<< Предыдущая

стр. 123
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


получаем подстановку, удовлетворяющую системе (Б). К найденной только что
подстановке вернемся несколько позднее.
Замечание. Некоторые решения уравнения (5) можем найти методом разделения
переменных, полагая u = ?(x)?(y). При этом получаем два обыкновенных диффе-
ренциальных уравнения, определяющих ? и ?:
(? )2
??
= ?2.
=
2
(? ) ??
В случае ? = ±1 находим решение
(ci = const, i = 1, 4).
u = c3 c4 exp[c1 x + c2 y],
При ? = ±1 решение имеет вид
1/(? 2 ?1)
?2 ? 1 c3 y + c4
[c3 y + c4 ] ?? ?2
u= .
?2 c1 x + c2
Рассмотрим уравнение
(19)
uy = ?(x , y , u , ux ).
Это соответствует уравнению (11) с ? y = 1, ? x = ?p = 0, ? 0 = ?. Полученное на
стр. 9 нелокальное преобразование переменных
(20)
?: x = uy , y = x, u = ux
выполним в уравнении (19). Это дает следующее уравнение Монжа–Ампера:
|uij | = uyy ?(uy , x, ux , uxy · u?1 ) (i, j = x, y). (21)
yy

Рассмотрим несколько частных случаев уравнения (21).
1) Полагая в (19) ? ? 0, приходим к уравнению развертывающихся поверхно-
стей (5)
|uij | = 0, (5)
(i, j = x, y).
Уравнение (19) uy = 0 имеет решением произвольную функцию переменной x :
u = f (x ). Соответствующее решение уравнения (5) находим, заменяя в последнем
переменные в соответствии с (20). Это дает уравнение первого порядка
ux = f (uy ),
в котором f — произвольная функция.
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений 543

Таким образом всякое ДУЧП первого порядка, не содержащею явно независи-
мых переменных, имеет решения, удовлетворяющие (5).
Приведем несколько примеров таких решений.
Известно [10], что одним из решений уравнения
u2 + u2 = 1
x y

является функция

u=? ?·x+ 1 ? ?2 · y + ? , (?, ? = const),

где ? — произвольная функция. Проверка показывает, что эта функция u удовле-
творяет уравнению (5).
v
Решение u = 2 xy уравнения
(22)
ux uy = 1
также удовлетворяет (5).
Уравнение
1/2
ux = a?1 c ? bu2
y

имеет решением функцию [9]
1/2
u = c1/2 a?1 (x ? A)2 + b?1 (y ? B)2 .
A, B, a, b, c — произвольные постоянные. Эта функция также удовлетворяет
уравнению (5). Можно привести много других примеров подобного рода.
2) Значению ? = 1 соответствует уравнение
|uij | = uyy , (23)
(i, j = x, y)
(оно получается из uy = 1 подстановкой (20)). Решение исходного уравнения
известно
u = y + f (x ).
Здесь f — произвольная функция. Таким образом всякое решение уравнения
ux = x + f (uy )
в то же время является решением уравнения (23).
3) При ? = ux в (19) получаем уравнение uy ? ux = 0. Его решением является
функция u = f (x ? y ). Решения уравнения
|uij | = uxy , (24)
(i, j = x, y)
находим, интегрируя уравнение первого порядка
ux = f (uy ? x).
4) Полагая ? = (ux )?1 , получаем уравнение
|uij | = u2 u?1 , (25)
(uxy = 0, uyy = 0),
yy xy
544 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

что соответствует исходному уравнению

ux · uy = 1. (22)

Решения последнего могут быть получены методом, описанным в [10], и опреде-
ляются соотношениями
122 1
y = µ2 + ? (?),
x= µ?,
2 2
u = µ ? + ?? (?) ? ?(?).
2


Заменяя в последних переменные x , y , u на uy , x, ux , соответственно, и исклю-
чая параметры µ и ?, приходим к решениям уравнения (25).
5) Отметим, что исходное уравнение uy = ?(x , u ) подстановка (20) приводит
к виду

|uij | = uyy ?(ux , uy ). (26)

Перечень примеров можно продолжить.
Преобразование (20), как следует из (19) и (21), меняет порядок производных.
Вместе с тем, по виду оно напоминает известное преобразование Эйлера [9]:

x = ?? ,
(27)
? : y = y, (??? = 0),
u = ??? ? ?,

относящееся к контактным преобразованиям. При преобразовании (27) произво-
дные изменяются по закону
?1
uy = ??y ,
ux = ?, ux x = ??? ,
(28)
?1
ux y = ???y ? ?1 ??, uy y = ?|?µ? |??? , (µ? = ?, y).

Это позволяет установить соответствие для некоторых уравнений второго порядка
и их решений.
1) Для исходного волнового уравнения ux x ? uy y = 0 получаем уравнение
Монжа–Ампера

|?µ? | = ?1, (29)
(µ, ? = ?, y).

Решению исходного u = ?(x + y ) + ?(x ? y ) при этом отвечает решение, опре-
деляемое системой
? = ? (x + y) + ? (x ? y),
y = y,
? = x [? (x + y) + ? (x ? y)] ? ?(x + y) ? ?(x ? y),

в которой функции ? и ? произвольны. Решение уравнения (29) получаем исклю-
чив из уравнений системы x.
2) Исходя из уравнений

(30а )
uyy = f (y, ux )uxx ,

(30б )
uyy = f (y, uy )uxx ,
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений 545

получаем соответственно уравнения
?|?µ? | = f (y, ?), (31a )
(µ, ? = ?, y),

?|?µ? | = f (?? , ??y ). (31б )

Преобразованием Лежандра [10]
? = zµ , y = z? ,
?:
? = µzµ + ?z? ? z,
? ? |zkl | = 0,
?? = µ, ?y = ?, (l, k = µ, ?),
??? = ? ?1 z?? , ??y = ?? ?1 zµ? , ?yy = ? ?1 zµµ .

уравнений (31а ), (31б ) получаем соответственно
?|zkl | = f ?1 (zµ , z? ), (32a )

?|zkl | = f ?1 (µ, ??). (32б )

3) Преобразование Эйлера уравнения
uyy = f (x, u, ux )uxx
дает уравнение
?|?µ? | = f (?? , ??? ? ?, ?), (µ, ? = ?, y).
В частности, из уравнения
uyy = f (xux ? u)uxx
получаем следующее уравнение Монжа–Ампера:
?|?µ? | = f (?).
Если же исходить из линейного уравнения
uyy = f (x, y)uxx + ??(x, y),
находим
|?µ? | = ?.
Замечание. К числу уравнений (30а ), (30б ) относятся многие широко известные
уравнения: Чаплыгина [11], [12]
uyy = ?K(y)uxx ,
уравнение колебаний нелинейной струны [2]
uyy = F 2 (ux )uxx .
Преобразование Лежандра преобразует последнее в линейное, а преобразование
Эйлера связывает с уравнением Монжа–Ампера
?|?µ? | = F 2 (?).
546 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

Уравнение
uyy = ?yuxx
подробно исследовано в книге [12].
Известные решения перечисленных уравнений позволяют с помощью преобра-
зования Лежандра построить решения соответствующих уравнений Монжа–Ам-
пера (см. табл. 1).
Значительный интерес для приложений представляет уравнение
2
??? ?yy ? ??y = 1 + ?? + ?y
2 2 2
(33)
.
Особенно часто оно встречается в теории выпуклых поверхностей. Преобразование
Эйлера связывает (33) с исходным уравнением
2
?uyy = 1 + x2 + u2 (34)
uxx .
y

Алгебру Ли инвариантности уравнения (34) определяем обычным методом
С. Ли [11]. Полный набор операторов алгебры симметрии имеет вид
X1 = 1 + x2 ?x + xu?u ,
(35)
X 2 = ?y , X3 = x?u , X4 = ?u .
Инвариант преобразования, соответствующий оператору X1 ,
1/2
u?1 ,
J = 1 + x2
позволяет указать, например, решение (34)
v
1/2
(i = ?1),
u = iy 1 + x2 (36)
+ ?(x),
где ? — произвольная функция. Кроме того, очевидно, решением (34) является
функция
(37)
u = Axy + Bx + Cy + D,
A, B, C, D — произвольные постоянные. Преобразование Эйлера этих решений
дает следующие промежуточные интегралы уранения (33)

??? ? ? = iy 2 (38)
1 + ?? + ?(?? ),

??? ? ? = Ay?? + B?? + Cy + D (39)

и позволяет найти некоторые решения уравнения (33).
Положим, в частности, в (38) ? ? 0. Тогда при ?? = 0 находим решение
? = ?iy, при ?? = 1 решение имеет вид
v
? = ? + i 2y.
При ?? = y функция

? = ?y ? iy 1 + y2
также удовлетворяет уравнению (33).
Таблица 1

№ Исходное Уравнение, полученное Уравнение, полученное
п/п уравнение преобразованием Эйлера преобразованием Лежандра
1. uyy = F (x, y)uxx |?µ? | = F (?? , y), (µ, ? = ?, y) ??? = F (?? , ?? )???
2. uyy = f (ux )uxx |?µ? | = f (?) ??? = f (?)???
?1
3. uyy = f (ux /uy )uxx ??? = f (?/?)???
|?µ? | = f (???y )
4. uyy = f (y)uxx |?µ? | = f (y) ??? = f (?? )???
?1
5. uxx = uy uyy ??? = ????
|?µ? | = ??y
n n n(? + ?)
6. uxy + (ux + uy ) = 0 ??y = (? ? ?y )??? ??? = |?ij |
x+y ?? ? y ?? + ??
7. uxy = f (xux ? u) ??? = ?f (?)??? ??? = ?f (? ? ??? )|?ij |

<< Предыдущая

стр. 123
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>