<< Предыдущая

стр. 114
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ром матрицы:
?u ?v
? = 0,
?t ?x
?u ?v
? + = 0.
?x ?t
Эта система получается в результате факторизации волнового уравнения
?2u ?2u
? = 0.
?t2 ?x2
У этой системы нет нетривиальных нелокальных симметрий рассматриваемо-
го нами типа. Мы выбрали ее только из-за краткости ввода и вывода. Символ
оператора системы имеет вид
? ?
p0 p1
p1 = ?i
где
, p0 = i , .
p1 p0 ?t ?x
Ниже слева приведена информация в том виде, в котором она представлена на
вводе и выводе — справа — эквивалент в обычных математических обозначениях
или пояснение.
Для работы программы NLP необходимо ввести следующую информацию:
504 В.И. Фущич, В.В. Корняк

СИСТЕМА UT – VX =0, –UX – VT=0
— пояснительная информация.
’P0*#1+P1*#2’ — в таком виде вводится матрица. Здесь
“пробный” вектор с координатами #1, #2
’P1*#1+P0*#2’ служит для представления строк матрицы
в виде сумм.
На выходе будет напечатано:
ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
СИСТЕМА UT – VX =0, -UX – VT=0
МАТРИЦА
P0*#1+P1*#2
P1*#1+P0*#2
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ
CHP(1)=–2L#P0+L#2 +P02 –P12 , L# — обозначение для
собственного числа.
КОРНИ
L#=P0+P1
L#=P0–P1
Для работы программы NLJW нужно ввести следующую информацию:
СИСТЕМА UT – VX =0, -UX – VT=0
2 — число различных корней
’P0+P1’ 1 — корни и их алгебраические
’P0–P1’ 1 кратности
’P0*#1+P1*#2’ – исходная матрица
’P1*#1+P0*#2’
На выходе будет напечатано:
ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
СИСТЕМА UT – VX =0, -UX – VT=0
ЧИСЛО РАЗЛИЧНЫХ КОРНЕЙ 2
СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ИХ КРАТНОСТЬ
P0+P1 1
P0–P1 1
СТРОКИ ИСХОДНОЙ МАТРИЦЫ
P0*#1+P1*#2
P1*#1+P0*#2
ПЕЧАТЬ СТРОК МАТРИЦЫ ПО ЖОРДАНОВЫМ КЛЕТКАМ
КОРЕНЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРАТНОСТИ 1
L#(1)=P0+P1
ЖОРДАНОВА КЛЕТКА ПОРЯДКА 1
J#(1)=#1(P0+P1) — первая строка (p0 + p1 , 0)
жордановой матрицы J.
СОТВЕТСТВУЯЩАЯ ЧАСТЬ МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
W#(1)=T#1#1+T#1#2 — первая строка (t1 , t1 )
матрицы W . Здесь T#1 —
обозначение для произвольного
параметра t1 .
КОРЕНЬ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРАТНОСТИ 1
L#(1)=P0–P1
Реализация на ЭВМ алгоритма вычисления нелокальных симметрий 505

ЖОРДАНОВА КЛЕТКА ПОРЯДКА 1
J#(2)=#2(P0–P1) — вторая строка (0, p0 ? p1 )
матрицы J.
СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ЧАСТЬ МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
W#(2)=–T#2#1+T#2#2 — вторая строка (?t2 , t2 )
матрицы W .
МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 2-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ
Приведем результаты применения программ к уравнению Дирака и уравнению
Kеммера–Дефина–Петье в 4-мерном пространстве–времени для 10-компонентной
волновой функции.
Символ оператора Дирака имеет вид
? ?
p0 ? m ?p3 ?p1 + ip2
0
? ?
p0 ? m ?p1 ? ip2
0 p3
? ?.
? ?
p1 ? ip2 ?p0 ? m
p3 0
?p3 ?p0 ? m
p1 + ip2 0
С помощью программы NLP получаем 2 корня
?1,2 = ?m ± P, P= pµ pµ .
Каждый из этих корней имеет алгебраическую кратность равную двум.
В результате работы программы NLJW получаем диагональную жорданову ма-
трицу
? ?
?m + P
? ?
?m + P
J =? ?
? ?
?m + P
?m + P
и 8-параметрическую матрицу преобразования
? ?
?t1 p3 ? t2 (p1 + ip2 ) ?t1 (p1 ? ip2 ) + t2 p3
t1 t2 ?
? p0 ? P p0 ? P
? ?
? ?
? ?t3 p3 ? t4 (p1 + ip2 ) ?t3 (p1 ? ip2 ) + t4 p3 ?
? t4 ?
t3
? ?
p0 ? P p0 ? P
W =? ?. (1)
? ?t p ? t (p + ip ) ?t (p ? ip ) + t p ?
? ?
53 61 2 51 2 63
? t6 ?
t5
p0 + P p0 + P
? ?
? ?
? ?t7 p3 ? t8 (p1 + ip2 ) ?t7 (p1 ? ip2 ) + t8 p3 ?
t7 t8
p0 + P p0 + P
Теперь видно, что символ оператора Дирака инвариантен по отношению к линей-
ным преобразованиям из 8-мерой группы GL(2) ? GL(2). При переходе с помощью
преобразования Фурье от символов к операторам, матрицы групп инвариантности
станут интегродифференциальными операторами.
Непосредственное обращение матрицы W можно выполнить с помощью ЭВМ,
но это приводит к громоздким и плохо отражающим структуру выражениям. По-
этому лучше воспользоваться факторизованным представлением матрицыW , пре-
дложенным в [3]
(2)
W = GW0 .
506 В.И. Фущич, В.В. Корняк

Здесь W0 — значение матрицы (1) при каком-нибудь фиксированном наборе пара-
метров t1 —t8 , G — произвольная матрица из GL(2) ? GL(2). При таком представ-
лении обратная матрица выражается формулой
?1
W ?1 = W0 G?1 .
При выборе конкретных значений параметров t1 —t8 потребуем, чтобы матрица
W0 не вырождалась при обращении в нуль пространственных компонент p1 , p2 ,
p3 4-вектора импульса. Легко найти набор параметров, удовлетворяющих этому
требованию. Например, можно выбрать:
p1 ? ip2
p3 p1 + ip2
t1 = ? t2 = ? t3 = ?
, , ,
p0 + P p0 + P p0 + P
p3
t4 = , t5 = t8 = 1, t6 = t7 = 0.
p0 + P
При этих значениях параметров матрица (1) примет вид
? ?
p1 ? ip2
p3
? ?
1 0
? ?
p0 + P p0 + P
? ?
? ?
p1 + ip2 p3
? ?
?
0 1
? ?
p0 + P p0 + P
? ? ?0 ?i pi
?=1?
W0 = ? .
? ? p0 + P
p1 ? ip2
p3
?? ?
? 1 0
? ?
p0 + P p0 + P
? ?
? p + ip ?
p3
1 2
? 0 1
p0 + P p0 + P
Матрицу, обратную к W0 , естественно искать в виде
?0 ?i pi
?1
W0 = a 1 + .
p0 + P
Коэффициент a находится из соотношения
p2 + p2 + p2
?0 ?i pi ?0 ?j pj
?1
W0 W0 = a 1 ? =a 1? 1 2 3
= 1.
(p0 + P)2 (p0 + P)2
Таким образом
p2 + p2 + p2
1 2 3
a=1+ .
(p0 + P) 2 ? p2 ? p2 ? p2
1 2 3
Если матрица G имеет следующую параметризацию
? ?
a11 a12 0 0
?a 0?
a22 0
G = ? 21 ?,
?0 0 b11 b12 ?
0 0 b12 b22
то обратная к ней матрица примет вид
? ?
a22 ?a12
1
? ?1 ?
?a21 a11
G?1 = ? ?.
? ?
?b12
1 b22
?b21 b11
?2
Реализация на ЭВМ алгоритма вычисления нелокальных симметрий 507

Здесь aij , bij —произвольные параметры, удовлетворяющие условиям

?1 = a11 a22 ? a21 a12 = 0,
?2 = b11 b22 ? b21 b12 = 0.

Рассмотрим теперь символ оператора Гамильтона для уравнения Дирака
? ?
p1 ? ip2
m 0 p3
? ?p3 ?
0 m p1 + ip2
?0 ?i pi + ?0 m = ? ?.
? ?
p1 ? ip2 ?m
p3 0
?p3 ?m
p1 + ip2 0

В результате применения вычислительных программ получаем жорданову форму
? ?
E 0
? ?
E
J =? ?
? ?
?E
0 ?E

и 8-параметрискую матрицу преобразования
? ?
t1 (p2 + p2 + p2 ) t2 (p2 + p2 + p2 )
? ip2 ) ? t2 p3 ]
(m + E)[t1 p3 + t2 (p1 + ip2 ) (m + E)[t1 (p1 1 2 3 1 2 3

<< Предыдущая

стр. 114
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>