<< Предыдущая стр. 119(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
? ? ? ?
(??)2 + (??4 ?)2 ? (??µ? ?)?? µ? ? = 0,
? ? ? ?
(??)2 ? (??4 ?)2 ? (??4 ?µ ?)??4 ?µ ? = 0, (6)
? ? ? ?
(??µ ?)?? µ ? ? (??4 ?µ ?)??4 ? µ ? = 0,
the general solution of (5) can be written as (4). One can directly verify that eq.(1)
with functions (4) is invariant under transformations (2).
Theorem 2. Eq.(1) is invariant under the conformal group C(1, 3) if and only if
functions F1 , . . . , F8 have the form (4) with k = ?3/2.
Proof. Since the conformal group C(1, 3) contains the extended Poincar? group e
P (1, 3) = {P (1, 3), D}, we can use the result of theorem 1. Then one can make
sure that transformations (3) leave eq.(1) with functions (4) invariant when k = ?3/2
and this proves the theorem.
?
Corollary. If F7 = ?(??)1/3 and FA = 0, A = 1, . . . , 6, 8 then eq.(1) coincides with
the Dirac–G?rsey (2) one:
u
?
i?? ? ?(??)1/3 ? = 0, ? = const. (7)

In another case when F4 = ?[(??µ ?)?? µ ?]?1/3 , FB = 0, B = 1, 2, 3, 5, . . . , 8, we
? ?
obtain a conformally invariant version of the Dirac–Heisenberg equation
? ? ?
i?? + ?(??µ ?)? µ /[(??? ?)?? ? ?]1/3 ? = 0. (8)

As is well known the original Dirac–Heisenberger equation (1) is not invariant under
the conformal transformations.
Now we use the symmetry properties of eq.(8) to construct its exact solutions.
Following refs. [5, 3] we take the anzatze
?x ? ? ? x? , ? ? = const, (9)
? = ?(?x),

? = ?x/(x? x? )2 ?(?x/x? x? ), (10)

which are translationally and conformally invariant respectively. The substitution of
(9), (10) into (8) gives rise to the following system of ordinary differential equations
i??du/d? + ?(??µ u)? µ u/[(??? u)?? ? u]1/3 = 0, (11)
u u u
where u = {?(?), ? = ?x or ?(?) = ?x/x? x? }, ? = ? for ? and ? = ?? for
?. Depending on ?, there are three different cases (? is a constant spinor, ?µ =
??µ ?/[(??? ?)?? ? ?]1/3 )
? ? ?
u = eiv? ?,
Im v = 0,
(a)
?3/2
u = c + 2 z?
Re v = 0, z = Im v,
(b) ?,
3
526 W.I. Fushchych, W.M. Shtelen, R.Z. Zhdanov

Im v Re v = 0,
(c) u = (f1 + if2 )?, v = v1 + iv2 ,
f1 = ± (w ? 2v)1/2 + (w + 2v)1/2 ,
f2 = ? (w ? 2v)1/2 ? (w + 2v)1/2 , (12)
dv 1/2
w = c1 ? 2(v2 /v1 )v 2
= 2v1 ? + c2 , .
2/3
[c1 ? 2(v2 /v1 )v 2 ]
Remark. Let us show that the conformally invariant ansatz (10) can be obtained
from (9) by applying the procedure of generation of solutions if one uses the conformal
transformations (3). As is shown in ref. [3] the formula of generating solutions in this
case has the form
?new (x) = (1 ? ?x?c)/? 2 (x) ?old (x ),
(13)
xµ = (xµ ? cµ x2 )/?(x), ?(x) = 1 ? 2cx + c2 x2 .
Applying (13) with c0 = 1, c1 = c2 = c3 = 0 to (9) and then changing x0 in x0 + 1 at
the expense of translation invariance we obtain the ansatz (10).
Now let us use the procedure of generating solutions to the conformally invariant
one (10), for the case (12a),
?(x) = ?x/(x? x? )2 exp(?i??x/x? x? )?,
(14)
?µ = ??µ ?/[(??? ?)?? ? ?]1/3 .
? ? ?
Having done transformations of translations we obtain from (14) another family of
solutions of eq.(8)
exp ?i?(?x + ?a)/ x2 + 2ax + a2
?(x) = (?x + ?a)/ x2 + 2ax + a2 ,
(15)
?µ = ??µ ?/[(??? ?)?? ? ?]1/3 .
? ? ?
It is a remarkable family of solutions, because it is invariant within the transformati-
ons of the parameters under the full 15-parameter conformal group. Indeed, it is
obvious that (15) is invariant under displacements. Let us also show that it cannot be
generated by the procedure (13). Applying (13) to the solution (15) we obtain
?x ? ?cx2 /?(x) + ?a
1 ? ?x?c
?
?(x) =
? 2 (x) [a2 + 2 (ax ? acx2 + x2 ) /?(x)]2
(16)
?x ? ?cx2 /?(x) + ?a
? exp ?i? 2 ?.
a + 2 (ax ? acx2 + x2 ) /?(x)

One can make sure that (16) can be rewritten in the form (15) only with the new
parameters
aµ > aµ = ? aµ ? cµ a2 /?(a, c), ? > ? = (1 ? ?c?a)/? 2 (a, c),
? ?
(17)
? ? ? ? 1/3
?
?µ > ?µ = ??µ ? [(??? ?)(?? ? ?)] .
??
? ? ?

It is also clear that (15) cannot be generated by the remaining transformations of the
conformal group.
In conclusion let us note that we have used symmetry to obtain exact solutions
of nonlinear Dirac equation [3], nonlinear equations of quantum electrodynamics [6],
Yang–Mills equations [7] and some scalar nonlinear equations [8, 9].
On the new conformally invariant equations for spinor fields 527

1. Heisenberg W., Introduction to the unified field theory of elementary particles, London, Interscience,
1966.
2. G?rsey F., Nuovo Cimento, 1956, 3, 988.
u
3. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A, 1983, 16, 271.
4. Finkelstein R., Fronsdal C., Kaust P., Phys. Rev., 1956, 103, 5.
5. Fushchych W.I., in: Algebraic-theoretical studies in mathematical physics, Kiev, Mathematical Insti-
tute, 1981, 6.
6. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Phys. Lett. B, 1983, 128, 215.
7. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Lett. Nuovo Cimento, 1983, 38, 37.
8. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Lett. Nuovo Cimento, 1982, 34, 498.
9. Fushchych W.I., Serov N.I., J. Phys. A, 1983, 16, 3645.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 528–537.

О симметрии нелинейных уравнений
электродинамики
В.И. ФУЩИЧ, И.М. ЦИФРА
Выведены конформно-инвариантные и пуанкаре-инвариантные нелинейные урав-
нения электродинамики. Построены нелинейные конформно-инвариантные уравне-
ния для векторного и спинорного полей.

Conformal-invariant and Poincar?-invariant nonlinear electrodynamics equations are
e
derived. Nonlinear conformal-invariant equations for vector and spinor fields are also
constructed.

Введение
Известно, что одних уравнений Максвелла
?Fµ? ?F?? ?F?µ
L1 = + + = 0,
?x? ?xµ ?x?
(0.1)
? ? ?
? Hµ? ? H?? ? H?µ
L2 = + + =0
?x? ?xµ ?x?
недостаточно, чтобы определить электромагнитное поле в различных средах. Урав-
?
нения (0.1) записаны в общепринятых обозначениях, т.е. Hµ? = ? 1 ?µ??? H ?? ,
2
?
Fµ? = ? 1 ?µ??? F ?? ,
2
? ?
0 E1 E2 E3
? ?E1 ?B3 B2 ?
0
(Fµ? ) = ? ?,
? ?E2 B3 ?B1 ?
0
?E3 ?B2 B1 0
? ? (0.2)
0 ?D1 ?D2 ?D3
?D ?H3 H2 ?
0
(H µ? ) = ? 1 ?.
? D2 H3 ?H1 ?
0
D3 ?H2 H1 0
Система (0.1) в терминах напряженностей E, H и индукции D, B имеет вид
?D ?B
= rot H, = ?rot E, div D = 0, div B = 0.
?t ?t
Для описания электромагнитного поля в конкретных средах к уравнениям (0.1)
добавляют дополнительные соотношения (условия), которые называются матери-
альными уравнениями или уравнениями связи (см., например, [1]). Эти дополни-
тельные условия чаще всего являются линейными или нелинейными соотношени-
ями на D, B, E и H. Явный вид этих соотношений зависит от свойств среды
и, как правило, слишком произвольный. Как будет показано ниже, явный вид
материальных уравнений может быть существенно ограничен, если использовать
Теоретическая и математическая физика, 1985, 64, № 1, С. 41–50.
О симметрии нелинейных уравнений электродинамики 529

принцип симметрии в качестве правила отбора этих дополнительных соотноше-
ний. Так, например, требование конформной инвариантности сильно сужает класс
допустимых материальных уравнений.
Симметрийные свойства уравнений Максвелла в вакууме подробно исследова-
ны Лоренцем, Пуанкаре, Эйнштейном, Канингхемом и Бейтменом.
Максимальной в смысле Ли [2] локальной группой инвариантности линейных
уравнений для электромагнитного поля в вакууме при отсутствии зарядов явля-
ется 16-параметрическая группа, содержащая в качестве подгруппы 15-парамет-
рическую конформную группу C(1, 3) (современное изложение этого вопроса см.,
например, в [3]).
Симметрийные свойства уравнений (0.1) совместно с нелинейными материаль-
ными уравнениями совершенно не изучены [4]. Этой задаче посвящена настоящая
работа. В частности, описаны нелинейные дополнительные условия на D, B, E H,
при которых система (0.1) совместно с материальными уравнениями инвариантна
относительно группы Пуанкаре P (1, 3) и конформной группы C(1, 3). Предложе-
ны нелинейные конформно-инвариантные уравнения для векторного и спинорно-
го полей. Получено новое нелинейное конформно-инвариантное дополнительное
условие типа Лоренца на вектор-потенциал.

1. Симметрия уравнений (0.1)
Существенным отличием (0.1) от уравнений Максвелла в вакууме является то,
что (0.1) — сильно недоопределенная система уравнений первого порядка для че-
тырех векторов D, B, E и H. По этой причине следует ожидать, что система
(0.1) будет иметь более широкую симметрию, чем уравнения Максвелла в вакуу-
ме. Для сравнения напомним, что уравнения Максвелла в вакууме представляют
собой переопределенную систему восьми уравнений из двух векторов E и H.
Симметрийные свойства уравнений (0.1) устанавливаются следующим утвер-
ждением.
Теорема 1. Алгеброй инвариантности системы (0.1) является бесконечномер-
ная алгебра, любой элемент которой задается операторами (или их линей-
ными комбинациями)

? ? ?
X1 = ? µ (x) (1.1)
+ ?Fµ? + ?Hµ? ,
?
?
?xµ ?Fµ? ? Hµ?

? ? ? ?
? F01
X2 = Fµ? + F02 + F03 +
?Fµ? ?F01 ?F02 ?F03
(1.2)
? ? ?
+F12 + F13 + F23 ,
?F12 ?F13 ?F23

? ? ? ?
? ? ? ?
? H01
X3 = Hµ? + H02 + H03 +
? ? ? ?
? Hµ? ? H01 ? H02 ? H03
(1.3)
? ? ?
? ? ?
+H12 + H13 + H23 ,
? ? ?
? H12 ? H13 ? H23
530 В.И. Фущич, И.М. Цифра

? ? ? ?
? F01
X4 = Fµ? + F02 + F03 +
? ? ? ?
? Hµ? ? H01 ? H02 ? H03
(1.4)
? ? ?
+F12 + F13 + F23 ,
? ? ?
? H12 ? H13 ? H23

? ? ? ?
? ? ? ?
? H01
X5 = Hµ? + H02 + H03 +
?Fµ? ?F01 ?F02 ?F03
(1.5)
 << Предыдущая стр. 119(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>