<< Предыдущая

стр. 124
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

8. uxy = f (xux + yuy ? u) ??y = ?f (? ? y?y )??? ??? = ?f (?)|?ij |
2
9. uxx uyy = 1 |?ij |2 = ??? ???
|?µ? | = ???
?4ux ?4?
10. uxx ? uyy = |?µ? = 1 + 4?(?? + y)?1 ??? ??? ? ??? = |?ij |
x+y ?? + ??
?1 ?1
11. uxx + uyy = ?ux x?1 |?µ? | = ?(??? ??? + 1) ??? + ??? = ???? |?ij |
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений




2 2 2
12. u2 = 4?(x, y)ux uy
xy ??y = ?4?(?? , y)??y ??? ??? = 4?(?? , ?? )??|?ij |2
547
548 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

С другой стороны, для уравнения (33) известно решение [1]
1/2
? = 1 ? (? ? a)2 ? (y ? b)2 + c.

Так как преобразование Эйлера связывает уравнения (33) и (34), то решение по-
следнего может быть найдено из соотношений
?1
1/2
x = (? ? a) 1 ? (? ? a)2 ? (y ? b)2 +c ,
y = y, u = ?x.

После исключения ? находим следующее решение, заданное в неявной форме:
? ?
? ?
1/2
2
xu ? a
?1
x ?1 (xu ? a) ? a = x 1? ? a ? (y ? b)
2 2
+c .
? ?
x2 ? 1

4) Преобразованием Эйлера уравнения

(40)
uyy = f (x, y, u, ux , uy )uxx

получаем уравнение Монжа–Ампера

?|?µ? | = f (?? , y, ??? ? ?, ?, ??y ). (41)

Таким образом, для построения точных решений уравнений типа (41) следует
найти точные решения соответствующих уравнений (40) и обратно.
5) Выполняя преобразование Эйлера уравнения

uy y = ?(x , y , u , ux , uy )

получаем

?|?µ? | = ??? ?(?? , y, ??? ? ?, ?, ??y ).

6) Уравнение

uy y = ?(x , y , u , ux , uy )ux y

это же преобразование ставит в соответствие уравнение

|?µ? | = ??y ?.

7) Исходя из уравнения

uyy = ?(x, y, u, u)uxx + ??(x, y, u, u),
1 1

где ? — произвольный параметр, находим уравнение

?|?µ? | = ???? ? + ?.

8) Выполним преобразование Эйлера (27) уравнения Борна–Инфельда [3], [10]

1 ? u2 uxx + 2ux uy uxy ? 1 + u2 uyy = 0. (Б–И)
y x
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений 549

Ему отвечает такое уравнение Монжа–Ампера:
1 + ? 2 |?µ? | = 2??y ??y ? ?y + 1.
2
(42)
Некоторые решения уравнения Борна–Инфельда известны, известно также, что
преобразование Лежандра сводит (Б–И) к линейному [10]. Из сказанного ясен
метод получения решений уравнения (42) по соответствующим решениям уравне-
ния (Б–И).
Нелокальную линеаризацию можно осуществлять исходя из исследуемого не-
линейного уравнения [3].
Пусть дано уравнение [3]
zxy ? |zij | = 0, (24)
(i, j = x, y).
Найдем нелокальную подстановку ? , сводящую (24) к волновому
(43)
u?? = 0,

? 0, (44)
? (24)
(43)

т.е. многообразие задано уравнением (43) и его дифференциальными следствиями.
Искомую подстановку разыскиваем среди преобразований, линейных по u и u:
1

xi = ?i (?, ?, u, u) = ?iµ uµ + ? i u + ? i ,
?:
1 (45)
(x ? u, x ? x, x ? y, µ = ?, ?, i = 0, 1, 2).
0 1 2


Решение поставленной задачи нелокальной линеаризации [3] обеспечивает под-
становка
z = ?? + ?u? + ?u? ? u + c1 ,
(45а )
(ci = const),
x = u? + ? + c2 ,
?:
y = u? + ? + c3 , (i = 1, 3).
При этом значения производных на многообразии вычисляем по формулам
? ? u?? u?? ? 1 = 0,
zx = ?, zy = ?,
(45б )
?1
zxy = ? ?1 , zyy = ? ?1 u?? .
zxx = ? u?? ,
Решение волнового уравнения u = ?(?) + ?(?) позволяет указать соответствующее
решение уравнения (24), которое находим, исключая ? и ? из соотношений
z = ?? + ?? + ?? ? ? ? ? + c1 ,
x = ? + ? + c2 ,
y = ? + ? + c3 .
Уравнение
|zij | + y ?1 zy zxx + zyy + y ?1 (zx + x)zxy + y ?1 zy = 0 (46)
также может быть приведено к линейному [3]
wyy + ?y ?1 w?y + y ?1 wy = 0. (47)
550 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

Преобразование ? получаем, решая определяющее соотношение

? 0. (48)
? (46)
(47)

Линеаризующая подстановка оказывается следующей [3]:
12
z = ??w? ? w? + w + c1 ,
(49)
?: 2
x = ?w? , y = y.
В отличие от преобразований Эйлера и Лежандра рассмотренные преобразования
(45а ) и (49) повышают порядок производных. Уравнение (47) точечной заменой
переменных
? = ?y ?1 , (50)
? = ?, u=w
преобразуем к волновому уравнению (43)
(51)
u?? = 0,
решение которого известно
(52)
u = ?(?) + ?(?).
Теперь решение уравнения (46) получаем из (49)–(51), исключая ? из соотношений
1
z = ??x ? x2 + ? ? ?(?y ?1 ) + c1 ,
(53)
2
x = ?? + y ?1 ? .


§ 3. Некоторые уравнения Монжа–Ампера
с тремя независимыми переменными
Успешное применение преобразований Эйлера, Лежандра и других при лине-
аризации некоторых уравнений Монжа–Ампера с двумя независимыми перемен-
ными позволяет надеяться на положительный эффект в случае большего числа
независимых переменных.
Рассмотрим преобразование, полученное из (20) введением дополнительной не-
зависимой переменной z следующим образом:
x = ?x = u y , y = ?y = x,
(54)
?:
z = ?z = u z , u = ?0 = u x .
В соответствии с обозначениями, принятыми в работе [3], находим
d = ?(uzz uyy ? u2 ) = ??,
zy
uy = ? ?1 |uij |,
dy = ?|uij |, (i, j = x, y, z),
(55)
ux = ? ?1 (uzz uxy ? uxz uzy ),
uz = ? ?1 (uyy uxz ? uyz uxy ).
1) Преобразование (54), (55) позволяет линейному уравнению
(56)
uy = 0, (u = f (x , z ))
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений 551

поставить в соответствие уравнение

|uij | = 0, (57)
(i, j = x, y, z).

Следовательно, решением последнего является всякое решение уравнения

ux = f (uy , uz ),

в котором f — произвольная функция.
2) Уравнению

(58)
uy = ?(x , y , z , u , ux , uz )

при подстановке (54) отвечает уравнение
|uij | = uzz uyy ? u2 ?
zy
(58а )
uzz uxy ? uxz uzy uyy uxz ? uyz uxy
?? uy , x, uz , ux , , .
uzz uyy ? u2 uzz uyy ? u2
zy zy

Можно построить несколько в равной степени полезных вариантов обобщения
преобразования Эйлера (27) на три независимые переменные x, y, z. Основными
требованиями к преобразованиям являются при этом неизменность порядка прои-
зводных и относительная неизменность формы записи преобразования в сравнении
с (27). Рассмотрим два возможных случая.
Пусть преобразование имеет вид
x = ?x = ? ? , y = ?y = y,
(59)
?1 :
u = ?0 = ??? ? ?.
z = ?z = z,
Определитель этого преобразования ? = ??? = 0 совпадает с определителем пре-
образования (27). По формулам, данным в [3], находим закон преобразования
производных для (59)
uy = ??y , uz = ??z ,
ux = ?,
?1 ?1
uy y = ???? (??? ?yy ? ??y ),
2
ux x = ??? ,
(60)
?1 ?1
ux y = ???? ??y , uz z = ???? (?zz ??? ? ?z? ),
2

?1 ?1
ux z = ???? ??z , uy z = ??? (??z ??y ? ??? ?yz ).

Из (60) ясно, что преобразование (59) — есть контактное преобразование.
Выполним преобразование (59) уравнения

?uxx + ?uyy + ?uzz = ?(x, y, z, u, u), (61)
1

?, ?, ? — произвольные постоянные. Приходим к уравнению
? ? ?(??? ?yy ? ??y ) ? ?(?zz ??? ? ?z? ) =
2 2
(62)
= ??? ?(?? , y, z, ??? ? ?, ?, ??y , ??z ).
552 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

§ 4. О линеаризации и общем решении системы
типа Дирака–Гейзенберга–Тирринга
В этом параграфе с помощью нелокальной линеаризации найдено общее реше-
ние нелинейной системы дифференциальных уравнений типа Дирака–Гейзенбер-
га–Тирринга

<< Предыдущая

стр. 124
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>