<< Предыдущая

стр. 13
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ? x2
? ? x1
? ? x2
?
(22)
? ? ? ? ? ?
?
X (3) = t3 2
+ + 3t + + 6t + +
?x1 ?x2 ? x1
? ? x2
? ? x1
? ? x2
?
? ?
+6 + .
··· ···
? x1 ? x2
Учитывая (5) и (22), получаем уравнения
?f? ?f? ?f? ?f? ?f? ?f?
+ = 0, t + + + = 0,
?x1 ?x2 ?x1 ?x2 ? x1
? ? x2
?
?f? ?f? ?f? ?f? ?f? ?f?
t2 + + 2t + +2 + = 0,
?x1 ?x2 ? x1
? ? x2
? ? x1
? ? x2
?
(23)
?f? ?f? ?f? ?f? ?f? ?f?
3 2
t + + 3t + + 6t + +
?x1 ?x2 ? x1
? ? x2
? ? x1
? ? x2
?
?f? ?f?
+6 + = 0, ? = 1, 2.
··· ···
? x1 ? x2
Нетрудно проверить, что общие решения уравнений (23) задаются соотношениями
··· ···
f? ? f? t, x1 ? x2 , x1 , x2 , x1 , x2 , x 1 , x 2 ,
0
????
··· ···
f? ? f? t, x1 ? x2 , x1 ? x2 , x? ? x? t, x1 , x2 , x 1 , x 2 ,
1
? ? ? ??
··· ···
f? ? f? t, x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 , 2x? ? x? t, 2x? ? x? t2 , x 1 , x 2 ,
2
(24)
? ?? ? ? ?
··· ···
f? ? f? t, x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 , x 1 ? x 2 , 3x? ? x? t, 6x? ? x? t2 ,
3
? ?? ? ? ?
···
6x? ? x ? t3 , ? = 1, 2,
54 В.И. Фущич, Ю.Н. Сегеда, Г.А. Редченко

0 3
причем f? , . . . , f? предполагаются произвольными дифференцируемыми функция-
ми.
Итак, доказано следующее утверждение.
Теорема 5. Для инвариантности системы (2 ) относительно однопараметри-
ческих преобразований (3VII ) необходимо и достаточно, чтобы функции f1 и
f2 были дифференцируемыми и представлялись в виде (24).

1. Остроградский М.В., Мемуар о дифференциальных уравнениях, относящихся к изопериметри-
ческим задачам, Полн. собр. соч., Киев, Изд-во АН УССР, 1961, Т. 2, 359 с.
2. Кerner Е.Н., Hamiltonian Formulation of Action-at-a-Distance in Electrodynamics, J. Math. Phys.,
1962, 3, № 1, 35–42.
3. Kennedy F.J., Hamiltonian formulation of classical two-charge problem in straight-line approxima-
tion, J. Math. Phys., 1975, 16, № 9, 1844–1856.
4. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств систем дифференциальных урав-
нений в частных производных, В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике,
Киев, Ин-т. мат. АН УССР, 1978, 5–44.
5. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 55–67.

Уравнения движения для частиц
произвольного спина, инвариантные
относительно группы Галилея
А.Г. НИКИТИН, В.И. ФУЩИЧ
The first and the second order differential equations are derived which are invariant
under the Galilei group and describe the motion of a particle with arbitrary spin. These
equations admit the Lagrangian formulation and describe the dipole, spin-orbital and
Darwin couplings of a particle with external electromagnetic field which are consi-
dered traditionally as pure relativistic effects. The problem of the motion of spin 1/2
nonrelativistic particle in an external electromagnetic field is exactly solved.

Выведены системы дифференциальных уравнений первого и второго порядков, инва-
риантные относительно группы Галилея и описывающие движение частицы с прои-
звольным спином. Эти уравнения допускают лагранжеву формулировку и описывают
дипольное, спин-орбитальное и дарвиновское взаимодействия частицы с внешним
электромагнитным полем, которые традиционно считались чисто релятивистскими
эффектами. Приведены примеры бесконечнокомпонентных уравнений, инвариантных
относительно группы Галилея. Точно решена задача о движении нерелятивистской
частицы со спином s = 1/2 в однородном магнитном поле.

Введение
Релятивистские уравнения движения для частиц с произвольным спином вы-
зывают большой и устойчивый интерес физиков и математиков (см. [1] и цитиру-
емую там литературу). И в то же время имеется удивительно мало публикаций,
посвященных уравнениям, инвариантным относительно группы Галилея. Между
тем еще в 1954 г. Баргман [2] показал, что с помощью центрального расширения
группы Галилея понятие спина частицы может быть последовательно введено и в
нерелятивистскую квантовую механику.
В [3, 4] получены галилеевски-инвариантные дифференциальные уравнения
первого порядка, описывающие движение нерелятивистской частицы произвольно-
го спина. Эти уравнения описывают дипольное взаимодействие частицы с
внешним полем, но не учитывают такие хорошо известные физические эффекты,
как спин-орбитальное и дарвиновское взаимодействия.
В настоящей работе с использованием методики, разработанной в [1, 5, 6] для
вывода пуанкаре-инвариантных уравнений, получены галилеевски-инвариантные
уравнения движения для частицы с произвольным спином s, позволяющие опи-
сать указанные взаимодействия. Это достигнуто с помощью расширения группы
Галилея G до группы G? , включающей преобразование одновременного отражения
координат и времени. Полученные уравнения имеют шредингерову форму
??(t, x) ?
= Hs (p)?(t, x), pa = ?i (0.1)
i
?t ?xa
Теоретическая и математическая физика, 1980, 44, № 1, С. 34–46.
56 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

(где Hs (p) — некоторый дифференциальный оператор второго порядка, ? — 2(2s+
1)-компонентная волновая функция), допускают лагранжеву формулировку и опи-
сывают дипольное, спин-орбитальное, дарвиновское и квадрупольное взаимодей-
ствия частицы спина s с внешним электромагнитным полем. Это означает, в ча-
стности, что перечисленные взаимодействия, которые обычно вводятся как реля-
тивистские поправки, могут последовательно рассматриваться в рамках нереляти-
вистской квантовой механики.
В работе получены также галилеевски-инвариантные дифференциальные урав-
нения первого порядка, описывающие движение частицы с произвольным спином.
После минимальной замены pµ > ?µ ? eAµ эти уравнения также описывают спин-
орбитальное и дарвиновское взаимодействия частицы с полем. Приведен пример
бесконечнокомпонентных уравнений, инвариантных относительно группы Галилея.
1. Основные определения и постановка задачи
Группой Галилея G называется совокупность преобразований координат xa
(a = 1, 2, 3) и времени t следующего вида:

xa > xa = Rab xb + Va t + ba , t > t = t + b0 , (1.1)

где Rab — оператор трехмерного поворота, Va и bµ — произвольные действительные
параметры.
Представление группы G однозначно определяется заданием явного вида ин-
финитезимальных операторов Pµ , Ja и Ga , соответствующих сдвигам, поворотам
и собственно галилеевским преобразованиям координат.
Определение. Будем говорить, что уравнение (0.1) инвариантно относительно
группы Галилея, если гамильтониан Hs = P0 и генераторы Pa , Ja , Ga удовле-
творяют коммутационным соотношениям

(1.2а)
[Pa , Pb ] = 0, [Pa , Jb ] = i?abc Pc ,

(1.2б)
[Ga , Gb ] = 0, [Ga , Jb ] = i?abc Gc ,

(1.2в)
[Pa , Gb ] = i?ab M, [M, Pµ ] = [M, Ja ] = [M, Ga ] = 0,

(1.2г)
[Hs , Pa ] = [Hs , Ja ] = 0,

(1.2д)
[Hs , Ga ] = iPa , a, b = 1, 2, 3, µ = 0, 1, 2, 3.

Соотношения (1.2) определяют алгебру Ли группы Галилея. Алгебра (1.2) имеет
три инвариантных оператора (оператора Казимира)

2M C1 = 2M P0 ? Pa Pa , C2 = M,
(1.3)
C3 = (M Ja ? ?abc Pb Gc )(M Ja ? ?ade Pd Ge ).

Собственные значения операторов C1 , C2 и C3 ассоциируются с внутренней энер-
гией, спином и массой частицы, описываемой инвариантным уравнением (0.1).
Задачу нахождения всех возможных (с точностью до эквивалентности) гали-
леевски-инвариантных уравнений вида (0.1) мы решим в двух, вообще говоря,
Уравнения движения для частиц произвольного спина 57

неэквивалентных подходах. В подходе I задача формулируется следующим обра-
I
зом: найти все такие гамильтонианы Hs , чтобы операторы
?
Pa = pa = ?i
I I I
P 0 = Hs , ,
?xa (1.4)
= (x ? p)a + Sa , = tpa ? mxa +
I
GI ?I
Ja a a

удовлетворяли алгебре Ли расширенной группы Галилея (1.2). Здесь

sc 0
— цыкл (1, 2, 3); (1.5)
Sc = , (a, b, c)
0 sc

sc — генераторы неприводимого представления D(s) группы O(3), m — параметр,
задающий массу частицы, ?I — некоторые числовые матрицы, явный вид которых
a
мы определим ниже.
Формулы (1.4) задают общий вид генераторов группы Галилея, соответствую-
щих локальным преобразованиям 2(2s + 1)-компонентной волновой функции при
переходе к новой системе координат (1.1),

?(t, x) > ? (t , x ) = exp[if (t, x)]Ds (Rab , va )?(t, x), (1.6)

где Ds (Rab , va ) — некоторая числовая матрица, зависящая от параметров преобра-
зования (1.1), f (t, x) — фазовый множитель [2]:
1
f (t, x) = mva Rab xb + mva va . (1.7)
2
I
Мы убедимся ниже, что операторы Hs всегда могут быть выбраны такими, чтобы
уравнение (0.1) было инвариантно также относительно антиунитарного преобразо-
вания отражения координат и времени:

?(t, x) > r1 ?? (?t, ?x), 2
(1.8)
r1 = 1,

где r1 — некоторая матрица.
В подходе II задача сводится к определению всех возможных дифференциаль-
II
ных операторов Hs таких, чтобы генераторы
?
Pa = pa = ?i
II II II
P 0 = Hs , ,
?xa (1.9)
= (x ? p)a + Sa , = tpa ? ?3 mxa +
II
GII ?II
Ja a a

удовлетворяли алгебре (1.2). Здесь ?3 — одна из матриц Паули

?I
I 0 0 I 0 I 0
?0 = , ?1 = , ?2 = , ?3 = ,
?I
0 I I 0 I 0 0

I и 0 — (2s+1)-рядные квадратные единичная и нулевая матрицы, ?II — некоторые
a
операторы (в общем случае зависящие от pa ), которые нам также предстоит найти.
Можно показать, что формулы (1.9) задают общий вид генераторов группы G, при
котором уравнение (0.1) инвариантно относительно унитарного преобразования
?(t, x) > r2 ?(?t, ?x), r2 = ?2 .
58 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

Потребуем, чтобы генераторы (1.9) были эрмитовы относительно обычного при-
нятого в квантовой механике скалярного произведения

d3 x ?† ?2 . (1.10)
(?1 , ?2 ) = 1


Существенное отличие представления (1.4) от (1.9) состоит в том, что генера-
торы Hs , GI неэрмитовы относительно (1.10), но эрмитовы в гильбертовом про-

<< Предыдущая

стр. 13
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>