<< Предыдущая

стр. 128
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(3.2) в (3.1), получаем редуцированную систему уравнений
pµ pµ ? + A(?) = 0, (pµ ?)(pµ ?) + B(?) = 0,
1/3
? ?
A(?)?i + B(?)?i + µ1 |?| + µ2 (??)1/3 g 2 + B(?)f 2
? ?i = 0, i = 1, 2,
(3.3)
1/3
g ? ?1 |?| + ?2 (??)1/3 g 2 + B(?)f 2
? ? f = 0,
1/3
A(?)f + B(?)f? ? ?1 |?| + ?2 (??)1/3 g 2 + B(?)f 2
? g = 0.

Здесь точка обозначает дифференцирование по ?.
Подробный анализ уравнений (3.3) будет проведет позже. Здесь приведем не-
которые классы точных решений системы (3.1), полученные из (3.3):
v 1 ? (? · x)(? · ?)
?(x) = ± c1 ?
1.
? 2 (x)
a · x ? a · ?x2
1/3
? ? · a sin ?1 c + ?2 (??)1/3 c1
? + c2 +
?(x)
(3.4)
a · x ? a · ?x2
1/3
?2 (??)1/3 c1
+i cos ?1 c + ? + c3 ?,
?(x)
1/3 a · x ? a · ?x
2
c
u(x) = ± exp ±i µ1 c + µ2 c (??)
1/3
? + iC3 ,
?(x) ?(x)
?µ , aµ , c1 , c2 , c3 — произвольные постоянные.
?·x+?·?
?3/4
v
?(x) = q1 x2 + 2? · x + ?2 ± i ?,
2.
x2 + 2? · x + ?2 (3.5)
?1
2 ?1
x2 + 2? · x + ?
u(x) = q2 ?1 q2 + ?2 (??)1/3
? exp{ic},
Точные решения уравнений для спинорного и векторного поля 565

3/2
где q1 = ±3 · 2?4/3 ?1 q2 + ?2 (??)1/3 , C— постоянная, ? — произвольный
?
постоянный спинор и выполнено условие
2
µ1 q2 + µ2 (??)1/3
? 4
= .
?1 q2 + ?2 (??)1/3 9
?
Можно доказать, что семейства решений (3.4), (3.5) являются неразмножаемыми
относительно конформной группы C(1, 3), которая является максимальной ло-
кальной группой инвариантности уравнения (3.1), но из-за большой громоздкости
выкладок мы опускаем доказательство.

1. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
2. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
3. Фущич В.И., Штелень В.М., Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака, Докл.
АН СССР, 1983, 269, № 1, 88–92.
4. Fushchych W.I., Shtelen W.M., On some exact solutions of the nonlinear Dirac equation, J. Phys.
A: Math. Gen., 1983, 16, № 2, 271–277.
5. Фущич В.И., Серов Н.И., Симметрия и точные решения многомерного уравнения Монжа–
Ампера, Докл. АН СССР, 1983, 273, № 3, 543–546.
6. Фущич В.И., Цифра И.М., О симметрии нелинейных уравнений электродинамики, Теор. и мат.
физика, 1985, 64, № 1, 41–50.
7. G?rsey F., On conformal-invariant spinor wave equation, Nuovo Cim., 1956, 111, № 5, 980–997.
u
8. Fushchych W.I., Shtelen W.M., On some exact solutions of the nonlinear equations of quantum
electrodynamics, Phys. Lett. B, 1983, 128, № 3–4, 215–217.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 566–571.

О симметрии, интеграле движения
и некоторых частных решениях
пространственной задачи трех тел
Ю.А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, И.В. РЕВЕНКО, В.И. ФУЩИЧ

Еще Лагранжу были известны 10 интегралов движения пространственной за-
дачи трех тел
?U ?U ?U
mi xi = ? mi yi = ? mi zi = ? (1)
? , ? , ? , i = 1, 2, 3,
?xi ?yi ?zi
где
U = ?m1 m2 F r12 ? m2 m3 F r23 ? m3 m1 F r31 ,
2 2 2
mi = 1, i = 1, 2, 3,
(xk , yk , zk ) — координаты k-ro тела, k = 1, 2, 3, F (r2 ) — произвольная достаточная
1/2
гладкая функция, rij = (xi ? xj )2 + (yi ? yj )2 + (zi ? zj )2 .
С теоретико-групповой точки зрения это значит, что лагранжиан и соответству-
ющие уравнения движения инвариантны относительно 10-параметрической группы
Галилея G(1, 3). Базисные элементы алгебры Ли этой группы имеют вид
? ? ? ? ? ? ?
X0 = , X1 = + + , X2 = + + ,
?t ?x1 ?x2 ?x3 ?y1 ?y2 y3
? ? ? ? ? ?
X3 = + + , X4 = t + + ,
?z1 ?z2 ?z3 ?x1 ?x2 ?x3
? ? ? ? ? ?
(2)
X5 = t + + , X6 = t + + ,
?y1 ?y2 y3 ?z1 ?z2 ?z3
? ? ? ?
? zk ? xk
X7 = y k , X8 = z k ,
?zk ?yk ?xk ?zk
? ?
? yk
Xp = xk .
?yk ?xk
В данной работе проведена теоретико-групповая классификация потенциалов в
уравнении (1), в результате которой установлено, что при некоторых специальных
видах U , например
U (r2 ) = ?1 r4 + ?2 r2 , (3)
уравнение (1) обладает более широкой группой инвариантности, чем группа Га-
лилея G(1, 3). Для уравнения (1) с потенциалом (3) найден интеграл движения и
построены частные решения.
1. Полную информацию о локальных симметрийных свойствах уравнения (1)
дает
Доклады академии наук СССР, 1985, 280, № 4, С. 799–804.
О симметрии, интеграле движения и некоторых частных решениях 567

Теорема 1. Уравнение (1) имеет дополнительную локальную группу симметрии
только в таких случаях:
F r 2 = ?1 r 4 + ?2 r 2 , (4.1)

F r 2 = ?3 r 2 , (4.2)

F r2 = ?r?2 , (4.3)
?
F r 2 = ?5 r 2 F r2 = ?5 ln r2 ,
? = const, (4.4)
,

где ?i = const, i = 1, 2, 3, 4, 5.
Теорема 2. Уравнения (1) с потенциалами (4.1)–(4.2) допускают следующие
алгебры инвариантности
а) F r2 = ?1 r4 + ?2 r2 ,
B = {X0 , X1 , . . . , X9 , X10 }, (5)
где
1 ? ? ?
?abc (xa ? xb ) + (ya ? yb ) + (za ? zb ) (6)
X10 = ;
2 ?xc ?yc ?zc
б) F r2 = ?3 r2 ,
ij
B = {X0 , X1 , . . . , X6 , Yk }, (7)
k = 1, 2, . . . , 6, j = 1, 2, 3,
где
? ? ? ? ? ?
Y1ij = v i1 + v i2 j2 + v i3 j3 , Y2ij = v i1 j1 + v i3 j2 + v i2 j3 ,
?v j1 ?v ?v ?v ?v ?v
? ? ? ? ? ?
Y3ij = v i2 j1 + v i1 j2 + v i3 j3 , Y4ij = v i3 j1 + v i2 j2 + v i1 j3 , (8)
?v ?v ?v ?v ?v ?v
? ? ? ? ? ?
Y5ij = v i2 j1 + v i3 j2 + v i1 j3 , Y6ij = v i3 j1 + v i1 j2 + v i2 j3 ,
?v ?v ?v ?v ?v ?v
где
v 1j = xj , v 2j = yj , v 3j = zj , j = 1, 2, 3;
в) F r2 = ?4 r?2 ,
B = {X0 , X1 , . . . , X9 , A, D1 }, (9)
где
? ? ? ?
A = t2 (10)
+ txk + tyk + tzk ,
?t ?xk ?yk ?zk
? ? ? ?
(11)
D1 = 2t + xk + yk + zk ;
?t ?xk ?yk ?zk
?
г) F r2 = ?5 r2 , F r2 = ?5 ln r2 , ? = 0,
B = {X0 , X1 , . . . , X9 , D2 }, (12)
568 Ю.А. Митропольский, И.В. Ревенко, В.И. Фущич

где
? ? ? ?
D2 = (1 ? ?)t (13)
+ xk + yk + zk .
?t ?xk ?yk ?zk
Следствие. Оператор (6) порождает следующие преобразования координат:
v
x1 + x2 + x3
xk = xk ? cos 3a+
3
v
1 x1 + x2 + x3
+ v ?kmn (xm ? xn ) sin 3a + ,
3
23
v
y1 + y2 + y3
yk = y k ? cos 3a+
3
(14)
v
1 y1 + y2 + y3
+ v ?kmn (ym ? yn ) sin 3a + ,
3
23
v
z1 + z2 + z3
zk = z k ? cos 3a+
3
v
1 z1 + z 2 + z 3
+ v ?kmn (zm ? zn ) sin 3a + , k = 1, 2, 3.
3
23
Доказательство теоремы 1. Для доказательства воспользуемся методом С. Ли,
современное изложение которого приведено в [3]. Условие инвариантности урав-
нения (1) относительно преобразований, порождаемых инфинитезимальным опе-
ратором
? ? ? ?
+ ? xi + ? yi + ? zi (15)
X=? ,
?t ?xi ?yi ?zi
где ?, ? xi , ? yi , ? zi — функция от t, xj , yj , zj , j = 1, 2, 3, имеет вид
?
(16)
X ?|?=0 = 0,
?
где X — второе продолжение оператора (15), ? — многообразие, определяемое
уравнением (1).
Решая уравнение (16), получаем условия на ?, ? xi , ? yi , ? zi :
?
Uxk ?xk + Uyk ?yk + Uzk ?zk ? 2Uxi ?t = (? xi ? ? xj )Fij +
xi xi xi

? ? ?
+(? xi ? ? xk )Fik + (xi ? xj )Fij X(rij ) + (xi ? xk )Fik X(rik ),
2 2

?
Uxk ?xi + Uyk ?yk + Uzk ?zk ? 2Uyi ?t = (? yi ? ? yj )Fij +
y yi yi
k
(17.1)
? ? ?
+(? yi ? ? yk )Fik + (yi ? yj )Fij X(rij ) + (yi ? yk )Fik X(rik ),
2 2

?
Uxk ?xi + Uyk ?yk + Uzk ?zk ? 2Uzi ?t = (? zi ? ? zj )Fij +
z zi zi
k

? ? ?
+(? zi ? ? zk )Fik + (zi ? zj )Fij X(rij ) + (zi ? zk )Fik X(rik ),
2 2


? = b0 t2 + ?t + d,

<< Предыдущая

стр. 128
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>