<< Предыдущая

стр. 125
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?? ?
= ?(??µ ?)? µ ?, (63)
i?µ µ = 0, 1,
?xµ

где ? = ?(x) — четырехкомпонентный спинор,

0 i?2 0 ?3
?0 = , ?1 = .
i?2 0 ?3 0

?
Вводя обычным образом вместо ? = двухкомпонентные спиноры ?, ?,
?
перепишем систему (63) в следующем виде
?? ??
i i?2 + ?3 =
?x0 ?x1
= ? i |?|2 + |?|2 ?2 ? i ?+ ?2 ?3 ? + ?+ ?2 ?3 ? ?3 ?,
(64)
?? ??
i i?2 + ?3 =
?x0 ?x1
= ? i |?|2 + |?|2 ?2 ? i ?+ ?2 ?3 ? + ?+ ?2 ?3 ? ?3 ?.

В конусных переменных

? = x0 ? x1 , ? = x0 + x1

система (64) запишется в виде

i?0 = ?? |?1 |2 + |?1 |2 ?0 ,
?
(65)
i?1 = ? |?0 |2 + |?0 |2 ?1 ,
?


i?0 = ?? |?1 |2 + |?1 |2 ?0 ,
?
(66)
i?1 = ? |?0 |2 + |?0 |2 ?1 .
?

Система уравнений (65), (66) с помощью нелокальной обратимой замены

|u1 |2 + |v 1 |2 d? ,
?0 = v 0 (?, ?) exp i?

?1 = v 1 (?, ?) exp ?i? |u0 |2 + |v 0 |2 d? ,
(67)
|u1 |2 + |v 1 |2 d? ,
?0 = u0 (?, ?) exp i?

?1 = u1 (?, ?) exp ?i? |u0 |2 + |v 0 |2 d?
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений 553

приводится к линейной системе дифференциальных уравнений
0
u0 = 0, 1
u1 = 0. (68)
v? = 0, v? = 0,
? ?

Подставляя (67) в (65), (66), убеждаемся, что u0 , u1 , v 0 , v 1 удовлетворяют
уравнениям (68).
Таким образом, проблема нахождения общего решения исходного уравнения
сведена к задаче интегрирования незацепленной системы уравнений (68). Инте-
грируя последние, получаем
u0 = F 0 (?), u1 = F 1 (?), v 0 = G0 (?), v 1 = G1 (?). (69)
Подставляя (69) в формулы, находим общее решение системы (66)
? x ?x ?
? ?
0 1

|F | + |G | d? ,
0 0 12 12
? = F (x0 + x1 ) exp i?
? ?
? ?
? ?
x0 +x1

? = F (x0 ? x1 ) exp ?i? |F 0 |2 + |G0 |2 d?
1 1
,
? ?
? ? (70)
x0 ?x1
? ?
|F 1 |2 + |G1 |2 d?
0 0
? = G (x0 + x1 ) exp i? ,
? ?
? ?
? ?
x0 +x1

? = G (x0 ? x1 ) exp ?i? |F 0 |2 + |G0 |2 d?
1 1
,
? ?

где F 0 , F 1 , G0 , G1 — произвольные комплексные дифференцируемые функции
своих аргументов.
Замечание. Возможность линеаризации двумерной системы типа Дирака–Гейзен-
берга–Тирринга связана с бесконечномерной локальной симметрией, допускаемой
этой системой. Более того, общее решение (70) может быть получено из чисто
теоретико-групповых соображений. Для этого необходимо найти частное решение
и применить к нему операцию размножения решений с помощью преобразований
из группы симметрии уравнения. Отметим также тот замечательный факт, что
нелинейная система (64) допускает нелокальную группу преобразований

|b|2 ? 1 |?1 |2 + |d|2 ? 1 |?1 |2 d? ,
?0 = a?0 exp i?

?1 = b?1 exp ?i? |a|2 ? 1 |?0 |2 + |c|2 ? 1 |?0 |2 d? ,

|b|2 ? 1 |?1 |2 + |d|2 ? 1 |?1 |2 d? ,
?0 = c?0 exp i?

?1 = d?1 exp ?i? |a|2 ? 1 |?0 |2 + |c|2 ? 1 |?0 |2 d? ,

где a, b, c, d — произвольные комплексные числа.
554 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

В заключение отметим, что максимальной локальной группой инвариантности
уравнений (64) является
G = O(4) ? O(4) ? A? ,
где A? — бесконечномерная группа Ли преобразований вида
? x ?x ?
x0 +x1
0 1
1
x0 = ? f0 (?)d? ? ,
?2 ?2
f1 (?)d? +
2
?x ?
x0 ?x1
0 +x1
1?
f1 (?)d? ? ,
?2 ?2
f0 (?)d? ?
x1 =
2

f0 , f1 — произвольные действительные функции,
?1 = f1 (x0 ? x1 )?1 ,
?0 = f0 (x0 + x1 )?0 ,
?1 = f1 (x0 ? x1 )?1 .
?0 = f0 (x0 + x1 )?0 ,

§ 5. О линеаризации и общем решении нелинейных
двумерных уравнений электродинамики
Метод нелокальных преобразований оказывается эффективным и для нахожде-
ния общего решения двумерных уравнений квантовой электродинамики, получа-
ющихся из лагранжиана
i? ? ?
L= (??µ ?µ ? ?µ ?µ ?) + e??µ ?Aµ +
2
1 1? ?
+ (Aµ Aµ ? Aµ A? ) + ?(??µ ?)(?? µ ?), µ, ? = 0, 1,
?? ?µ
2 2
где e, ? — постоянные величины, Aµ — векторный потенциал электромагнитного
поля.
Соответствующие уравнения движения имеют вид
?
[i?µ ?µ + e?µ Aµ + ???µ ?? µ ]? = 0,
(71)
?
2Aµ ? ? µ ?? A? = ?e??µ ?, µ = 0, 1.
Расписывая систему (71) покомпонентно и переходя к конусным переменным
? = x0 ? x1 , ? = x0 + x1 ,
получаем
1
i?? = ? e(A1 ? A0 ) + ?(|? 1 |2 + |? 3 |2 ) ? 0 ,
0
2
1
e(A1 + A0 ) + ?(|? 0 |2 + |? 2 |2 ) ? 1 ,
1
i?? =
2
(72)
1
i?? = ? e(A1 ? A0 ) + ?(|? 1 |2 + |? 3 |2 ) ? 2 ,
2
2
1
e(A1 + A0 ) + ?(|? 0 |2 + |? 2 |2 ) ? 3 ,
3
i?? =
2
Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений 555

? ?
? (A0 + A0 + A1 + A1 ) = e |? 0 |2 + |? 1 |2 + |? 2 |2 + |? 3 |2 ,
? ? ? ?
?? ??
? ?
(A0 ? A0 + A1 + A1 ) = e ?|? 0 |2 + |? 1 |2 ? |? 2 |2 + |? 3 |2 .
+ ? ? ? ?
?? ??
Система уравнений (72) линеаризуется с помощью следующей нелокальной обра-
тимой замены переменных
i
|u1 |2 + |u3 |2 d? + e (A1 ? A0 )d? ,
? 0 = u0 (?, ?) exp i?
2
i
? 1 = u1 (?, ?) exp ?i? |u0 |2 + |u2 |2 d? ? e (A1 + A0 )d? ,
2
(73)
i
|u1 |2 + |u3 |2 (A1 ? A0 )d? ,
? 2 = u2 (?, ?) exp i? d? + e
2
i
? 3 = u3 (?, ?) exp ?i? |u0 |2 + |u2 |2 d? ? e (A1 + A0 )d? .
2
Подставляя (73) в (72), получаем систему для нахождения функций u0 , . . ., u3 ,
A0 , A1 :
u0 = 0, u1 = 0, u2 = 0, u3 = 0,
? ? ? ?

? ?
? (A0 + A0 + A1 + A1 ) = e |u0 |2 + |u1 |2 + |u2 |2 + |u3 |2 ,
? ? ? ? (74)
?? ??
? ?
(A0 ? A0 + A1 + A1 ) = e ?|u0 |2 + |u1 |2 ? |u2 |2 + |u3 |2 .
+ ? ? ? ?
?? ??
Интегрируя уравнений (74) и подставляя полученный результат в формулы (73),
находим общее решение исходной системы (71)
x0 +x1 z
?f
|u0 |2 + |u2 |2 d?dz +
A0 = e ,
?x0
x0 ?x1 z
?f
A1 = ?e |u1 |2 + |u3 |2 d?dz ? ,
?x1
? x ?x ?
? ?
0 1
1
? |u | + |u | + e(A ? A ) d? ,
0 0 12 32 1 0
? = u (x0 + x1 ) exp i
? ?
2
? ?
? ?
x0 +x1
1
? = u (x0 ? x1 ) exp ?i ? |u | + |u | + e(A + A ) d? ,
1 1 02 22 1 0
? ?
2
? x ?x ?
?01 ?
1
? |u | + |u | + e(A ? A ) d? ,
2 2 12 32 1 0
? = u (x0 + x1 ) exp i

<< Предыдущая

стр. 125
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>