<< Предыдущая

стр. 15
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

µ=0 r=?s

Операторы (3.4), очевидно, удовлетворяют условиям (1.2г), (1.10). Потребуем,
чтобы выполнялось (1.12). Подставив (3.4) в (1.12), используя ортогональность
операторов ?r и приравнивая независимые слагаемые, получаем, что as , bs , cs , ds
µ µ µ µ
должны удовлетворять одной из следующих систем уравнений:
3 3
2 2
(as ) r2 (cs ) + as bs + r2 ds
= 0, = 1,
i i i i i
i=1 i=1
r 3 3 (3.5)
2
rcs bs r 2 ds rcs as bs r 2 ds
+ = 0, = 0, + = 1,
i i i ii i i
i=1 i=1 i=1

as = bs = ds = cs = 0
0 0 0 0
или
as = bs = 1, ds = cs = as = cs = ds = 0, (3.6)
i = 1, 2, 3.
0 0 0 0 i i i
62 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

Общее решение уравнений (3.5), (3.4) (с точностью до преобразований эквива-
лентности, осуществляемых числовыми матрицами) и задается формулами (3.1).
Можно показать, что решение (3.6) несовместно с (1.2а), (1.2б) и (1.2д).
Для завершения доказательства теоремы достаточно теперь указать явный вид
операторов ?II , при котором операторы (1.8) удовлетворяют соотношениям (1.2б),
a
(1.2д). Нетрудно убедиться, что ?II можно выбрать в форме
a

?II = [U, ?3 xa ]U + , (3.7)
a

где

1 II 1
II
E = m + p2 /2m,
II (3.8)
U = E + ? 3 Hs 2E E + Hs ?3 + ?3 Hs ,
2 2

— оператор, диагонализующий гамильтонианы (3.1) и генераторы (1.8):

U † Hs U = ?3 E, U † Ga U = tpa ? ?3 mxa .
II
(3.9)

Теорема доказана.
В случае ?1/2 = ?/4 уравнение (0.1), (3.1а) принимает особо простой вид
(ср. 2.8):

p2
µ
(3.10)
(?µ p + m) ? = i?4 ?.
2m
Уравнение (3.10) отличается от релятивистского уравнения Дирака только наличи-
ем слагаемого в правой части, которое, очевидно, нарушает инвариантность отно-
сительно группы Пуанкаре, но сохраняет инвариантность относительно группы
Галилея.
4. Нерелятивистская частица во внешнем электромагнитном поле
Для того, чтобы перейти к описанию движения заряженной частицы во вне-
шнем электромагнитном поле, сделаем в уравнении (0.1) обычную замену

pµ > ?µ = pµ ? eAµ , (4.1)

где Aµ — четырехвектор-потенциал внешнего поля. В результате приходим к урав-
нениям
?
?(t, x) = Hs (?, A0 )?(t, x),
?
? = I, II, (4.2)
i
?t
?
где Hs (?, A0 ) — один из гамильтонианов, полученных из (2.1), (3.1) заменой (4.1):

?2
? 2i?k?1 S · ? + eA0 ?
I
Hs (?, A0 ) = ?3 ?m +
2m
(4.3а)
?k 2 1
?(?3 + i?2 ) (S · ?)2 + eS · H ,
m 2

?2
?I ? 2?k(?2 ? i?3 )S · ? + eA0 , (4.3б)
Hs (?, A0 ) = ?3 ? m +
?
2m
Уравнения движения для частиц произвольного спина 63

?2 (S · ?)2 S·H
? sin2 ?s ? e
II
sin2 ?s +
Hs (?, A0 ) = ?3 m + 2 2
2m ms 2ms
(4.3в)
v S·?
?2 (S · ?)2 S·H
+?1 as + bs + ebs + ?2 2 sin ?s + eA0 .
2ms2 4ms2
2m s

В формулах (4.3) Ha = ?i?abc ?b ?c — напряженность магнитного поля.
Уравнения (4.2), (4.3), очевидно, инвариантны относительно калибровочных
преобразований. Кроме того, как и до введения взаимодействия уравнения (4.3)
с гамильтонианами (4.3а), (4.3б) инвариантны относительно преобразований из
группы Галилея (1.6), (2.13), если вектор-потенциал преобразуется по закону [3]
Ab > Ab = Rbc Ac , A0 > A0 = A0 + va Aa . (4.4)
Анализ уравнений (4.2) удобно производить в представлении, в котором опе-
раторы (4.3) квазидиагональны (т.е. коммутируют с одной из ?-матриц). Как и
в случае уравнения Дирака, гамильтонианы (4.3) могут быть диагонализованы
только приближенно. Ниже мы осуществим такую диагонализацию и представим
гамильтониан частицы с произвольным спином в виде ряда по степеням 1/m,
удобном для вычислений с использованием теории возмущений.
Диагонализация гамильтонианов (4.3) с точностью до членов порядка 1/m2
осуществляется с помощью операторов
?
1 ?Bs
V ? = exp iCs + ?3
?
exp (iBs ) exp (iA? ) ,
?
? = I, II,
s
2? ? m ?t (4.5)
? ?? ?? ?s
V ? = exp iCs exp iBs exp iA? ,

где
v
S·? 2 sin ?s
AI = ?i?2 k AII = ??1 S · ?, ?I ? II = 1,
, = ?,
s s
m 2ms
k 1 e
[S · ?, ? 2 ] + ik[2(S · ?)2 + eS · H] + S·E ,
I
Bs = ?1 2
2m 2? ?
k2 2ik
? (S · ?)2 + iek[S · ?, S · H]+ + [(S · ?)2 , eA0 ] ,
I
Cs = ?2
m2 3
v
1 bs e 2 sin ?s
as ? 2 + 2 [2(S · ?)2 + eS · H] + S·E ,
II
Bs = ?2
4m2 2s s
v
e sin2 ?s
1 2 sin ?s
S · ?, ? ? S·H ?
II 2
Cs = ?1
8m3 s2
s +
v
4 2 sin3 ?s iebs
? (S · ?)3 ? ieas [? 2 , A0 ] ? 2 [(S · ?)2 , A0 ] ,
3
s s
S·? k
?s ?I
AI = ?ik(?2 ? i?3 ) (?2 ? i?3 )S · E,
, Bs =
2?m2
m
?I
? I = ? ik (?2 ? i?3 )[? 2 , S · ?] ? i ? Bs .
Cs
4?m3
? 2?m ?t
?
64 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

Непосредственным вычислением получаем
?2
Hs (?, A0 )(V ? )?1
? ? ? ? ?
[Hs (?, A0 )] =V =A m+B + eA0 +
2m
S·H e e
D? S · (? ? E ? E ? ?) + F ? s(s + 1) div E+
+?3 eC ? + 2 2
m 4m 6m
(4.6)
?
L? e
1 ?Ea n ?Ha 1
+ 2 S · (? ? H ? H ? ?) + 2 Qab
G? Qab
+ +o ,
12m2 m3
?xb m m ?xb
?2
?1 1
?I ? ?I ?
= V I Hs V I
Hs (?, A0 ) = ?3 ? m +
? + eA0 + o .
m3
2m
где
C I = ??k 2 ,
AI = ?3 ?, B I = 1,
(4.7а)
?DI = F I = GI = k 2 , nI = ?3LI = ?k 3 ,
sin2 ?s
A = B = ?3 , ?C = D = ?F = ?G =
II II II II II II
,
2s2
v v
2 sin ?s bs 2bs sin ?s (4.7б)
?as + 2 ,
nII = LII = ,
24s2
2s 4s
Qab = (e/2){3[Sa , Sb ]+ ? 2?ab s(s + 1)}.
Операторы (4.6), (4.7) содержат слагаемые, соответствующие дипольному (? S ·
H), спин-орбитальному (? S · (? ? E ? E ? ?)), квадрупольному (? Qab ?Ea /?xb )
и дарвиновскому (? div E) взаимодействиям частицы с полем. Два последних сла-
гаемых в (4.6), (4.7) можно интерпретировать как магнитное спин-орбитальное
и магнитное квадрупольное взаимодействия. Аналогичную структуру имеют при-
ближенные гамильтонианы, полученные из релятивистских уравнений [5, 6]. В
случае s = 1/2, ? = 1, k 2 = ?1, ?s = ?/4 семь первых слагаемых в (4.6), (4.7)
совпадают с гамильтонианом Фолди–Вуйтхойзена [9], полученным при диагонали-
зации уравнения Дирака. Таким образом, в приближении 1/m2 нерелятивистские
уравнения (4.2), (4.6), (4.7) описывают движение частицы со спином s = 1/2 во
внешнем электромагнитном поле с той же точностью, что и релятивистское урав-
нение Дирака.
Отметим, что для некоторых классов внешних полей уравнения (4.2) могут
быть решены точно. Приведем без доказательств собственные значения гамильто-
ниана (4.3б) для частицы со спином, взаимодействующей с постоянным одноро-
дным магнитным полем [10]
II
H1/2 (?, A0 )??s3 np3 = E?s3 np3 ??s3 np3 ,
2 2
? 2 + p2 eH3
3
2 2
p2
E?s3 np3 = ? m + ? + + + +
3 2
4m 2m
?1/2
?
1/2
2
2
+ p2
?
eH3 3
m2 cos2 2?1/2 + ? 2 +

<< Предыдущая

стр. 15
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>