<< Предыдущая стр. 117(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
z + y = 0,
dz 2 dz 4 4z
where
1/2
1 z ?
z = 2(m ? ? )
2 2 1/2
r, y= F,
m2 ? ? 2
2 (4.6)
??
? 4? .
2 2
4(B? )2
sk 2
?= , l = (2k + 1) +
(m2 ? ?2 )1/2
In the case ?2 ? m2 < 0 (boundary states) the allowed values of ? are
? = (l + 1)/2 + n , n = 0, 1, 2, . . . ,
hence
? ??1/2
? ?
?2
? ?
? = m ?1 + 2? (4.7)
? ?
1/2
12
? ?2 + B?
1 sk
n+ + k+
2 2

and the solutions of eq.(4.5) are
y = exp[?z/2]z l/2 Ql (z), (4.8)
n

where Ql are Laguerre polynomials [22].
n
For the continuous spectrum ?2 ? m2 > 0 the solution of eq.(4.5) limited at the
point z = 0 has the form
l+1
y = exp[?i? /2]? l/2 F (4.9)
+ i?, l + 1, i? ,
2
where F is a degenerated hypergeometric function, ? = ?iz, ? = i?.
Relativistic particle of arbitrary spin 515

So we have obtained the solution of Kepler problem for quantum-mechanical parti-
cle of any spin. The energy spectrum of such a particle is determined by formula (4.7)
(for coupled states), and radial wave function in representation, where matrix A? is
??
diagonal, has the form (4.8) or (4.9). The discussion of the spectrum (4.7) is given
in [9].

5. Arbitrary spin particle in the combined field
Now we shall consider the motion of a charged particle in central field which is
the combination of Coulomb and magnetic monopole ones, when
r?n
ze n
A=?
A0 = , ,
2e r(r + r · n)
r
(5.1)
nr
?r
E=? 3, H= .
2e r3
r
Writing down the corresponding eq.(2.4) in spherical co-ordinates and representing
the solution in the form (3.7), one comes to the radial equation in the form (3.10),
where
k(k + 1) ? n2 /4
d2
2
? 2d
? m2 + ?
D = ?+ + ,
dr2 r2
r r dr
(5.2)
1 ? 2s i?
= s(s + 1) ? 2? 2 + ? ? ??? ? ??? ,
A??
2s s
and the matrix elements ??? are defined by eq.(3.12).
The system (3.10), (5.2) in its turn is reduced to the set of noncoupled eqs.(3.13),
sk
where B? are the matrix (5.2) eigenvalues. So the energy values, corresponding to
the coupled states, are
? ??1/2
? ?
? ?
? ?
? ?
2
?
(5.3)
?=m 1+ ,
? 1/2 2 ?
? ?
? ?
2
n + 1 + k + 1 + n2 /4 ? ?2 + B?
? ?
sk
2 2

where n = 0, 1, 2, . . ., n = 0, 1, 2, . . ., and possible values of k are given in (3.8).
Formula (5.3) generalizes the relation, obtained in [15] for s = 1 , for the case of
2
any spin values. For n = 0 the spectrum (5.3) is reduced to the one for a particle of
any spin in Coulomb field (see (4.7)). We see that an arbitrary-spin particle as well
1
as a spin- 2 one has the coupled states in the considered combined field.
So we have obtained exact solutions of relativistic wave equations, describing
the motion of any spin particle in some central external fields. Such solutions may
be useful, e.q. in investigations connected with scarches of coupled states of exited
atomic nucleus in magnetic-pole field and so on.

1. Bykov A.A., Dremin I.M., Leonidov A.V., Usp. Fiz. Nauk, 1984, 143, 3 (in Russian).
2. Kirillov-Ugryumov V.G., Nikitin Yu.P., Sergeev F.M., Atoms and mesons, Moscow, 1980 (in Russi-
an).
3. Betty C.G, Fiz. Elem. Chastits At. Jadra, 1982, 13, 164.
4. Tamm I.E., Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1940, 9, 551 (in Russian).
516 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin, W.M. Susloparow

5. Velo G., Zwanzinger D., Phys. Rev., 1969, 186, 1337.
6. Wightman A.S., in Invariant wave equations, in Lect. Notes Phys., 1980, 73, 1.
7. Nikitin A.G., Fushchych W.I., Teor. Mat. Fiz., 1978, 34, 319 (English translation: Theor. Math.
Phys., 1978, 34, 203).
8. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Fiz. Elem. Chastits At. Jadra, 1978, 9, 501 (in Russian).
9. Nikitin A.G., Teor. Mat. Fiz., 1983, 57, 257.
10. Susloparow V.M., in Algebraic-Theoretical Methods in Mathematical Physic Problems, Kiev, 1983,
104.
11. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Nuovo Cimento A, 1984, 81, 644.
12. Dirac P.A.M., Proc. R. Soc. London, 1931, 133, 60.
13. Tamm I.E., Z. Phys., 1931, 71, 141; see also Tamm I.E., Collected papers, Moscow, 1975 (in Russian).
14. Harish-Chandra, Phys. Rev., 1948, 74, 883.
15. Houtot A., J. Math. Phys., 1972, 13, 710.
16. Nair V.P., Phys. Rev. D, 1983, 28, 2673.
17. Barut A.O., Xu Bo-Wei, Phys. Rev. D, 1983, 28, 2666.
18. Balachandran A.P., Roy S.M., Phys. Rev. D, 1983, 28, 2669.
19. Zaitcev G.A., Z. Eksp. Teor. Fiz., 1955, 28, 530 (in Russian).
20. Feynman R.P., Gell-Mann M., Phys. Rev., 1958, 109, 193.
21. Gel’fand I.M., Minlos P.A., Shapiro Z.Ya., Representations of the rotation and Lorentz groups and
their application, Pergamon Press, Oxford, 1963.
22. Fock V.A., Foundations of quantum mechanics, Nauka, Moscow, 1976.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 517–520.

Конформная симметрия и точные решения
нелинейных полевых уравнений
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ

Conformally and translationally invariant solutions are obtained for the systems of
partially differential equations describing interaction of scalar, spinor and vector fields.
Formulas of generating new solutions from the known ones are presented.

1. Построение точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в
частных производных (НДУЧП) является важной и, как правило, трудной за-
дачей. Особый интерес представляют многомерные уравнения, поскольку реаль-
ные физические процессы происходят в трех- или четырехмерном пространстве–
времени. Известный метод обратной задачи теории рассеяния эффективно приме-
няется только к двумерным уравнениям, а его обобщение на многомерные случаи
связано с принципиальными трудностями, которые до настоящего времени не пре-
одолены.
В данной работе для получения точных решений используются симметрийные
свойства многомерных систем НДУЧП, аналогично [1–6].
2. Рассмотрим следующие системы НДУЧП:

? ?
i?? ? ?1 (??)1/3 ? ?2 ? ? = 0, 2? = ?3 ?3 ? ?2 ??, (1)

1/5
?
i?? ? ?(??)1/3 ? µ (???)(???) (2)
? = 0,

2Aµ ? ?µ (?? A? ) = ?Aµ A? A? , (3)

где ? = ?(x) — скалярное поле, x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), ? = ?(x) — четырехкомпо-
нентный спинор, ? = ?† ?0 , Aµ = Aµ (x) — векторное поле, µ, ? = 0, 1, 2, 3, ?µ —
?
матрицы Дирака [7], ?? ? ? ? ?? , ?? = ?/?x? .
Для системы уравнений (1) в [8, 9] с помощью анзатца Гейзенберга [10] получе-
ны некоторые точные решения. Отметим, что решение, приведенное в [9], получа-
ется из решения, указанного в [8], с помощью процедуры группового размножения
[2, 3] с использованием инвариантности системы (1) относительно трансляций и
масштабных преобразований.
Уравнение (2) представляет собой конформно инвариантное обобщение урав-
нения Дирака с нелинейностью Гюрши, а система (3) — обобщение уравнений
Максвелла для вектора-потенциала Aµ .
Непосредственной проверкой можно убедиться, что системы (1)–(3) инвариан-
тны относительно пятнадцатипараметрической конформной группы C(1, 3).

Украинский физический журнал, 1985, 30, № 5, С. 787–789.
518 В.И. Фущич, В.М. Штелень

Чисто конформные преобразования имеют вид
xµ = (xµ ? cµ x2 )/?(x), ?(x) = 1 ? 2cx + c2 x2 , cx ? c? x? ,
c2 ? c? c? , ? (x ) = ?(x)(1 ? ?c?x)?(x), (4)
? (x ) = ?(x)?(x),
Aµ (x ) = ?(x)gµ? + 2(xµ c? ? x? cµ + 2cxcµ x? ? x2 cµ c? ? c2 xµ x? ) A? (x),

где cµ — произвольные постоянные, gµ? = diag {1, ?1, ?1, ?1}.
Решения систем (1)–(3) ищем в виде [1]
Aµ (x) = aµ? (x)b? (?). (5)
?(x) = f (x)u(?), ?(x) = M (x)?(?),
Скалярную функцию f (x), матрицы 4 ? 4 M (x), a(x) = {aµ? (x)} и новые
?
переменные ? = ?(x) определим из условий [2, 3]
? ?
f
Qconf ? M ? = 0, (6)
a
?
где
? ?
2cx 0 0
= 2(cx)x? ? x2 c? + ? 0 ?, (7)
2cx + ?c?x 0
Qconf
2(cx + Sµ? cµ x? )
0 0
Sµ? = ?S?µ — матрицы 4 ? 4, реализующие неприводимое представление
D(1/2, 1/2) алгебры Ли группы SO(1, 3) [6].
Можно убедиться, что условия (6) удовлетворяются следующими функциями:
1 ?x gµ? xµ x?
?2 ?
f (x) = , M (x) = , aµ? = ,
x? x? (x? x? )2 x? x? (x x? )2
(8)
?x
? ? = const.
?= ? ,
x x?
Подстановка конформно инвариантных анзатцов (5), (8) в системы (1)–(3) при-
водит к следующим системам обыкновенных дифференциальных уравнений соо-
тветственно:
? = i ?1 (??)1/3 + ?2 u (? ? ?? )?1 ???, u = (?? ? ? )?1 ?3 u3 ? ?2 ?? , (9)
? ? ?
?

?
? = i(? ? ?? )?1 (??) ?(??)1/3 + µ(???? ? ? )1/5 ?,
? ? ?? (10)

? ? ?? ?µ ? ?µ (?? ?? ) = ?bµ b? b? , (11)
b b

где дифференцирование произведено по ?.
Простейшими решениями этих систем будут соответственно функции
u = c = const, ? = exp{i?(??)?}?,
(12)
?1
? = (? ?? )
? 1/3 3
?1 (??)
? + ?2 c , ?3 c = ?2 ??,
?

? = (? ? ?? )?1 ?[??)1/3 + µ(? 2 (? ? ?? )2 ??)1/5 , (13)
? = exp{i?(??)?}?, ? ?
Конформная симметрия и точные решения нелинейных полевых уравнений 519

 << Предыдущая стр. 117(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>