<< Предыдущая

стр. 126
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ?
2
? ?
? ?
x0 +x1
1
? = u (x0 ? x1 ) exp ?i ? |u0 |2 + |u2 |2 + e(A1 + A0 ) d? ,
3 3
? ?
2
556 В.И. Фущич, В.А. Тычинин, Р.З. Жданов

где u0 , . . . , u3 — произвольные комплексные функции, а f = f (x0 , x1 ) — прои-
звольная действительная функция.

1. Forsyth A.R., Theory of differential equations. Vol. 5, 6, N.Y., Dover Publication, 1959, 478 p.,
596 p.
2. Ames W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, Vol. 1, 2, N.Y., Academic press,
1965, 511 p., 1972, 301 p.
3. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт 82.33, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, 48 с.
4. Александров А.Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М., Гостехиздат, 1948, 622 с.
5. Погорелов А.В., Об уравнениях Монжа–Ампера эллиптического типа, Харьков, госуниверситет,
1960, 110 с.
6. Погорелов А.В., Многомерная проблема Минковского, М., Наука, 1975, 79 с.
7. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, 6–27.
8. Фущич В.И., Серов Н.И., Симметрия и некоторые точные решения многомерного уравнения
Монжа–Ампера, ДАН СССР, 1983, 273, № 3, 543–546.
9. Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого по-
рядка, М., Наука, 1966, 260 с.
10. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, т. 2, М–Л., Гостехиздат, 1951, 514 с.
11. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 399 с.
12. Бицадзе А.В., Некоторые классы уравнений в частных производных, М., Наука, 1981, 448 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 557–565.

Точные решения нелинейных
дифференциальных уравнений
для спинорного и векторного поля
В.И. ФУЩИЧ, Р.З. ЖДАНОВ
Построены новые многопараметрические семейства точных решений нелинейного
уравнения Дирака и уравнений для взаимодействующих спинорного и векторного
полей.

Введение.
В настоящей работе построены широкие классы точных решений нелинейной
системы уравнений Дирака
?
? µ pµ + ?(??)1/2k ?(x) = 0, (1)
k = 0,
?
?µ — 4 ? 4 матрицы Дирака, pµ = igµ? ?x? , ? = ? + ?0 , x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), ? —
?

четырехкомпонентный спинор, k, ? — параметры и системы восьми нелинейных
уравнений
[? µ pµ + ?1 ? µ Aµ + m1 ]?(x) = 0,
(2)
?
p? p? Aµ ? pµ p? A? = e?? µ ? + m2 Am + ?2 Aµ A? A? ,
Aµ — вектор-потенциал электромагнитного поля, ?1 , ?2 , m1 , m2 , e — константы.
Если в системе (2) положить m2 = ?2 = 0, то она совпадает с уpaнeниями клас-
сической электродинамики, описывающими взаимодействие электромагнитного и
спинорного полей.
Для построения многопараметрических семейств точных решений (1), (2) су-
щественно используются симметрийные свойства уравнений и анзатц
(3)
?(x) = A(x)?(?) + B(x),
предложенный в [1, 2] и эффективно реализованный в [3–6] для ряда нелиней-
ных волновых уравнений. A(x) — 4 ? 4-матрица, B(x) — четырехкомпонентный
спинор, алгоритм построения которых приводится ниже; ?(?) — вектор-столбец,
компоненты которого в общем случае зависят от трех инвариантных переменных
? = {?1 , ?2 , ?3 } (более подробно об этом см. [1, 2]).
Далее рассматривается анзатц (3) при B(x) = 0.
Используя конечные преобразования, устанавливаем, что уравнение (1) инвари-
?
антно относительно расширенной группы Пуанкаре P (1, 3), т.е. группы Пуанкаре
P (1, 3), дополненной гpyппой масштабных преобразований. Базисные элементы
? ?
алгебры Ли AP (1, 3) группы P (1, 3) имеют вид
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? ,
P µ = pµ ,
(4)
i
D = xµ pµ ? ik, Sµ? = (?µ ?? ? ?? ?µ ).
4
Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1985, C. 20–30.
558 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Общая схема построения решений уравнения (1) (аналогично строятся решения
системы (2)) такова. Ищем решения уравнения (1), инвариантные относительно
?
подгруппы группы P (1, 3), порождаемой линейной комбинацией всех базисных
?
элeлeнтoв AP (1, 3),

Q = C µ? Jµ? + C 00 D + C µ Pµ , (5)

где C µ? , C 00 , C µ — константы, C µ? = ?C ?µ , 0 ? µ, ? ? 3. Матрица A(x) ищется
из условия

(6)
QA(x) = 0.

Инвариантные переменные являются первыми интегралами системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений (ОДУ) Эйлера–Лагранжа
dx0 dxa
(7)
=a , a = 1, 3,
? 0 (x) ? (x)
где ? µ = C µ? x? + C 00 xµ + C µ .
Если построить явный вид матриц A(x), удовлетворяющих уравнению (7), то
для спинора ?(?) получим уравнение, зависящее только от трех инвариантных
переменных {?1 , ?2 , ?3 }, т.е. анзатц (3) с матрицами A(x), удовлетворяющими
условию (7), приведет к “разделению” переменных в уравнении (1). Решения соо-
тветствующего уравнения для ?(?), будучи подставленными в (3), дают решения
исходного уравнения (1).
Для реализации этой схемы прежде всего нужно построить в явном виде ма-
трицы A(x), удовлетворяющие уравнению (7), т.е. найти частное решение линей-
ной системы 16 дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП)
первого порядка с переменными коэффициентами. Решить эту систему ДУЧП
стандартными методами непросто. Поэтому решаем ее таким образом. Оператор
Q преобразуем с помощью обратимого оператора

W ?1 (x, p) = exp{???} (8)
W (x, p) = exp{??},
к виду

Q = W QW ?1 , (9)
где

? = ?µ? Jµ? + ?00 D + ?µ Pµ . (10)

Преобразование W выбирается таким, чтобы оператор Q имел максимально
простой вид. Этого всегда можно достичь, поскольку уравнение (1) инвариантно
относительно преобразований Лоренца. На физическом языке это означает, что
нелинейная система уравнений Дирака решается в фиксированной системе отсче-
та, а затем с помощью процедуры группового размножения строятся решения,
которые не зависят от использованной системы отсчета.
Точные решения уравнений для спинорного и векторного поля 559

§ 1. Точные решения нелинейного уравнения Дирака (1)
Приводим многопараметрические, неразмножаемые семейства решений уравне-
ния (1). Неразмножаемость означает, что рассматриваемые семейства инвариан-
тны по отношению к операции размножения размножения решений с помощью
конечных преобразований из группы инвариантности уравнения (1). Указываются
только те решения, которые являются существенно новыми.
1. k ? R1 , k = 0,
? i?
(? · a)(? · b)b · z) exp ? (??)1/2k (? · a)2a · z + ?(b · z)2 ?,
?(x) = exp ?
2 2 (1.1)
? · a ? ? µ aµ , a · z ? aµ zµ , zµ = xµ + ?µ ,
? — произвольный постоянный спинор, ?, ?µ , aµ , bµ — npoизвольные константы,
удовлетворяющие условиям:
aµ aµ = ?1, bµ bµ = 0, a? b? = 0. (1.2)
Неразмножаемость семейства (1.1) с помощью преобразований из группы сдвигов и
группы масштабных преобразований вполне очевидна. Докажем, что это свойство
выполнено, и для группы преобразований, порождаемой оператором J01 , имеет
вид:
1
?2 (x) = exp ?0 ?1 ? ?1 (x ),
2
x0 = x0 ch ? + x1 sh ?, x1 = x1 ch ? ? x0 sh ?, x2 = x2 , x3 = x3
Применяя эту формулу, взяв в качестве ?1 (x) решение (1.1), после несложных
преобразований получаем новое решение
?
(? · a )(? · b )b · z) ?
?2 (x) = exp
2
i?
? exp ? (? ? )1/2k (? · a ) 2a · z + ? (b · z)2
? ?,
2
где
a0 = a0 ch ? + a1 sh ?, a1 = a1 ch ? ? a0 sh ?, a2 = a2 , a3 = a3 ,
b0 = b0 ch ? + b1 sh ?, b1 = b1 ch ? ? b0 sh ?, b2 = b2 , b3 = b3 ,
?
? = ?, ? = exp ?0 ?1 ?.
2
Нетрудно убедиться, что параметры aµ , bµ , ? удовлетворяют условиям (1.2), т.е.
решение ?2 (x) вновь принадлежит семейству (1.1), что и требовалось доказать.
Инвариантность семейства (1.1) относительно остальных преобразований из груп-
пы O(1, 3) проверяется совершенно аналогично.
2. k ? R1 , k = 1/2,
a·z
1
(k?1)/2
?(x) = (a · z)2 + (b · z)2 exp ? (? · a)(? · b) arctg ?
b·z
2
(1.3)
2k? (1?2k)/(4k)
? exp ?i(? · b) (??)1/2k (a · z)2 + (b · z)2
? ?,
1 ? 2k
560 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

причем

aµ aµ = bµ bµ = ?1, a? b? = 0, (1.4)

zµ = xµ + ?µ , ?µ — произвольные постоянные, ? — произвольный постоянный
спинор.
3. k = 1/2

a·z
1
?1/4
?(x) = (a · z)2 + (b · z)2 exp ? (? · a)(? · b) arctg ?
b·z
2
(1.5)
a·z
??
?
? exp ?i? (? · b + ?? · a) ln (a · z)2 + (b · z)2 + 2? arctg ?,
b·z
2)
2(1 + ?

zµ = xµ + ?µ ; aµ , bµ , ?, ?µ — произвольные константы, удовлетворяющие условию
(1.4).

1
(? · c)(? · b)b · z (? · a + ?? · b)(a · z + ?b · z)+
?(x) = exp
4
1 ???
?
+ ? · c c · z + (b · z)2 ? ?1 exp ?i 2 2 (?1 (? · a + ?? · b)+
4 ?1 + ?2
(1.6)
1 1
+ ?2 ? · c) ?1 (a · z + ?b · z) + ?2 c · z + (b · z)2 ? ?1 ?,
2 2
1 2
? = (a · z + ?b · z)2 + c · z + (b · z)2 , zµ = xµ + ?µ ,
4
?µ , aµ , bµ , cµ , ?, ?i — произвольные константы, удовлетворяющие условиям:

aµ aµ = ?1, cµ cµ = ?4.
aµ bµ = bµ cµ = cµ aµ = b? b? = 0, (1.7)

4. k < 0

1
(? · c)(? · b)b · z ?
?(x) = exp
4
1
? (? · a + ?? · b)(a · z + ?b · z) + (? · c)(c · z + (b · z)2 ) + ig(?) ?,
4
(1.8)
2k
+ |k|
1 + |k| 1/2 1 + |k| k2
? ?k/2 ,
g(?) = ? ? f (?) = ? ?
|k| |k| 2?(??)k
?
1
? = (a · z + ?b · z)2 + (c · z + (b · z)2 )2 , zµ = xµ + ?µ ,
4
причем параметры aµ , bµ , cµ , ?, ? удовлетворяют условию (1.6), ? — произвольный
постоянный спинор.
В заключение этого параграфа рассмотрим случай k = 1/3. Уравнение (1)
в этом случае инвариантно относительно конформной группы C(1, 3) (см. [7])
и поэтому, используя операцию размножения с помощью группы специальных

<< Предыдущая

стр. 126
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>