<< Предыдущая

стр. 121
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

B развернутой записи система (2.5) для µ = 1, ? = 2 выглядит так:
??01 ??01 ??01 ??01
? F02 ? F32 = ??02 ,
F01 + F13
?F02 ?F01 ?F32 ?F13
??02 ??02 ??02 ??02
? F02 ? F32 = ??01 ,
F01 + F13
?F02 ?F01 ?F32 ?F13
??03 ??03 ??03 ??03
? F02 ? F32
F01 + F13 = 0,
?F02 ?F01 ?F32 ?F13
??23 ??23 ??23 ??23
? F02 ? F32 = ??31 ,
F01 + F13
?F02 ?F01 ?F32 ?F13
??31 ??31 ??31 ??31
? F02 ? F32
F01 + F13 = ?23 ,
?F02 ?F01 ?F32 ?F13
??12 ??12 ??12 ??12
? F02 ? F32
F01 + F13 = 0.
?F02 ?F01 ?F32 ?F13
534 В.И. Фущич, И.М. Цифра

Аналогичную структуру имеет система (2.5) для других µ и ?. Ради экономии
места мы не приводим здесь подробную запись системы (2.5). Детальный ана-
лиз системы (2.5) дает возможность найти ее общее решение, которое задается
формулой (2.2). Теорема доказана.
В терминах B, D, E, H формула (2.2) имеет вид

D = M E + N B, H = M B ? N E. (2.6)

Если в (2.6) M = ? = const, N = µ = const, то (2.6) совместно с (0.1) совпадает с
линейными уравнениями Максвелла.
Если в (2.6) положить M = 1/L, N = BE/L,

1 + B 2 ? E 2 ? (BE)2 , (2.7)
L=

то система (0.1) совместно с (2.6) совпадает с нелинейными уравнениями для
электромагнитного поля, предложенными Борном [6] и известными в литературе
как уравнения Борна–Инфельда.
Приведем еще один конкретный пример материальных уравнений. Если поло-
жить в (2.6) M = ?, N = ?µBE, ?, µ = const, то явная структура нелинейных
материальных уравнений выглядит следующим образом:

µ2 (EH)2 µ(EH)
D =? 1+ 2 E? H,
? ? + µE 2 ? ? + µE 2
H EH
B= ?µ E.
? ? + µE 2
?

Рассмотрим материальные уравнения такого частного вида:

D = ?(E, H)E, B = µ(E, H)H. (2.8)

Структура материальных уравнений вида (2.8) широко используется для описания
распространения электромагнитного поля в реальных средах. Из теоремы 3 выте-
кает такое утверждение (используется система единиц, в которой скорость света
в вакууме c = 1).
Следствие 1. Система уравнений (0.1), (2.8) будет пуанкаре-инвариантна то-
лько тогда, когда

?(E, H) · µ(E, H) = 1. (2.9)

Следствие 2. Если B = ?(H), D = f (E, H), то в силу теоремы 3 B и D могут
быть только линейными функциями H и E, т.е.
1
D = µE, B= H (µ = const). (2.10)
µ
2. Выясним теперь вопрос о том, какие ограничения накладывает на матери-
альные уравнения (2.2) требование конформной инвариантности. Ответ на этот
вопрос дает
О симметрии нелинейных уравнений электродинамики 535

Теорема 4. Система уравнений (0.1), (2.2) инвариантна относительно кон-
формной группы C(1, 3), если

(2.11)
M = M (C1 /C2 ), N = N (C1 /C2 ),

где M , N — произвольные дифференцируемые функции, зависящие только от
отношения инвариантов C1 и C2 .
Доказательство. Требование инвариантности материальных уравнений (2.2) отно-
сительно масштабных преобразований, порождаемых оператором D (1.13), приво-
дит к тому, что функции M и N в (2.2) могут зависеть только от отношения
C1 /C2 = k. Таким образом, материальные уравнения
? (2.12)
Hµ? = M (k)Fµ? + N (k)Fµ?

инвариантны относительно масштабных преобразований. Воспользовавшись яв-
ным видом (1.13) операторов Kµ , легко убедиться, что условие

Kµ {H?? ? ??? (F )}|H?? =??? (F ) = 0,

выполняется, если имеет место (2.12). Теорема доказана.
Приведем явный вид конформно-инвариантных материальных уравнений. По-
ложим в (2.12) M = µ E 2 ? B 2 /BE, N = 0, тогда конформно-инвариантные
материальные уравнения запишутся в виде

µE 2 ? EH
µH 2
D= E, B= H.
µE 2 ? EH µH 2
Следствие 3. Нелинейные уравнения Борна–Инфельда не инвариантны отно-
сительно конформной группы C(1, 3).

3. Конформно-инвариантные нелинейные уравнения
для векторного и спиноорного полей
Хорошо известно, что линейные уравнения для векторного и спинорного полей

2Aµ ? ?µ (?? A? ) = 0, (3.1)

?µ P µ ? = 0, (3.2)

где ?µ — матрицы Дирака, ? — четырехкомпонентный спинор, инвариантны отно-
сительно конформной группы C(1, 3).
Уравнение (3.1) инвариантно еще и относительно градиентных преобразований
??
(3.3)
Aµ = Aµ + .
?xµ
Если на поле Aµ наложить условие Лоренца

(3.4)
Pµ Aµ = 0,

то система (3.1), (3.2) не будет инвариантна относительно конформных преобра-
зований. Поэтому представляет интерес описать дополнительные условия (типа
536 В.И. Фущич, И.М. Цифра

Лоренца), нелинейные добавки к уравнениям (3.1), (3.2), при которых уравнения
для полей Aµ и ? инвариантны относительно группы C(1, 3).
Базисные элементы конформной алгебры инвариантности уравнения (3.1)
имеют вид
?
Jµ? = xµ P? ? x? Pµ + Aµ PA? ? A? PAµ ,
Pµ = igµ? ,
?x?
(3.5)
?
D = x? P ? ? A? P A? , PA µ = igµ? ,
?A?
Kµ = 2xµ D ? (x? x? )Pµ + 2x? (Aµ PA? ? A? PAµ ). (3.6)

Рассмотрим нелинейное уравнение
2Aµ ? ?µ (?? A? ) = F (A? A? )Aµ , (3.7)
где F (A? A? ) — произвольная дифференцируемая функция от свертки A? A? . Спра-
ведлива следующая теорема.
Теорема 5. Система (3.7) инвариантна относительно конформной алгебры
(3.5), (3.6) только тогда, когда
F = ?A? A? , ? = const. (3.8)
Доказательство. Релятивистская инвариантность уравнения (3.7) очевидна. Рас-
смотрим вопрос, при каких F уравнение (3.7) конформно-инвариантно. Сделаем
бесконечно малые конформные преобразования xµ , A? :
xµ = [gµ? (1 ? 2Cx) ? x? Cµ ]x? , (3.9)

Aµ = [gµ? (1 ? 2Cx) + 2(xµ C? ? x? Cµ )]A? . (3.10)

Тогда уравнение (3.7) переходит в

{gµ? (1 ? 6Cx) + 2(xµ C? ? x? Cµ )}{2A? ? ? ? (?k Ak )}+
(3.11)
?F
1 ? 2Cx + + 2(xµ C? ? x? Cµ ) A = 0.
?
+F gµ? 4Cx
?u
Из (3.11) получаем, что для инвариантности уравнения (3.7) должно выполняться
следующее уравнение: (?F/?u)u = F , u = A? A? , т.е. F = ?u = ?A? A? .
С помощью алгоритма Ли [2] нами доказаны следующие утверждения.
Теорема 6. Система уравнений
?µ Aµ = (Pµ ? eAµ )Aµ = 0,
(3.12)
2Aµ ? ?µ (?? A? ) = 0
инвариантна относительно конформной алгебры с базисными элементами, за-
даваемыми формулами (3.5), и операторами
2i
Kµ = Kµ ? (3.13)
PAµ ,
e
где e — заряд частицы.
О симметрии нелинейных уравнений электродинамики 537

Теорема 7. Нелинейное уравнение Дирака
?
?µ ? µ ? + F1 (?, ?)? = 0 (3.14)
инвариантно относительно конформной группы, если
?
F1 = ?1 (? · ?)1/(3+?) , ? = const = ?3, ?1 = const,
причем генераторы группы C(1, 3) имеют вид
?
Jµ? = xµ P? ? x? Pµ + Aµ PA? ? A? PAµ + Sµ? ,
Pµ = igµ? ,
?x?
3+?
D = x? P ? ? A? P A? + (3.15)
i,
2
2i
Kµ = 2xµ D ? (x? x? )Pµ + 2x? (Aµ PA? ? A? PAµ ) + 2x? Sµ? ? PAµ ,
e
i
где Sµ? = 4 [?µ , ?? ].
Уравнения (3.7) сами по себе и с системой (3.1) инвариантны относительно
калибровочных преобразований
ia ??
Aµ = Aµ ?
? = eia?(x) ?, (3.16)
.
e ?xµ
Замечание. Нелинейная калибровка (3.12) не инвариантна относительно хоро-
шо известного представления конформной алгебры, задаваемого формулами (3.5),
(3.6). Она инвариантна относительно представления конформной алгебры, зада-
ваемого формулами (3.15). Такие представления для конформной алгебры до сих
пор не были обнаружены. Видимо, по этой причине в литературе рассматривались
более сложные нелинейные калибровки [7]
Pµ (Aµ A? A? ) = 0. (3.17)
Калибровка Флато–Баена (3.17) не инвариантна относительно конформных опе-
раторов Kµ (3.13). Она инвариантна относительно конформных операторов Kµ ,
но не инвариантна относительно градиентных преобразований (3.3). Линейное
конформно-инвариантное и калибровочно-инвариантное дополнительное условие
к уравнениям (3.1) имеет вид
Pµ (P µ P? A? ) = 0.
Вопрос о построении нелинейных уравнений, инвариантных относительно кон-
формных и градиентных преобразований, будет обсужден в другой работе.
1. Федоров Ф.И., Теория гиротропии, Минск, Наука и техника, 1976, 455 с.
2. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
3. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наукова думка, 1983,
197 с.
4. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Институт математики АН УССР, 1981, 6–28.
5. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Институт математики АН УССР, 1983, 4–23.
6. Born М., Infeld L., Proc. Roy. Soc. A, 1934, 144, № 852, 4225–4251.
7. Bayen F., Flato M., J. Math. Phys., 1976, 17, № 7, 1112–1114.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 538–556.

Нелокальная линеаризация и точные
решения некоторых уравнений
Монжа-Ампера, Дирака
В.И. ФУЩИЧ, В.А. ТЫЧИНИН, Р.З. ЖДАНОВ
Методом нелокальных преобразований линеаризованы уравнения типа Монжа–
Ампера и Дирака–Гейзенберга–Тирринга. Построены в явном виде семейства точных
решений таких уравнений. Получено общее решение двумерной нелинейной систе-
мы четырех уравнений Дирака–Гейзенберга–Тирринга. Построено общее решение
двумерно нелинейной системы Дирака–Максвелла.

Методом нелокальных преобразований [1–3] проведена линеаризация нелиней-
ных дифференциальных уравнений в частных производных типа Монжа–Ампера,
Борна–Инфельда и Дирака–Гейзенберга–Тирринга. Исследована локальная и не-
локальная симметрии двумерной нелинейной системы четырех уравнений типа
Дирака–Гейзенберга–Тирринга, построено общее решение этого уравнения. Для
двумерных уравнений квантовой электродинамики найдено общее решение.

§ 1. Введение
Уравнения Монжа–Ампера, Борна–Инфельда, Дирака–Гейзенберга–Тирринга,
Максвелла–Дирака играют важную роль в геометрии, математической и теорети-
ческой физике. Простейшее двумерное уравнение Монжа–Ампера вида
|uij | ? uxx uyy ? u2 = ?(x, y, u, u), (i, j = x, y)
xy
1

широко используется при изучении свойств выпуклых поверхностей [4, 5], при ре-

<< Предыдущая

стр. 121
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>