<< Предыдущая

стр. 129
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? xi = b0 xi t + aixj xj + aiyj yj + aizj zj + ai0 t + dxi ,
(17.2)
? yi = b0 yi t + cixj xj + ciyj yj + cizj zj + ci0 t + dyi ,
? zi = b0 zi t + eixj xj + eiyj yj + eizj zj + ei0 t + dzi ,
О симметрии, интеграле движения и некоторых частных решениях 569

где
2
?ik = dF rik ,
F i = j = k, i, j, k = 1, 2, 3;
d(rik )2
b0 , ?, d, aixj , aiyj , aizj , ai0 , dxi , cixj , ciyj , cizj , ci0 , dyi , eixj , eiyj , eizj , ei0 , dzi —
групповые постоянные;
X rij = 2(xi ? xj )(? xi ? ? xj ) + 2(yi ? yj )(? yi ? ? yj ) + 2(zi ? zj )(? zi ? ? zj ).(18)
2


Изучение уравнений (17.1), (17.2) распадается на несколько случаев.
а) Пусть уравнение (1) инвариантно относительно оператора (10) . Расщепляя
уравнения (17.1) по xj , yj , zj , получаем
? ?
?2F r2 = F r2 r2 . (19)
Решением уравнения (19) является функция (4.3).
2
б) Пусть в уравнении (17.1) X rik = 0. Тогда уравнение (1) инвариантно
относительно 10-мерной алгебры (3) для любой достаточно гладкой функции F .
?
в) Если Fij = 0, то F r2 = ?3 r2 +?. Применяя алгоритм С. Ли [3] к уравнению
(1) с потенциалом (4.2), устанавливаем максимальную алгебру инвариантности (7).
г) X rik = f r12 , r23 , r31 . Так как ? xi , ? yi , ? zi линейны по xj , yj , zj , то
2 2 2 2


?
X rik = 2hik rik + 2hj rij ? rkj ,
2 2 2 2
hik , hj = const. (20)
Если hj = 0, то ? = (1 ? ?)t, ? xi = xi , ? yi = yi , ? zi = zi , т.е. уравнение (1)
инвариантно относительно оператора (13).
Уравнение для функции F r2 имеет вид
? ?
F r2 r2 = F r2 (? ? 1). (21)
Решением уравнения (21) является функция (4.4).
jk
Если hik = 0, то ? v = 1 ?kmn (v jm ? v jn ), т.е. уравнение (1) инвариантно
2
относительно оператора (6). В таком случае функция F r2 должна удовлетворять
уравнению
?
F r 2 = ?1 , (22)
решением которого является функция (4.1).
Доказательство теоремы 2 проводится непосредственным применением алгори-
тма С. Ли [3] к уравнению (1) с потенциалами (4.1)–(4.4).
2. Интегралы движения. Для уравнения (1) с потенциалом (4.1) возникает
интеграл движения
1
?abc [(xa ? xb )xc + (ya ? yb )yc + (za ? zb )zc ]. (23)
J= ? ? ?
2
Его существование обусловлено инвариантностью соответствующего лагранжиана
относительно оператора (6). Отметим, что в случае ya = za = 0, a = 1, 2, 3 из
формулы (23) получаем первый интеграл для одномерной задачи трех тел, впер-
вые обнаруженный Ю.Д. Соколовым [1], а при za = 0 — интеграл движения для
плоской задачи трех тел, найденный в [2]. Интеграл (23) без использования сим-
метрийных свойств найден в [4].
570 Ю.А. Митропольский, И.В. Ревенко, В.И. Фущич

3. Частные решения. Для построения решений уравнения (1) совместим центр
тяжести системы трех тел с полюсами системы координат и сделаем следующую
замену переменных:
2?(k ? 1) 2?(k ? 1)
+ S2 cos ?2 ?
3xk = S1 cos ?1 + +
3 3
?1 ? ?2 2?(k ? 1) ?1 ? ?2 2?(k ? 1)
+S3 cos + + S4 sin + ,
2 3 2 3
2?k 2?(k + 1)
+ S2 cos ?2 ?
3yk = S1 cos ?1 + +
3 3
(24)
?1 ? ?2 2?(k ? 1) ?1 ? ?2 2?(k ? 1)
+S3 cos + + S4 sin + ,
2 3 2 3
2?(k + 1) 2?k
+ S2 cos ?2 ?
3zk = S1 cos ?1 + +
3 3
?1 ? ?2 2?(k ? 1) ?1 ? ?2 2?(k ? 1)
+S3 cos + + S4 sin + .
2 3 2 3
В новых переменных {S1 , S2 , S3 , S4 , ?1 , ?2 } выражение для кинетической энергии
принимает вид
3
1 1 ?2 ?2 ?2 ?2
x2 + yi + zi =
?2 ?2 S1 + S2 + S3 + S4 + (S1 ?1 )2 + (S2 ?2 )2 +
T= ?i ? ?
2 4
i=1
(25)
2
?1 ? ?2
? ? ? ??
+ (S3 S4 ? S3 S4 )(?1 ? ?2 ) .
2 2
+ S3 + S 4 ?
2

Потенциал взаимодействия (3) зависит только от Si , i = 1, 2, 3, 4:
3
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2
U = ?1 r12 + r23 + r31 + ?2 r12 + r23 + r31 =
? 2 S1 + S2 + S3 + S4 +
2
(26)
32 32 3
22 2
S ? S3 ? 2S1 S2 + (S3 S4 ) .
2 2 2 2
+?1 S + S2 + S3 + S4 +
41 84 2
Уравнения Лагранжа в новых переменных имеют вид
1? 1 ?U 1? 1 ?U
S1 ? S1 ?1 = ? S2 ? S2 ?2 = ?
?2 ?2
, ,
2 2 ?S1 2 2 ?S2
2
?1 ? ?2
d 1? 1 1 ? ? 1? ?U
S3 + S4 (?1 ? ?2 ) ? S3 + S4 (?1 ? ?2 ) = ?
? ? ? ? ,
dt 2 4 2 2 4 ?S3
2
?1 ? ?2
d 1? 1 1 ? ? 1? ?U
S4 + S3 (?2 ? ?1 ) ? S4 + S3 (?2 ? ?1 ) = ? (27)
? ? ? ? ,
dt 2 4 2 2 4 ?S4
d 12 1? ?
S3 + S4 (?1 ? ?2 ) + (S3 S4 ? S3 S4 ) = 0,
2 2
S1 ?1 +
? ? ?
dt 4 2
d 12 1 ? ?
S3 + S4 (?2 ? ?1 ) + (S3 S4 ? S3 S4 ) = 0.
2 2
S2 ?1 +
? ? ?
dt 4 2
О симметрии, интеграле движения и некоторых частных решениях 571

Отметим, что если положить в уравнениях (27) S3 = S4 = 0, то приходим к
уравнениям, полученным в [2] для плоской задачи трех тел.
Если предположить, что S1 , S2 , S3 , S4 , ?1 , ?2 постоянны, то в этом случае
? ?
система дифференциальных уравнений (27) сводится к системе алгебраических
уравнений
3
2S1 S2 + S3 ? S4 S2 + 3?2 S1 ,
?2 2 2 2 2 2 2
S1 ?1 = ?1 3 S1 + S2 + S3 + S4 S1 +
2
3
2S1 S2 + S3 ? S4 S1 + 3?2 S2 ,
?2 2 2 2 2 2 2
S2 ?2 = ?1 3 S1 + S2 + S3 + S4 S2 +
2
S3 (?1 ? ?2 )2 = 8?1 3 S1 + S2 + S3 + S4 S3 +
2 2 2 2
? ?
3 (28)
2S1 S2 + S3 ? S4 S3 + 3S3 S4 + 24?2 S3 ,
2 2 2
+
2
S4 (?1 ? ?2 )2 = 8?1 3 S1 + S2 + S3 + S4 S4 +
2 2 2 2
? ?
32
S4 ? S3 ? 2S1 S2 S4 + 3S3 S4 + 24?2 S4 ,
2 2
+
2
12 12
S3 + S4 (?1 ? ?2 ) = C1 , S3 + S4 (?2 ? ?1 ) = C2 ,
2 2 2 2
S1 ?1 +
? ? ? S2 ?2 +
? ? ?
4 4
где C1 , C2 — постоянные интегрирования.
Разрешая систему (28), получаем частные решения уравнения (32), а значит, и
пространственной задачи трех тел (1).

1. Соколов Ю.Д., ДАН, 1945, 46, № 3, 99–102.
2. Егервари Е., ДАН, 1947, 55, № 9, 805–807.
3. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978, 400 с.
4. Газархи Л.А., Укр. мат. журн., 1956, 8, № 1, 5–11.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 572–577.

New symmetries and conservation laws
for electromagnetic fields
A.G. NIKITIN, W.I. FUSHCHYCH, V.A. VLADIMIROV

It is well known that classical conservation laws of energy, momentum, angular
momentum and center-of-energy movement of the electromagnetic field are the conse-
quences of the Maxwell equations invariance with respect to Poincare transformati-
ons. However, the relativistic invariance does not exhaust all symmetry properties of
these equations. A natural question arises whether there exist any other conservation
laws for electromagnetic fields different from those above. One could expect a positive
answer to this question to be obtained provided that Maxwell equations possess an
additional symmetry different from the relativistic and conformal invariances, because
the symmetry under the proper conformal transformations does not lead to any
new conserved quantities [1]. We will show in this paper that electromagnetic fi-
eld equations do possess an additional (nongeometric) symmetry with respect to the
GL(2) ? GL(2) group, which gives rise to new conservation laws.
1. It is well known [2] that the maximal symmetry group of Maxwell equations
?E ?H
= rot H, = ?rot E, div E = div H = 0 (1)
?t ?t
in the class of local transformations is the C(1, 3) ? H Lie group where C(1, 3) is
a 15-parameter conformal group [3, 4] and H is one-parameter Larmore–Heaviside–
Rainich transformation group [5–7]:
E > E cos ? + H sin ?,
(2)
H > H cos ? ? E sin ?.
In 1970 a method was proposed (hereafter cited as the non-Lie method) in which no
restrictions are imposed on the order of operators available by systems of differential
equations under consideration [8, 9]. By means of this method the existence of ad-
ditional invariances was established for many important equations of relativistic and
nonrelativistic physics [10–16]. As for the electromagnetic field equations, the results
of the investigations of their symmetry properties obtained within the framework of
the non-Lie method are formulated below in Theorems 1 and 2.
Let us rewrite Eqs.(1) in matrix form:
?
+ ?2 S · p,
L1 ? = 0, L1 = i
?t
(3)
E
L2 = p1 ? S · pS1 ,
L2 = 0, ?= ,
H
where
? ??
? ?
Sa 0 0 1
(4)
Sa = , ?2 = i , a = 1, 2, 3,
? ? ?
? 1 0
0 Sa
in Group-Theoretical Methods in Physics, Harwood, Harwood Academic Publishers, 1985, P. 497–505.
New symmetries and conservation laws for electromagnetic fields 573

? and ? are three-dimensional units and zero matrices, respectively, Sa are spin
1 0
?
matrices which correspond to spin s = 1, (Sa )bc = i?abc . Let us denote the set of
basic elements of a finite-dimensional Lie algebra by {QA }, A = 1, 2, . . . , j. The
{QA } form the invariance algebra (IA) of Maxwell equations if for every A = 1, . . . , j
operator QA is defined on the set of solutions of Eq.(3) and transforms this set into
itself, i.e., the following equations hold:

(5)
L1 QA ? = 0, L2 QA ? = 0,

<< Предыдущая

стр. 129
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>