<< Предыдущая

стр. 127
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Точные решения уравнений для спинорного и векторного поля 561

конформных преобразораний, можно получить более широкое семейство решений
уравнения (1) при k = 3/2. Соответствующие формулы имеют вид ([4]):
1 ? (? · x)(? · ?)
?2 (x) = ?1 (x )
? 2 (x)
(1.9)
xµ ? ?µ x2
?(x) = 1 ? 2? · x + ?2 x2 , ? 2 = ? ? ?? , x2 = x? x? .
xµ = ,
?(x)
Используя в качестве ?1 (x) решения (1.1), (1.3) при k = 3/2, получаем решения
конформно-инвариантного уравнения Дирака
?
1 ? (? · x)(? · ?) b · x ? b · ?x2
?
(? · a)(? · b) ?
?(x) = exp =
? 2 (x) 2 ?(x)
(1.10)
?
2(a · x ? a · ?x2 )?(x) + ?(b · x ? b · ?x2 )2
?
? exp ?i (??) (? · a)
1/3
? ?,
? 2 (x)
2

?
aµ aµ = ?1, bµ bµ = 0, aµ bµ = 0; ?µ , ? — произвольные константы, ? — произволь-
ный постоянный спинор.
1 ? (? · x)(? · ?) 1/4
((a · x) ? a · ?x2 )2 + (b · x ? b · ?x2 ) ?
?(x) = 3/2 (x)
?
a · x ? a · ?x2
1
? exp ? (? · a)(? · b) arctg ? (1.11)
b · x ? b · ?x2
2
?1/3
3? (a · x ? a · ?x2 )2 + (b · x ? b · ?x2 )2
? exp ?i? · b (??)1/3
? ?,
? 2 (x)
2

aµ aµ = b? b? = ?1, a? b? = 0, ?µ — произвольные постоянные, ? — произвольный
постоянный спинор.

§ 2. Точные решения системы управления (2)
Будем искать решения системы (2) при m1 = m2 = 0. Нам удалосъ noлучить
три класса точных решений:
1. ? > 0, c1 = 0
1/2
?2
?1/2
?(x) = ? · b · exp ?i?1 ?2 arctg (c1 a · x + c2 ) ?,
k
(2.1)
?1
1/2
2 2
k kc1 k
?1/2
Aµ (x) = ±bµ c1 (c1 a · x + c2 )2 ? ? aµ (c1 a · x + c2 )2 ? .
?2 ?2 ?2
2. ?2 < 0, c1 = 0

|?2 |1/2 (c1 a · x + c2 ) ? k
?1
?(x) = ? · b exp i ln ?,
2|?2 |1/2 |?2 |1/2 (c1 a · x + c2 ) + k
(2.2)
?1
1/2
k2 k2
kc1
?1/2
Aµ (x) = ±bµ c1 (c1 a · x + c2 )2 ? ? aµ (c1 a · x + c2 )2 ? .
?2 ?2 ?2
562 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

3. ?2 < 0

?(x) = ? · b exp ?i?1 |?2 |?1/2 ln 2k|?2 |?1/2 a · x + c3 ?,
(2.3)
?1
1/2 k
?1/2
2k|?2 |?1/2 a · x + c3
Aµ (x) = ±bµ 2k|?2 | a · x + c3 ? aµ .
|?2 |

Здесь: k = ebµ ??µ ?/(a? b? ), c1 , c2 , c3 — произвольные постоянные, ? — произволь-
?
ный постоянный спинор

bµ bµ = aµ a? = 0, bµ aµ = 0. (2.4)

Отметим, что полученные решения зависят от параметров ?1 , e аналитически,
в то время как параметр ?2 входит в решение сингулярно. Это означает, что
решения (2.1)–(2.3) не могут быть получены в рамках теории возмущений путем
разложения в ряд по малому параметру ?2 .
Вводя обычным образом тензор электромагнитного поля Fµ? = ?µ A? ? ?? Aµ ,
для найденных решений получаем:
?1/2
k2
1/2
Fµ? = ±(bµ a? ? · x + c2 ) c1 a · x + c2 ) ?
2
(2.5)
b? aµ )c1 (c1 a ,
?2

?1/2
k2
1/2
Fµ? = ±(bµ a? ? · x + c2 ) c1 a · x + c2 ) ?
2
(2.6)
b? aµ )c1 (c1 a ,
?2

Fµ? = ±(bµ a? ? b? aµ )k??1 (2k?2 a · x + c2 )?1/2 . (2.7)
2


Для получения новых семейств решений системы уравнений (2) воспользуемся тем
фактом, что она инвариантна относительно конформной группы C(1, 3) (см. [6]).
Легко убедиться, что решения (2.1)–(2.3) неразмножимы с помощью преобразова-
?
ний из расширенной группы Пуанкаре P (1, 3) ? C(1, 3). Поэтому для получения
неразмножимых относительно группы C(1, 3) решений системы (2) достаточно
размножить полученные решения с помощью группы специальных конформных
преобразований. Как было показано в [8], формула размножения решений в этом
случае имеет вид

1 ? (? · x)(? · c)
?2 (x) = ?1 (x ).
? 2 (x)

4. A(2) (x) = ? ?2 (x){gµ? ?(x) + 2(?µ x? ? ?? xµ + 2?xxµ ?? ?
µ

?x2 ?µ ?? ? ?2 xµ x? )}A? (x ),
(1) (2.8)
xµ ? ?µ x2
?(x) = 1 ? 2? · x + ?2 x2 .
xµ = ,
?(x)

Подставляя в формулу (2.8) вместо ?, Aµ решения (2.1)–( 2.3), получаем следу-
(1)
ющие семейства решений:
Точные решения уравнений для спинорного и векторного поля 563

5. ?2 > 0, c1 = 0
1 ? (? · x)(? · c)
? · b?
?(x) =
? 2 (x)
1/2
a · x ? a · ?x2
?2
?1/2
? exp ?i?1 ?2 arctg c1 + c2 ?,
k ?(x)
1/2
2
a · x ? a · ?x2 k2
?1/2
? ?2 (x)?
Aµ (x) = ±c1 ?
c1 + c2 (2.9)
?(x) ?2
? bµ ?(x) + 2 ?µ b · x ? xµ b · ? + 2xµ ? · x? · b ? ?µ x2 ? · b ? xµ ?2 b · x ?
?1
2
a · x ? a · ?x2 k2
kc1
? ?2 (x)?
? ?
c1 + c2
?2 ?(x) ?2
? aµ ?(x) + 2 ?µ a · x ? xµ a · ? + 2xµ ? · x · ? · a ? ?µ x2 ? · a ? xµ ?2 a · x .
6. ?2 < 0, c1 = 0
1 ? (? · x)(? · ?)
? · b?
?(x) =
? 2 (x)
? ?
a·x?a·?x2
? c1 ?(x) + c2 ? k ?
|?2 |1/2
?1
? exp i ln ?,
? 2|?2 |1/2 ?
1/2 c a·x?a·?x2 + c
|?2 | 2 +k
1 ?(x)
1/2
2
a · x ? a · ?x2 k2
?1/2
? ?2 (x)?
±c1 ? (2.10)
Aµ (x) = + c2
?(x) ?2
? bµ ?(x) + 2 ?µ b · x ? xµ b · ? + 2?x · bxµ ? ?µ x2 ? · b ? xµ ?2 b · x ?
?1
2
a · x ? a · ?x2 k2
kc1
? ?2 (x)?
? ?
c1 + c2
?2 ?(x) ?2
? aµ ?(x) + 2 ?µ a · x ? xµ a · ? + 2xµ ? · x? · a ? ?µ x2 ? · a ? xµ ?2 a · x .
7. ?2 < 0
1 ? (? · x)(? · ?)
? · b?
?(x) =
? 2 (x)
· x ? a · ?x2
?1/2 a
?1/2
? exp ?i?1 |?2 | ln 2k|?2 | + c3 ?,
?(x)
1/2
· x ? a · ?x2
?1/2 a
? ?2 (x)?
Aµ (x) = ± 2k|?2 | + c3 (2.11)
?(x)
? bµ ?(x) + 2 ?µ b · x ? xµ b · ? + 2xµ ? · x? · b ? ?µ x2 ? · b ? xµ ?2 b · x ?
?1
· x ? a · ?x2
?1/2 a
?1
? ?2 (x)?
?k|?2 | 2k|?2 | + c3
?(x)
? aµ ?(x) + 2 ?µ a · x ? xµ a · ? + 2xµ ? · x? · a ? ?µ x2 ? · a ? xµ ?2 a · x .
564 В.И. Фущич, Р.З. Жданов

Выражения для тензора Fµ? , соответствующие решениям (2.9)–(2.11), очень гро-
моздки и их опускаем. По этой же причине не приводим доказательство нераз-
множаемости этих решений с помощью преобразований из группы C(1, 3).

§ 3. Точные решения уравнений для спинорного и скалярного полей
Подход, изложенный во введении, мoжeт быть применен к системе нелинейных
дифференциальных уравнений вида
?
?µ pµ ? = ?1 u + ?2 (??)1/3 ?,
(3.1)
?
pµ pµ u = µ1 u + µ2 (??)1/3 u,
где u = u1 (x) + iu2 (x) — комплекснозначная скалярная функция, ?i , µi — дей-
ствительные константы.
Для нахождения точных решений системы (3.1) используем анзатц
??

?(x) = f (?) + ig(?) ?,
?xµ (3.2)
u(x) = ?1 (?) + i?2 (?),
где ? = ?(x) — неизвестная дифференцируемая функция, ? — пpoизвoльный
постоянный спинор, f , g, ?i — функции, подлежащие определению. Подставляя

<< Предыдущая

стр. 127
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>