<< Предыдущая

стр. 12
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
такое представление для f? : f? = xa ?? t, , , , , , ··· , ··· , где ?? —
x2 x1 x2 x1 x2 x 1 x 2
????
произвольные дифференцируемые функции.
50 В.И. Фущич, Ю.Н. Сегеда, Г.А. Редченко

Результат этого раздела сформулируем в виде утверждения.
Теорема 1. Для того, чтобы уравнение (2 ) было инвариантным относитель-
но масштабного преобразования координат, необходимо и достаточно, чтобы
правые части уравнений удовлетворяли условиям (9), где F1 и F2 — произволь-
ные дифференцируемые функции.
3. Пусть задано масштабное преобразование времени
(3IV )
t = bt, x1 = x1 , x2 = x2 ,
b — вещественный параметр.
?
Согласно (4) для оператора X имеем выражение
? ? ? ? ?
?
X = t ? x1 ? x2 ? 2?1 ? 2?2 ?
? ? x x
?t ? x1
? ? x2
? ? x1
? ? x2
?
? ? (4) ? (4) ?
··· ···
?3 x 1 ··· ? 3 x 2 ··· ? 4x1 ? 4x2 ,
(4) (4)
?x1 ?x2
? x1 ? x2
а в качестве условия инвариантности (5) получим систему уравнений в частных
производных первого порядка:
?f? ?f? ?f? ?f? ?f?
? ? x1 ? x2 ? 2?1 ? 2?2 ?
X=t ? ? x x
?t ? x1
? ? x2
? ? x1
? ? x2
?
(10)
··· ?f? ··· ?f?
?3 x 1 ··· ? 3 x 2 ··· = ?4f? , ? = 1, 2,
? x1 ? x2
общее решение которой имеет вид
··· ···
?? x1 , x2 , x1 t, x2 t, x1 t2 , x2 t2 , x 1 t3 , x 2 t3 , f1 t4 , f2 t4 = 0, (11)
? ?? ?

где ?? — произвольные дифференцируемые функции.
Итак, мы пришли к такому результату.
Теорема 2. Для инвариантности уравнений (2 ) относительно масштабного
преобразования времени (3IV ) необходимо и достаточно, чтобы их правые ча-
сти удовлетворяли уравнениям (11), где ?? — произвольные дифференцируемые
функции.
Если уравнения (11) разрешимы относительно f1 и f2 , то
··· ···
f? = t?4 ?? x1 , x2 , x1 t, x2 t, x1 t2 , x2 t2 , x 1 t3 , x 2 t3 , (11 )
? ?? ?

т. е. уравнения (2 ) инвариантны относительно масштабного преобразования вре-
мени, если правые части уравнений — однородные по t функции порядка m = ?4 и
имеют представление (11 ), где ?? — произвольные дифференцируемые функции.
2. Проективные и обобщенные масштабные преобразования. Рассмотрим
проективные преобразования
t x1 x2
(3V )
t= , x1 = , x2 =
1 ? ?t 1 ? ?t 1 ? ?t
и обобщенные масштабные преобразования
t = e2? t, x1 = e? x1 , x2 = e? x2 , (3VI )
Инвариантные системы уравнений в обобщенной механике 51

?, ? — вещественные параметры.
Преобразования (3V ), (3VI ) образуют двухпараметрическую некоммутативную
группу Ли, которая вместе с 10-параметрической группой Галилея образует 12-
параметрическую группу.
1. Выясним, при каких условиях уравнения (2 ) инвариантны относительно пре-
образований (3V ), (3VI ). Сначала рассмотрим преобразования (3V ). Согласно (4),
имеем ?t = t2 , ?x1 = tx1 , ?x2 = tx2 , для коэффициентов ?x1 , ?x1 , . . ., согласно [5],
? ?
получаем выражения

?x1 = x1 ? x1 t, ?x2 = x2 ? x2 t, ?x1 = ?3?1 t, ?x2 = ?3?2 t,
? ? x x
? ? ? ?
··· ···
?··· = ?3?1 ? 5 x 1 t, ?··· = ?3?2 ? 5 x 2 t,
x x
x x
1 2
··· ···
(4) (4)
?x(4) = ?8 x 1 ? ?x(4) = ?8 x 2 ? 7tx2 .
7tx1 ,
1 2


Условие инвариантности (5) сводится к системе уравнений в частных производных

?f? ?f? ?f? ?f? ?f?
+ (x1 ? x1 t) + (x2 ? x2 t) ?
t2 + tx1 + tx2 ? ?
?t ?x1 ?x2 ? x1
? ? x2
?
?f? ?f? ··· ?f? ··· ?f?
(12)
?3?1 t ? 3?2 t ? (3x1 + 5t x 1 ) ··· ? (3x2 + 5t x 2 ) ··· =
x x ? ?
? x1
? ? x2
? ? x1 ? x2
···
= ?(8 x ? + 7tf? ), ? = 1, 2,

общее решение которой представимо в виде

(13)
F? (?1 , ?2 , . . . , ?10 ) = 0, ? = 1, 2,

где F? — произвольные дифференцируемые функции, а ее аргументы — первые
интегралы характеристической системы уравнений (12):

x2
x1 x2
= C2 , ?3 = x1 x1 ? 1 = C3 ,
?1 (t, x1 , x2 , . . . , f1 , f2 ) =
= C1 , ?2 =
t t t
··· 5
3 3 3
?4 = x1 x1 = C4 , ?5 = x2 x2 = C5 , ?6 = x 1 t + 3x1 x1 t = C6 ,
? ? ?
3
··· ···
?7 = x 2 t5 + 3x3 x2 t = C7 , ?8 = x 2 +
2? = C8 , (14)
x2 t
?
4 ···
?9 = f1 t7 ? 12x3 x1 t2 ? x 1 x5 t ? 4x8 x1 t3 = C9 ,
? 1?
1 1
3
4 ···
?10 = f2 t7 ? 12x3 x2 t2 ? x 2 x5 t ? 4x8 x2 t3 = C10 ,
2? 2?
2
3
C1 , . . . , C10 — произвольные постоянные.
Сформулируем результат.
Теорема 3. Для того чтобы, уравнения (2 ) были инвариантными относи-
тельно проективных преобразований (3V ), необходимо и достаточно, чтобы
функции f1 и f2 удовлетворяли уравнениям (13), где F? дифференцируемые
функции, зависящие от переменных, определяемых соотношениями (14).
2. В случае обобщенных масштабных преобразований (3VI ) ?t = 2t, ?x1 =
x1 , ?x2 = x2 . Вычисляя по известным правилам [5] коэффициенты ?x1 , ?x2 , . . .
? ?
52 В.И. Фущич, Ю.Н. Сегеда, Г.А. Редченко

?
оператора X и подставляя в (5), получаем следующее условие инвариантности
системы (2 ) относительно (3VI ):
?f? ?f? ?f? ?f? ··· ?f? ?f?
? x1 ? 3?1 ? 5 x 1 ··· + x2 ?
2t + x1 ? x
?t ?x1 ? x1
? ? x1
? ?x2
? x1
(15)
?f? ?f? ··· ?f?
?x2 ? 3?2 ? 5 x 2 ··· = ?7f? ,
? x ? = 1, 2.
? x2
? ? x2
? ? x2
Общее решение системы (15) представимо в виде

(16)
?? (?1 , ?2 , . . . , ?10 ) = 0, ? = 1, 2,

где переменные ?1 , . . . , ?10 определяются соотношениями
x2 ···
1
?3 = x3 x1 = C3 , ?4 = x5 x 1 = C4 ,
?1 = = C1 , ?2 = x1 x1 = C2 ,
? 1? 1
t
x2 (17)
= C5 , ?6 = 2 = C6 , ?7 = x2 x2 = C7 ,
7/2
?8 = x3 x2 = C8 ,
?5 = f1 t ? 2?
t
···
?9 = x5 x 2 = C9 , ?10 = f2 t7/2 = C10 ,
2

а ?1 , ?2 как обычно, предполагаются дифференцируемыми функциями.
Если уравнения (16) удается разрешить относительно f1 и f2 , то уравнения
(2 ) принимают вид

x2 2
··· x ···
f? = t?7/2 ?? 1
, x1 x1 , x3 x1 , x5 x 1 , 2 , x2 x2 , x3 x2 , x5 x 2 ,
? ?1 ? 2?
1 2
t t
где ?? — произвольные дифференцируемые функции.
Подытожим сказанное.
Теорема 4. Для того чтобы уравнения (2 ) были инвариантными относитель-
но масштабных преобразований (3VI ), необходимо и достаточно, чтобы фун-
кции f1 и f2 удовлетворяли уравнениям (16) с произвольными дифференцируе-
мыми функциями ?? .
3. Обобщенные галилеевские преобразования. Известно, что если в какой-
либо инерциальной системе отсчета выполняется равенство

(18)
xi = xi ,
? ?

то оно выполняется и во всех других инерциальных системах. Это утверждение
составляет содержание принципа относительности Галилея.
Совокупность преобразований, удовлетворяющих условию (18), очевидно, зада-
ется равенствами

(19)
xi = xi + vi t + ai ,

где ai , vi — вещественные параметры, и называются преобразованиями Галилея.
В случае системы уравнений четвертого порядка (2 ) естественно рассматри-
вать преобразования, удовлетворяющие условиям

x(4) = x(4) . (20)
Инвариантные системы уравнений в обобщенной механике 53

Интегрируя (20), получаем
x = x + a(1) t + a(2) t2 + a(3) t3 + a(0) . (21)
Преобразования (21) в случае одной пространственной координаты образуют
4-параметрическую коммутативную группу Ли, а в случае 3-пространственных ко-
ординат — 12-параметрическую группу. Они содержат, очевидно, преобразования
(19) как подгруппу. Параметры a(2) и a(3) задают преобразования к неинерциаль-
ным системам отсчета, движущимся относительно исходной с ускорениями a(2) и
a(3) .
Опишем уравнения (2 ), инвариантные относительно преобразований
x1 = x1 + a(1) t + a(2) t2 + a(3) t3 + a(0) ,
t = t,
(3VII )
(1) (2) 2 (3) 3 (0)
x2 = x2 + a t+a t +a t +a .
?
Найдем операторы X, соответствующие каждому параметру a(0) , a(1) , a(2) , a(3) в
отдельности. Из (4) имеем соответственно
? ? ? ? ? ?
? ?
X (0) = X (1) = t
+ , + + + ,
?x1 ?x2 ?x1 ?x2 ? x1
? ? x2
?
? ? ? ? ? ?
?
X (2) = t2 + + 2t + +2 + ,
?x1 ?x2 ? x1

<< Предыдущая

стр. 12
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>