<< Предыдущая

стр. 120
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ? ?
? ? ?
+H12 + H13 + H23 ,
?F12 ?F13 ?F23

где ? µ (x) — произвольные дифференцируемые функции, x = (x0 = t, x1 , x2 , x3 ),
µ, ? = 0, 3;

?Fµ? = ?Fµ? ?? ? F?? ?µ + uµ? ,
? ?
(1.6)

? ?
?Hµ? = ?Hµ? ?? ? H?? ?µ + vµ? ,
? ?
(1.7)
?
?


?? ?
?µ ?
?
?xµ , uµ? , vµ? — произвольные решения системы (0.1).
?
Доказательство. Следуя подходу Ли, векторы D, B, E, H, а значит, и компонен-
?
ты тензоров Fµ? и Hµ? рассматриваем как независимые величины. Доказательство
теоремы сводится к применению алгоритма Ли к системе (0.1). Алгоритм Ли по-
дробно описан, например в [2], и состоит в построении всех дифференциальных
операторов первого порядка

µ? ? ?
? µ? µ? ,
?
X = X + ?i µ? + ?i
?ri ? ri
?
µ? µ?
?i = Di (?Fµ? ) ? rj Di (? j ),
? µ? ?µ?
?i = Di (?Hµ? ) ? rj Di (? j ),
?


где Di — оператор полного дифференцирования [2],

?
?F?µ ? H?µ
r? ? r? ?

??µ
, ,
?x? ?x?
удовлетворяющих условиям:

?F?µ ?Fµ? ?F??
?
X + + = 0,
? ? ?xµ
?x ?x L1 = 0
L2 = 0
(1.8)
? ? ?
? H?µ ? Hµ? ? H??
?
X + + = 0.
?x? ?x? ?xµ L1 = 0
L2 = 0


Соотношения (1.8) являются, как известно, необходимым и достаточным условием
инвариантности системы (0.1).
О симметрии нелинейных уравнений электродинамики 531

? ?
Из (1.8) получаем для координат ? µ (x, F?? , H?? ), ?(x, F?? , H?? ) инфинитези-
мального оператора X систему линейных дифференциальных уравнений вида
?? µ ?? µ
= = 0,
?
?F?? ? Hik
??Fµ? ??F?µ
??F??
+ + = 0,
?x? ?xµ ?x?
??Hµ? ??H?µ
??H??
? ?
?
+ + = 0, (1.9)
?x? ?xµ ?x?
??Hµ?
??Fµ? ?
= ?? ?µk ? ?? ?µi + ?µ ??i ? ?µ ??k ,
i k k i
=
? ik
?Fik ?H
??Hµ? ??Hµ?
??Fµ? ??Fµ?
? ?
= C1 , = C2 , = C3 , = C4 ,
? ?
?Fµ? ?Fµ?
? Hµ? ? Hµ?
где C1 , C2 , C3 , C4 — константы.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что произвольные функции ? µ (x), не
?
зависящие от F?? , H?? и ?Fµ? и ?Hµ? вида (1.6), (1.7), удовлетворяют уравнениям
?
(1.9). Теорема доказана.
Из теоремы 1 получаем важное для дальнейшего следствие.
Теорема 2. Система (0.1) инвариантна относительно 20-мерной алгебры Ли
группы IGL(4, R), содержащей в качестве подалгебры алгебры Пуанкаре P (1, 3)
и алгебры Галилея G(1, 3).
Доказательство. Поскольку в теореме 1 ? µ (x) может быть произвольной функцией
от x, достаточно положить в формуле (1.1) ? µ (x) = cµ? x? + aµ , uµ? = vµ? = 0,
?
где cµ? , aµ — произвольные константы. Если cµ? = ?cµ? , то из операторов (1.1)
получаем базисные элементы алгебры Пуанкаре P (1, 3) в виде
? ?
Jµ? = xµ P? ? x? Pµ + (Sµ? ?)n (1.10)
Pµ = igµ? , ,
?x? ??n
где по n подразумевается суммирование от 1 до 12, т.е. n = 1, 12, ? — столбец
(E, B, D, H), матрицы Sµ? имеют вид
?? ?? ? ?
?
? ? ? ? ?
Sab 0 0 0 0 0 0 Sbc
? ? Sab ?? ? ?
? ?
0 ?Sbc ?
? ? ?
1
0 0 0? 0 0
Sab = ? ? , S0a = ?abc ? ?,
?0 ?? ? ?
? ?
? Sab ? ? ?
2
0 0 0 Sbc 0 0
? ?
?Sbc
? ? ? ? ? ?
0 0 0 Sab 0 0 0 (1.11)
? ? ? ? ? ?
0 ?i 0 00 0 00i
S12 = ? i 0 0 ? , S23 = ? 0 0 ?i ? , = ? 0 0 0 ?,
? ? ?
S31
?i 0 0
000 0i0
0 — нулевые 3 ? 3-матрицы.
Если положить c0µ = 0, cab = ?cba , то из (1.1) получим базисные элементы
алгебры Ли группы Галилея:
532 В.И. Фущич, И.М. Цифра

? ?
Pa = ?i
P0 = i , , a = 1, 2, 3,
?x0 ?xa
?
Jab = xa Pb ? xb Pa + Sab ?)n (1.12)
,
??n
?
Ga = tPa + (M ?)n ,
??n
где
? ?
?
? ? ?
0 Sbc 0 0
?? ??
? ?
1 0 0 0 0?
M = ?abc ? ? ? ?.
?0 ? ?
0 0 0
2
?bc
? ? ?
0 0 S 0
Аналогичным образом доказывается, что среди множества операторов вида (1.1)
содержится алгебра Ли конформной группы C(1, 3) и алгебры Ли группы Шре-
дингера Sch(1, 3).
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что совокупность генерато-
ров (1.10) и операторов
?
D = x? P ? + 2i?n ,
??n
(1.13)
?
Kµ = 2xµ D ? (x? x )Pµ + 2(x Sµ? ?)n
? ?
??n
образует базис конформной алгебры C(1, 3).
Операторы (1.12) вместе с операторами
?
D = 2x0 P0 ? xP + (?0 ?)n ,
??n
(1.14)
?
? xG,
x2 P0
A= + x0 (?0 ?)n
0
??n
где
? ?
?0
3I ? ? ?
0 0
? ? 2I ? ?
?0 ?
0 0
?0 = i ? ? ?,
?0 ?
?0
? 2I ?
0
?
? ? ? 3I
0 0 0
?
I — единичная 3 ? 3-матрица, образуют базис алгебры Sch(1, 3).
Таким образом, мы установили, что для системы (0.1) без материальных
уравнений выполняется как принцип относительности Лоренца–Пуанкаре–Эн-
штейна, так и принцип относительности Галилея.
Аналогичным свойством, как это отмечено в [5], обладает нелинейная система
уравнений Эйлера для идеальной жидкости.
Замечание. Векторы D, B, E, H при преобразованиях Галилея x0 = x0 , xa =
xa + xa x0 , преобразуются следующим образом:
D = D, H = H + [v ? D], B = B, E = E ? [v ? B]. (1.15)
О симметрии нелинейных уравнений электродинамики 533

Преобразования (1.15) задают правила пересчета величин D, B, E, H для наблю-
дателя, движущегося в инерциальной системе отсчета со скоростью v.

2. Пуанкаре-инвариантные и конформно-инвариантные
нелинейные материальные уравнения
1. Рассмотрим материальные уравнения в следующем виде:
Hµ? = ?µ? (F01 , F02 , F03 , . . . , F23 ) ? ?µ? (F ), (2.1)
где ?µ? — произвольные гладкие функции компонент тензора Fµ? , удовлетворяю-
щие условию ?µ? = ???µ , ?µµ = 0.
Теорема 3. Система уравнений (0.1), (0.2) инвариантна относительно группы
Пуанкаре тогда и только тогда, когда
? (2.2)
Hµ? = M Fµ? + N Fµ? ,
где M = M (C1 , C2 ), N = N (C1 , C2 ) — произвольные дифференцируемые фун-
кции от инвариантов электромагнитного поля
1 1
C1 = ? Fµ? F µ? = E 2 ? B 2 , C2 = ? ???µ? F ?? F µ? = B · E.
4 4
Доказательство. Поскольку в систему (0.1) входят только производные от Fµ?
?
и H?? , а в материальные уравнения (2.1) не входят производные от полей, то
для доказательства теоремы достаточно найти условия на ?µ? , при которых (2.1)
инвариантно относительно базисных элементов алгебры P (1, 3) (1.10).
Уравнение (2.1) будет пуанкаре-инвариантным, если
Pµ {H?? ? ??? (F )}|H?? =??? (F ) = 0, (2.3)
Jµ? {H?? ? ??? (F )}|H?? =??? (F ) = 0. (2.4)
Используя формулы (1.10), условия инвариантности (2.3), (2.4) запишем, в виде
системы дифференциальных уравнений первого порядка для функции ?µ?
?
{H?? ? ??? }|H?? =??? = 0. (2.5)
(Sµ? ?)n
??n

<< Предыдущая

стр. 120
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>