation

Ua Ua = U1 + · · · + Un
w(I) = F (Ua Ua ), 2 2
(3.28)

is generated by the basis operators (3.25c) and

?x0 , ?xa , ?U , xa ?xb ? xb ?xa , a = b, a, b = 1, n,
D = (1 ? n)?x0 + xa ?xa + U ?U .
The Galilean relativistic principle and nonlinear partial differential equation 497

In particular, in the case of n = 1 for equations of the class (3.28)
U0 U1 2
(3.29)
= U1 ,
U10 U11

U0 U1 3
(3.30)
= U1
U10 U11

one can obtain the general solutions, namely U = F (x1 e?x0 + G(x0 )) is the general
solution of (3.29) and ?(U, x0 U + G(x0 ) ? x1 ) = 0 is the general solution of (3.30)
written in an implicit form, F , G, ? being arbitrary differentiable functions.
In conclusion, we note that among the Galilei invariant equations (3.21) one can
distinguish a class of equations

U0 = ?(U, U )?U + Q(U, U ) ? w(III) /w(II) , (3.31)
I I

· · · Un ···
0 U1 U11 U1n
· · · U1n ···
U10 U11 U21 U2n
w(III) = w(II) =
, ,
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
· · · Unn ···
Un0 Un1 Un1 Unn

?, Q being arbitrary functions.
As to the structure, equations of the form (3.31) are diffusive type nonlinear
equations with a strongly nonlinear addition. The properties of (3.31) will be studied
by us in a further paper.

1. Bluman A., Cole B., Similarily methods for differential equations, Berlin, Springer, 1974.
2. Courant R., Hilbert D., The methods of mathematical physics, Moscow, Nauka, 1951.
3. Dorodnitsyn V.A., Knyazeva I.V., Svirshchevsky S.R., Diff. Uravn. (Differential equations), 1983,
19, 1215–1223.
4. Fushchych W.I., On symmetry and particular solutions of some multi-dimensional equations of
mathematical physics, in Algebraic-Theoretical Methods in Mathematical Physics Problems, Kiev,
Mathematical Institute, 1983, 4–23.
5. Fushchych W.I., The symmetry and exact solutions of many dimensional parabolic and hyperbolic
nonlinear differential equations, Kiev, Mathematical Institute, 1984.
6. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Fiz. elem. chastits i atom. yadra (Physics of elementary particles
and atomic nucleus), 1981, 12, 1157–1219.
7. Fushchych W.I., Nikitin A.G., The symmetry of Maxwell equations, Kiev, Naukova Dumka, 1983.
8. Fushchych W.I., Serov N.I., Dokl. Akad. Nauk USSR, 1983, 273, 543–546.
9. Ibragimov N.H., The group of transformations in mathematical physics, Moscow, Nauka, 1983.
?
10. Lie S., Uber die integration durch bestimente Integrate von einer Klasse lineare partiellen Differen-
tial-gleichungen,1881, 6, 328–368.
11. Niederer U., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, 808–816.
12. Ovsyannikov L.V., Dokl. Akad. Nauk USSR, 1959, 125, 492–495.
13. Ovsyannikov L.V., The group analysis of differential equations, Moscow, Nauka, 1978.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 498–508.

Реализация на ЭВМ алгоритма вычисления
нелокальных симметрий для уравнений
типа Дирака
В.И. ФУЩИЧ, В.В. КОРНЯК
Нелиевский алгоритм вычисления алгебр инвариантности систем дифференциаль-
ных уравнений в частных производных реализован в виде программ для ЭВМ. Про-
грамма написана на языке символьных вычислений РL/I–FORMAC. На ЭВМ вычи-
слена новая восьмимерная алгебра инвариантности для системы уравнений Дирака.

The non-Lie algorithm of calculation of invariance algebras of systems of partial di-
fferential equations is realized on computer. The program is written in the symbol
language PL/I–FORMAC and the new 8-dimensional invariance algebra of Dirac equati-
on is computed.

В [1–3] предложен новый метод исследования теоретико-алгебраических свойств
систем дифференциальных уравнений в частных производных, позволяющий уста-
навливать симметрии, которые не могут быть в принципе вычислены с помощью
классического метода C. Ли. Этот метод дал возможность обнаружить неизвестные
ранее нелокальные симметрии основных уравнений релятивистской квантовой те-
ории [1–4]: Максвелла, Дирака, Кеммера–Деффина, Рариты–Швингера и т.д.
Применение нелиевскогo алгоритма [1–3] к конкретным системам уравнений
требует, как известно, проведения большого объема аналитических вычислений,
для выполнения которых целесообразно использовать ЭВМ. Эта статья посвящена
реализации алгоритма [1–3] в виде программ для ЭBM. Программа написана на
языке символьных вычислений PL/I–РОКМАС [5].

1. Описание алгоритмов
Ключевая идея нелиевского алгоритма [1–3] для вычисления алгебры инвари-
антности систем дифференциальных уравнений (ДУ) состоит в приведении их, с
помощью невырожденного преобразования, к максимально расщепленным незави-
симым подсистемам. После такого расщепления обычно бывает нетрудно найти
алгебру инвариантности преобразований Фурье, задачу можно свести к проблеме
приведения символьной матрицы к каноническому жорданову виду.
Приведение матрицы к жорданову виду, включает в себя в виде подзадачи
проблему собственных значений, является одной из наиболее технически трудных
задач линейной алгебры. Для численных матриц только в недавнее время были ра-
зработаны так называемые QR-алгоритмы [6], признанные удовлетворительными.
Эти алгоритмы являются итерационными и поэтому совершенно непригодны для
символьных матриц, для которых отсутствует понятие сходимости. Поэтому мы
использовали более прямые методы. Алгоритм состоит из двух основных частей
и реализован в виде двух отдельных программ на языке FORMAC. Первая часть
Препринт 85.20, Киев, Институт математики АН УССР, 1985, 18 c.
Реализация на ЭВМ алгоритма вычисления нелокальных симметрий 499

алгоритма служит для получения характеристических полиномов матрицы и в тех
случаях, когда степень полинома не превышает четырех — вычисляются корни.
Мы воспользовались здесь методом Данилевского [7] приведения матрицы к ка-
нонической форме Фробениуса:
? ?
??1 ??2 · · · ??n?1 ??n
?1 0?
···
0 0
? ?
F =? 0 0 ?.
···
1 0
? ?
?· ·?
· ··· ·
···
0 0 0 0
Характеристический полином матрицы Фробениуса равен
f (?) = ?n + ?1 ?n?1 + · · · + ?n ,
а любая матрица приводится к форме Фробениуса (точнее к блочно-треугольной
форме с фробениусовыми матрицами на диагонали) с помощью элементарных пре-
образований, не требующих знаний собственных значений.
Пусть имеется матрица
?0 ?
· · · a0
a11 a0 a0
 << Предыдущая стр. 112(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>