<< Предыдущая

стр. 122
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

шении многомерной проблемы Минковского [6], в вариационных задачах, в кван-
товой теории.
С уравнениями Монжа–Ампера часто встречаются при решении прикладных
задач, в частности, при интегрировании уравнений течения политропного газа [2]
приходится рассматривать уравнение вида
|?ij | ? ??? ?pp ? ??p = ??2 (?)P 2 (p),
2
(1)
(i, j = ?, p).
Уравнения Монжа–Ампера оказываются полезными при решении задач, связанных
с уравнениями минимальных поверхностей (Эйлера–Лагранжа), Борна–Инфельда
и другими. Уравнения вида
|uij | ? uxx uyy ? u2 = f (x, y)?(ux , uy ), (2)
(i, j = x, y)
xy

представляют самостоятельный интерес [4, 5], т.к. известные свойства решений
(2) позволяют судить о свойствах сильно эллиптических уравнений Монжа–Ам-
пера
|zij | = A(x, y, z, z )zxx + 2B(x, y, z, z )zxy + C(x, y, z, z )zyy + D(x, y, z, z ). (3)
1 1 1 1

Препринт № 85.88, Киев, Институт математики АН УССР, 1985, 28 c.
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений 539

Несмотря на обширную область приложений уравнений Монжа–Ампера, точные
решения для них найдены лишь в некоторых частных случаях. Наиболее изве-
стным методом получения общих интегралов уравнений Монжа–Ампера является
метод промежуточного интеграла в форме Монжа (Моnge) или Булла (Boole) [1].
В последние года находит распространение использование групповых свойств
уравнений для построения их точных решений [7]. Этим методом в работе [8]
получены новые точные решения уравнения
|uµ? | = 0, (4)
(µ, ? = 1, n)
с n независимыми переменными – обобщением уравнения развертывающихся по-
верхностей
uxx uyy ? u2 = 0, (5)
(n = 2).
xy

В работе [8] установлено также, что уравнение
|uµ? | = ?u?(n+2) , (? = const) (6)
обладает нетривиальной группой симметрии и, следовательно, решение может
представлять определений интерес для прикладных исследований.
Систематическое использование метода нелокальных преобразований [3] по-
зволило получить некоторые интегрируемые уравнения Монжа–Ампера и в ряде
случаев построить их точные решения. Настоящая работа посвящена изложению
полученных результатов.

§ 2. Нелокальная линеаризация уравнений
с двумя независимыми переменными
Метод промежуточного интеграла для уравнений Монжа–Ампера опирается
на предположение, что существует произвольная функция f , связывающая между
собой дифференциальные выражения u(x, y, z, z ) и v(x, y, z, z ). С одной стороны,
1 1
u и v должны допускаться данным уравнением Монжа–Ампера, с другой — u и
v должны быть решениями некоторых дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка. Методу может быть дана интерпретация в терми-
нах нелокальных преобразований.
Рассмотрим функцию u(x, y), удовлетворяющую уравнению
F (x, y, u, u) = 0. (7)
1

Уравнение (7) назовем исходным. Выполним нелокальное преобразование первого
порядка зависимой переменной [3]
u = f (v) = f [v(x, y, z, z )],
?:
1
(8)
? F (u) = F [f (v(x, y, z, z ))] = ?(x, y, z, z , z ).
1 12

Если в результате преобразования (8) уравнения (7) приходим к заданному урав-
нению Монжа–Ампера ?, то имеет место сведение уравнения ? к (7) нелокальным
преобразованием (8), т.е.

? 0. (9)
? (7)
?
540 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

Указанный подход позволяет обобщить метод промежуточного интеграла, рассма-
тривая нелокальные преобразования независимых и зависимой переменных.
Выполним преобразование переменных

x = ?x (x, y, u, u),
1
y
y = ? (x, y, u, u), (10)
?: 1
u = ?0 (x, y, u, u)
1

уравнения

? µ (x , y , u )uµ + ? 0 (x , y , u ) = 0, (11)
(µ = x, y).

Полученное уравнение имеет вид

a|uij | + buxx + duxy + cuyy + f = 0, (12)
(i, j = x, y).

Коэффициенты уравнения (12) определяются подстановкой (10) и могут быть вычи-
слены по формулам

a = ?? x [?0 , ?y ]?q,?p + ? y [?0 , ?x ]?q,?p ? ? 0 [?x , ?y ]?q,?p ;
b = ? x [?0 , ?y ]?p,Dy + ? y [?x , ?0 ]?p,Dy + ? 0 [?x , ?y ]?p,Dy ;
1 1 1


c = ? x [?0 , ?y ]Dx ,?q ? ? y [?0 , ?x ]Dx ,?q + ? 0 [?x , ?y ]Dx ,?q ;
1 1 1


d = ? x [?0 , ?y ]Dy ,?q ? [?0 , ?y ]?p,Dx ? ? y [?0 , ?x ]?q,Dy ? [?0 , ?x ]?p,Dx +
1 1 1 1


(13)
+? 0 [?x , ?y ]?q,Dy ? [?x , ?y ]?p,Dx ;
1 1


f = ? x [?0 , ?y ]?y,Dx ? uy [?0 , ?y ]?u,?x ? ? y [?x , ?0 ]?y,Dx ? uy [?0 , ?x ]?u,?x ] +
1 1


+? 0 [?x , ?y ]Dx ,?y ? uy [?x , ?y ]?u,?x ;
1


[?? , ?? ]?µ,?? ? ?? ?? ? ?? ?? ; Dµ ? ?µ + uµ ?u;
1
µ? ?µ
[?? , ?? ]?µ,D? ? ?? D? ?? ? D? ?? · ?? ; q ? uy , p ? ux .
1 1
1
µ µ

Найдем нелокальное преобразование переменных первого порядка линейное по
всем переменным

? : xi = ?(x, y, u, u) = ?iµ uµ + ?j xj ,
i
i, j = 0, 1, 2;
1 (14)
x0 ? u, ?iµ , ?j = const,
i
µ = 1, 2,
которое осуществляет приведение уравнения

(15)
ux + uy = 0

к уравнению Монжа–Ампера (5). Определитель преобразования (14) имеет вид

Dx ?x Dx ?y
= [?x , ?y ]Dx ,Dy = 0,
?=
Dy ?x Dy ?y
? = (uxµ ?1µ + ?0 ux + ?x )(uyµ ?2µ + ?0 uy + ?y )?
1 1 2 2


?(uxµ ?2µ + ?0 ux + ?x )(uyµ ?1µ + ?0 uy + ?y ),
2 2 1 1
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений 541

а производные u вычисляем по формулам
1

[?0 , ?y ]Dx ,Dy [?x , ?0 ]Dx ,Dy
ux = , uy = .
[?x , ?y ]Dx ,Dy [?x , ?y ]Dx ,Dy
Уравнение (15) в новых обозначениях может быть записано следующим образом:

Dx ?0 Dx ?y Dx ?x Dx ?0
(16)
+ = 0.
Dy ?0 Dy ?y Dy ?x Dy ?0

Условия для коэффициентов преобразования ? найдем, потребовав, чтобы в ре-
зультате получалось уравнение (5), т.е. решая определяющее соотношение

? 0. (17)
? (15) = (16)
(5) (5)

Запишем уравнение (16) иначе
[?0 , ?y ]Dx ,Dy ? [?0 , ?x ]Dx ,Dy = [?0 , ?y ? ?x ]Dx ,Dy = 0.
Теперь уравнение (17) принимает вид

[?0 , ?y ? ?x ]Dx ,Dy ? 0. (18)
uxx uyy =u2
xy


Расщепляя (18) по степеням производных второго порядка, получаем недоопреде-
ленную систему уравнений для пятнадцати коэффициентов
y
?0x (?0 ? ?0 ) = ?0 (?yx ? ?xx ),
x 0

?0x (?y ? ?y ) = ?y (?yx ? ?xx ),
y x 0

?x (?yx ? ?xx ) + ?0y (?y ? ?y ) = ?y (?yy ? ?xy ) + ?0x (?x ? ?x ),
0 y x 0 y x
(A)
y
?0y (?0 ? ?0 ) = ?0 (?yy ? ?xy ),
x 0
y
?x (?0 ? ?0 ) = ?0 (?x ? ?x ),
0 x 0 y x
y
?x (?y ? ?y ) = ?0 (?x ? ?x ).
0 y x y x


Полагая k = ?yx ? ?xx , ?0x = 0, ?0y = 0, ?0 , ?y = 0, приходим к соотношениям
0 0


?y ? ?0 = k?0 (?0x )?1 , ?y ? ?y = k?y (?0x )?1 ,
0 x 0 y x 0

?yy ? ?xy = k?0y (?0x )?1 , ?x ? ?x = k?x (?0x )?1 .
y x 0


Решению исходного уравнения (15) u = ?(x ? y ), (? — произвольная функция),
отвечает уравнение
?0x ux + ?0y uy + ?0 u + ?x x + ?y y = ? [(?xx ? ?xy )ux +
0 0 0

y
+(?xy ? ?yy )uy + (?0 ? ?0 )u + (?x ? ?x )x + (?y ? ?y )y .
x x y x x


Таким образом всякое решение последнего уравнения, коэффициенты которого
удовлетворяют системе (А), является в то же время решением уравнения Монжа–
Ампера (5).
Если в исходном уравнении (15) оставить одно слагаемое, т.е. положить
uy = 0,
542 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

то соответствующую систему уравнений для коэффициентов преобразования ? ,
обеспечивающих получение уравнения (5), найдем из (A) при ?y = 0, (?yµ = 0,
y
?j = 0)

?0x ?0 = ?0 ?xx ,
x 0
?0x ?y = ?y ?xx ,
x 0

?x ?xx + ?0y ?y = ?y ?xy + ?0x ?x ,
0 x 0 x
(Б)
?0y ?0
x
?0 ?xy ,
0 0x 0x 0x 0x
= ?x ?0 = ?0 ?x , ?x ?y = ?y ?x .

При ?0x = 1, ?x = 1, ?yx = 1 и остальных нулевых значениях коэффициентов
y

<< Предыдущая

стр. 122
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>