<< Предыдущая

стр. 14
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

I
a
странстве со скалярным произведением

d3 x ?† M ?2 ,
? (1.11)
(?1 , ?2 ) = 1


?
где M — некоторый положительно-определенный дифференциальный оператор,
?
или относительно индефинитной метрики, когда M в (1.11) — некоторая числовая
?
положительно-неопределенная матрица. Явный вид M будет найден ниже. Таким
образом, усложнение метрики — это та цена, которую приходится платить за
локальные преобразования (1.6) волновой функции. Аналогичная ситуация имеет
место и для релятивистских уравнений [1].
II
Потребуем, чтобы Hs удовлетворял условию
2
II
Hs = m + p2 /2m (1.12)
.
Это эквивалентно требованию, чтобы внутренняя энергия частицы совпадала с ее
массой.
Таким образом, задача нахождения галилеевски-инвариантных уравнений вида
(0.1) сводится к решению системы соотношений (1.2) для операторов (1.4) и (1.9).
2. Явный вид гамильтонианов Hs I

Решение задачи I приведем в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Все возможные (с точностью до эквивалентности) гамильтони-
I
аны Hs , удовлетворяющие совместно с генераторами (1.4) коммутационным
соотношениям (1.2), (1.4), задаются формулами
1
Hs = ?3 ?m ? 2i?k?1 S · p +
I
(2.1а)
Cab pa pb , a, b = 1, 2, 3,
2m
p2
?I ? 2?k(?2 ? i?3 )S · p, (2.1б)
Hs = ? 1 ? m +
?
2m
?
где Cab = ?ab ? 2?k 2 (?3 + i?2 )(Sa Sb + Sb Sa ), ?, k и k — произвольные параметры.
Доказательство. Определим сначала явный вид матриц ?I из (1.4). Из (1.2б)
a
I
получаем для ?a следующие уравнения:
[?I , ?I ] = 0, [?I , Sb ] = i?abc ?I , (2.2)
[Sa , Sb ] = i?abc Sc .
a b a c

Из (1.5), (2.2) заключаем, что матрицы ?I , не умаляя общности, можно предста-
a
вить в форме
?I = k(?3 + i?2 )Sa , (2.3)
a

где k — произвольный коэффициент.
Уравнения движения для частиц произвольного спина 59

Найдем общий вид гамильтониана Hs в представлении, где ?I = 0. Переход к
I
a
такому представлению осуществляется с помощью оператора [7]

V = exp i?I · p/m = 1 + i?I · p/m. (2.4)

Используя (2.4), получаем

Hs = V Hs V ?1 , Pa = V Pa V ?1 = pa ,
I I I I
(2.5)
Ja = V Ja V ?1 = Ja , GI = V GI V ?1 = tpa ? mxa .
a a

I
Из (2.5), (1.2) заключаем, что общий вид оператора Hs задается формулой
I
= p2 /2m + A, A = ?µ aµ m, (2.6)
Hs
где aµ — произвольные коэффициенты, причем, не умаляя общности, можно по-
ложить a0 = 0.
Можно показать, что с помощью преобразований, не изменяющих общего вида
I
?a (2.3), матрица A (2.6) сводится к одной из следующих форм:
или (2.7)
A = ?3 ?m A = ?1 ? m.
?
Подставив (2.7) в (2.6), с помощью преобразования, обратного (2.5), приходим
к формулам (2.1). Теорема доказана.
Формулы (2.1) задают нерелятивистские гамильтонианы для частиц с прои-
звольным спином. В случае s = 1/2, k = ?i, ? = 1 уравнение (0.1), (2.1а) может
быть записано в компактной форме
p2
(?µ p ? m) ? = (1 + ?4 ? ?0 )
µ
(2.8)
?,
2m
где ?0 = ?3 , ?a = ?2i?2 Sa , ?4 = i?0 ?1 ?2 ?3 — матрицы Дирака.
Отметим, что все гамильтонианы (2.1) принадлежат классу дифференциаль-
ных операторов второго порядка, что априори не требовалось. В рамках группы
Пуанкаре гамильтонианы частицы с произвольным спином бывают, как правило,
интегродифференциальными операторами [1, 5].
Параметры k, ? и ? всегда можно выбрать такими, чтобы уравнения (0.1), (2.1)
?
были инвариантны относительно антиунитарной операции отражения координат и
времени (1.8). Необходимым и достаточным условием такой инвариантности явля-
ется одновременное выполнение соотношений
? ? = ±?, k ? = ±k ?? = ?, k ? = k,
или (2.9)
? ?
при этом r1 = ?1 ?, если ? ? = ??, k ? = ?k или ? ? = ?, k ? = k, r1 = ?, если
?
? 0
? ? = ?, k ? = k, ? = , где ? — матрицы, определяемые с точностью
0?
до фазы соотношениями [8]
? sa = ?s? ? , (? )2 = (?1)2s .
a

Таким образом, при ограничениях на параметры ?, ? и k, задаваемых форму-
?
лами (2.9), уравнения (0.1), (2.1) инвариантны относительно расширенной группы
Галилея, включающей преобразования (1.8).
60 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

Гамильтонианы (2.1) и операторы (1.4), (2.3) неэрмитовы в скалярном произве-
?
дении (1.10). Однако эти операторы эрмитовы в метрике (1.11), где M — положи-
тельно-определенный оператор
+
M = V ?1 V ?1 = 1 + [i(k ? k ? )?3 ? (k + k ? )?2 ]S · p/m+
?
(2.10)
+2(k ? k)(1 + ?1 )(S · p)2 /m2 .

Кроме того, если ?, k и ? удовлетворяют условиям (2.9), гамильтонианы (2.1)
?
эрмитовы в индефинитной метрике вида (1.11), когда

если ? ? = ?, k ? = k, ? ? = ??,
?3 , ?
? (2.11)
M =?=
если ? = ??, k = ?k, ? ? = ??.
? ?
?2 , ? ?

Если выполняется (2.11), то уравнения (0.1), (2.1) могут быть получены с по-
мощью вариационного принципа. Соответствующие лагранжианы имеют вид
?
i
? ?? ? ? ? ? ? ?m??3 ?? ?
L(t, x) = ?
2 ?t ?t
(2.12а)
? ?
?? ?? 1 ?? ??
?
??k ??1 Sa ? ? 1 Sa ? ? Cab ,
?xa ?xa 2m ?xa ?xb
I
когда Hs задается формулой (2.1а), и
?
i
? ?? ? ? ? ? ? 2i?m??1 ?+
??
L(t, x) = ?
2 ?t ?t
(2.12б)
? ?
?? ?? 1 ? ? ??
??
+2?k ?(?2 ? i?3 )Sa ? (?2 ? i?3 )Sa ? ? ,
?xa ?xa 2m ?xa ?xb

если гамильтониан имеет вид (2.16). Здесь ? = ?† ?.
?
Лагранжианы (2.12) являются скалярами относительно преобразований (1.1),
(1.6), где

Ds (Rab , Va ) = 1 + i?I · v Ds (Rab ), (2.13)

где Ds (Rab ) — матрицы, реализующие прямую сумму двух неприводимых пред-
ставлений D(s) ? D(s) группы SO(3).
3. Явный вид гамильтонианов Hs II

Решим задачу II, т. е. найдем дифференциальные операторы, удовлетворяющие
совместно с (1.9) соотношениям (1.2), (1.12).
Теорема 2. Все возможные (с точностью до преобразований эквивалентно-
II
сти) дифференциальные операторы Hs , которые эрмитовы в метрике (1.10) и
удовлетворяют условиям (1.2), (1.9), (1.12), задаются формулами

p2 (Sa Sb + Sb Sa )pa pb
?
II
sin2 ?s +
Hs = ?3 m +
2mS 2
m
(3.1)
v S·p p2 bs
+?2 2 sin ?s + ?1 as + (Sa Sb + Sb Sa )pa pb ,
2m 4ms2
S
Уравнения движения для частиц произвольного спина 61

где
a1/2 = sin 2?1/2 , b1/2 = 0, a1 = 1, b1 = sin 2?1 ,
1/2
5 1 3 1
a3/2 = b3/2 ? sin 2?3/2 = ? sin 2?3/2 ? sin ?3/2 1 ? sin2 ?3/2 ,
4 8 4 9
as = bs = ?s = 0, s > 3/2,
а ?1/2 , ?1 , ?3/2 — произвольные действительные параметры.
II
Доказательство. Прежде всего покажем, что операторы Hs могут включать прои-
N
II
зводные не выше второго порядка. Действительно, пусть Hs = Hi , где Hi
i=0
содержит производные только i-го порядка, тогда из (1.12) получаем
+
или если N > 2. (3.2)
HN H N = H N H N = 0 HN = 0,
II
Представим искомые дифференциальные операторы Hs в виде разложения по
спиновым матрицам и 2(2s + 1)-рядным матрицам Паули (1.9):
s
s (S · p)
p2 2
+ cµ S · p + dµ
II
as m bs s
(3.3)
Hs = + ?µ ,
µ µ
2m 2m
µ=0

где as , bs , cs , ds — произвольные действительные коэффициенты. Используя опе-
µ µ µ µ
раторы ортогонального проектирования [1, 5]
(S · p)p?1 ? r
r, r = ?s, ?s + 1, . . . , s,
?r = ,
r?r
r =r
l
S·p
?r · ?r = ?rr , l
?r = 1, r ?r = ,
p
r r
II
Hs можно переписать в виде
3 s
p2
II
as m bs r 2 ds + rpc2 ?µ ?r . (3.4)
Hs = + +
µ µ µ µ
2m

<< Предыдущая

стр. 14
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>