<< Предыдущая

стр. 16
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

+? ,
?
4m2
m

где ? 2 = (2n + 1)eH3 , H1 = H2 = 0, n = 0, 1, 2, . . ., ? = ±1, s3 = ±1/2.
Уравнения движения для частиц произвольного спина 65

5. Уравнения первого порядка
Остановимся вкратце на задаче описания галилеевски-инвариантных диффе-
ренциальных уравнений вида

pµ ? i?/?xµ ,
F = ?µ pµ + ?5 m, (5.1)
F ? = 0,

где ?µ , ?5 — некоторые числовые матрицы.
Уравнение (5.1) по определению инвариантно относительно группы Галилея,
если выполняются соотношения

(5.2)
[F, QA ] = fA F, A = 1, 2, . . . , 10,

где через QA обозначен произвольный генератор группы G : {QA } = {P0 , Pa , Ga ,
Ja }, а через fA — некоторые операторы, определенные на множестве решений
уравнения (5.1).
Полагая fA ? 0 и выбирая генераторы Pµ , Ja , Ga в форме (1.4), где Sa и ?a —
произвольные матрицы (что соответствует локальным преобразованиям Галилея
(1.6) для функции ?), получаем из (5.2) следующую систему перестановочных
соотношений для матриц ?µ , ?4 , ?a , Sa :

[Sa , ?5 ] = [Sa , ?0 ] = 0, [Sa , ?b ] = i?abc ?c ,
(5.3)
[?a , ?5 ] = i?a , [?a , ?b ] = i?ab ?0 , [?a , ?0 ] = 0,

где ?a , Sa — матрицы, удовлетворяющие соотношениям (2.2).
Таким образом, задача описания галилеевски-инвариантных уравнений вида
(5.1) сводится в нашей постановке к нахождению матриц Sa , ?a , ?5 , ?a , удовле-
творяющих условиям (2.2), (5.3).
Приведем частное решение системы (2.2), (5.3), позволяющее получить урав-
нения вида (5.1) для нерелятивистских частиц произвольного спина. Обозначим
через Skl , k, l = 1, 2, 3, 4, 5, 6, генераторы неприводимого представления группы
SO(6). Тогда матрицы

1 1
Sa = ?abc Sbc , ?a = (iS6a + S5a ), a = 1, 2, 3
2 2 (5.4)
?5 = 2(I + iS46 ? S45 )
?a = 2S4a , ?0 = iS46 + S45 ,

удовлетворяют коммутационным соотношениям (2.2), (5.3), т.е. формулы (5.4) да-
ют решение поставленной задачи.
Полагая в (5.1), (5.4) Skl = (i/4)[?k , ?l ], S6k = 1 ?k , где ?k — эрмитовы четыре-
2
хрядные матрицы Дирака, получаем уравнение, эквивалентное уравнению Леви–
Леблонда [3] для частицы со спином s = 1/2. Выбирая иные представления алге-
бры Ли группы SO(6), получаем из (5.1), (5.4) уравнения для частиц с другими
значениями спина.
Уравнения (5.1), (5.4), как и уравнения второго порядка, рассмотренные выше,
позволяют описать спин-орбитальное взаимодействие частицы с внешним полем.
?? ? ?
Так, например, полагая Skl = i[?k , ?l ], S6k = ?k , где ?k — десятирядные матри-
цы Кеммера–Деффина–Петье (которые могут быть выбраны, скажем, в форме,
приведенной в монографии [12]), и делая в (5.1) замену pµ > ?µ , где ?a = pa ,
66 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

?0 = p0 ? eA0 , мы получаем после несложных, но несколько громоздких вычисле-
ний, уравнение для трехкомпонентной волновой функции ?(3)
?2 S·E
? (3) (3)
(5.5)
i ? = H? , H =m+ + eA0 + e ,
?t 2m 4m
где Sa — спиновые матрицы для s = 1. Посредством преобразования H > H =
V HV ?1 , где V = exp(iS · ?/m), гамильтониан (5.5) приводится к форме, аналоги-
чной (4.6),
?2 1
+ eA0 ? [S · (? ? E ? E ? ?)?
H=
32m2
2m
(5.6)
1 ?Ea 4 1
? Qab ? div E + o .
m3
3 ?xb 3
Оператор (5.6), как и (4.6), (4.7), содержит слагаемые, описывающие дарви-
новское, спин-орбитальное и квадрупольное взаимодействия частицы с внешним
электрическим полем.
6. Заключительные замечания
1. Выше получены системы дифференциальных уравнений первого и второго
порядков, которые инвариантны относительно преобразований Галилея и калибро-
вочных преобразований и описывают дипольное, квадрупольное, спин-орбитальное
и дарвиновское взаимодействия частицы произвольного спина с внешним электро-
магнитным полем. Перечисленные взаимодействия, таким образом, не являются
чисто релятивистскими эффектами и могут последовательно рассматриваться в
рамках нерелятивистской квантовой механики (см. также [10, 11]).
2. Уравнения (2.8), (3.10) имеют такую структуру, что левая часть их совпа-
дает с релятивистским уравнением Дирака, а в правой части содержатся члены,
которые нарушают симметрию относительно группы Пуанкаре и обеспечивают
инвариантность уравнения относительно группы Галилея. Такой способ наруше-
ния пуанкаре-симметрии является одним из возможных подходов для получения
галилеевски-инвариантных уравнений движения частиц с произвольным спином.
Так, исходя из релятивистских уравнений без лишних компонент, выведенных в
[1, 6], с помощью добавления членов, нарушающих пуанкаре-инвариантность, но
сохраняющих симметрию относительно группы E(3), можно получить уравнения
(1.2), (2.1а).
3. Уравнения вида (0.1) и (5.1), конечно, не исчерпывают всех возможных ли-
нейных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно группы Гали-
лея. Так, например, для описания движения нерелятивистской частицы со спином
s = 1 можно использовать галилеевски-инвариантный аналог уравнений Прока
2mp0 ? p2 ?? = 0, ? = 0, 1, 2, 3,
m?0 ? pa ?a , a = 1, 2, 3.
4. Неэрмитовость генераторов (1.4) относительно обычного скалярного прои-
зведения (1.10) обусловлена неэрмитовостью конечномерных представлений алге-
бры (2.2) (которая изоморфна алгебре Ли группы Евклида E(3)). Аналогичная
ситуация имеет место и в релятивистской теории, где на решениях конечномер-
ных по спиновым индексам уравнений движения всегда реализуются неунитар-
ные представления однородной группы Лоренца, а требование унитарности этих
Уравнения движения для частиц произвольного спина 67

представлений приводит к бесконечнокомпонентным уравнениям. Поэтому пред-
ставляет интерес рассмотреть бесконечнокомпонентные уравнения, инвариантые
относительно группы Галилея. Приведем пример таких уравнений.
?
Обозначим через Sµ? (µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4, 5) генераторы унитарного бесконечно-
мерного представления группы O(1, 5). Тогда уравнение в форме (5.1), (5.4), где
? ?
Skl = Skl (k, l = 1, 2, 3, 4, 5), S6k = iS0k , инвариантно относительно группы Гали-
лея.

1. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1978, 9, 501.
2. Bargman V., Ann. Math., 1954, 59, 1;
Hammermesh M., Ann. Phys., 1960, 9, 518.
3. Levi-Leblond J.-M., Commun. Math. Phys., 1967, 6, 286.
4. Hurley W.J., Phys. Rev. D, 1974, 7, 1185.
5. Фущич В.И., Грищенко А.Л., Никитин А.Г., ТМФ, 1971, 8, 192.
6. Никитин А.Г., Фущич В.И., ТМФ, 1978, 34, 319.
7. Никитин А.Г., Салогуб В.А., УФЖ, 1975, 20, 1730.
8. Foldy L.L., Phys. Rev., 1956, 102, 568.
9. Foldy L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 68, 29.
10. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., Lett. Nuovo Cim., 1975, 14, 483;
Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cim., 1976, 16, 81.
11. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., Rep. Math. Phys., 1978, 13, 175.
12. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б., Квантовая электродинамика, Наука, 1969, 176.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 68–74.

Галилеевски инвариантные уравнения
движения со спин-орбитальным
взаимодействием
А.Г. НИКИТИН, В.И. ФУЩИЧ

Хорошо известно, что если в релятивистское уравнение Дирака для электрона
ввести взаимодействие с внешним электромагнитным полем и затем приближенно
1
(с точностью до членов m2 ) диагонализировать гамильтониан с помощью серии
преобразований Фолди–Воутхойзена, то оператор энергии будет иметь вид [1]

(1)
H = H1 + H 2 + H 3 + H 4 ,

где
?2
(2)
H1 = ?0 m + + eA0
2m
описывает взаимодействие точечного заряда с электромагнитным полем,
e
H2 = ? ?0 ? · H — (3)
2m
дипольное взаимодействие,
e
H3 = ? ? · (? ? E ? E ? ?) — (4)
8m2
спин-орбитальное взаимодействие,
e
H4 = ? div E — (5)
m2
дарвиновское взаимодействие. Здесь ? = (?1 , ?2 , ?3 ) — матрицы Паули, ?0 — диа-
гональная матрица Дирака, ? = p ? eA.
Каждый член в формуле (1) имеет четкую физическую интерпретацию.
В 1954 г. Баргман [2] показал, что спин частицы можно последовательно ввести
в нерелятивистскую квантовую механику, если рассмотреть центральное расшире-
ние группы Галилея. В связи с этим результатом возникает задача об отыскании
уравнений движения для частицы с произвольным спином s, инвариантных отно-
сительно расширенной группы Галилея, с помощью которых можно бы описать,
например, поведение электрона во внешних электромагнитных полях. Другими
словами эту задачу можно сформулировать так: описать уравнения движения в
рамках релятивистской квантовой механики для частиц со спином, которые подо-
бно уравнению Дирака приводили бы к гамильтониану типа (1). Первые результа-
ты в этом направлении получил Леви-Леблонд [3] для частицы со спином s = 1 , 2

Труды международного семинара “Теоретико-групповые методы в физике”, Звенигород, 28–30 но-
ября 1979 г., Москва, Наука, 1980, Т.2, С. 35–41.
Галилеевски инвариантные уравнения движения 69

а затем Хатен и Герлей [4] для частицы с произвольным. спином. Эти уравне-
ния представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка.
После введения взаимодействия в такие уравнения получаем гамильтонианы ти-
па (1), в которых, однако, отсутствуют члены, описывающие спин-орбитальное и
дарвиновское взаимодействия (т.е. члены типа H3 и H4 ).
Во многих книгах и статьях утверждается, что спин-орбитальное и дарвинов-
ское взаимодействия — чисто релятивистские эффекты. В дальнейшем будет по-
казано, что такое широко распространенное утверждение ошибочно, поскольку
указанные взаимодействия могут быть описаны с помощью уравнений, инвариан-
тных относительно группы Галилея. Вывод и анализ таких уравнений и является
целью настоящей работы.
Перейдем к формулировке нашей задачи. Группой Галилея G называется со-
вокупность преобразований координат xa (a = 1, 2, 3) и времени t следующего
вида

xa > xa = Rab xb + Va t + ba , t > t = t + b0 , (6)

где Rab — оператор трехмерного поворота, Va , bµ — произвольные действительные
параметры.
Мы рассмотрим два класса уравнений, инвариантных относительно преобразо-
ваний (6), а именно системы дифференциальных уравнений в частных произво-
дных первого и второго порядка. Наиболее общий вид уравнения первого порядка
задается формулой
?
pµ = ?i
L(1) ?(, x) = 0, L(1) = ?µ pµ + ?5 m, (7)
,
?xµ

где ?µ — матрицы, подлежащие определению, ? — столбец функций с компонен-
тами (?1 , ?2 , . . . , ?n ).
Уравнение второго порядка ищем в виде
?
? H(p),
L(2) ?(t, x) = 0, L(2) = i
?t
(8)
1
H(p) = A0 + Ab pb + Abc (pa pb + pb pa ),
2
A0 , Ab , Abc — матрицы, которые будут определены из условия галилеевской инва-
риантности.
Определение. Будем говорить, что уравнение (7) (или (8)) галилеевски инва-
риантно, если на множестве решений этих уравнений выполняются условия

[L(n) , Pµ ]? = [L(n) , Ja ]? = [L(n) , Ga ]? = [L(n) , M ]? = 0, (9)
n = 1, 2,

где Pµ , Ga , Ja , M — генераторы группы Галилея, удовлетворяющие коммута-
ционным соотношениям

[Pa , Pb ]? = [P0 , Pa ]? = [P0 , Ja ]? = [Ga , Gb ]? = [M, P0 ]? = [M, Pa ]? =
(10)
= [M, Ja ]? = [M, Ga ]? = 0, [Pa , Jb ]? = i?abc Pc , [Ga , Jb ]? = i?abc Gc ,
[Ja , Jb ]? = i?abc Jc , [Pa , Gb ]? = i?ab M, [P0 , Ga ]? = iPa .
70 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

11-мерная алгебра Галилея (10), как известно имеет три инвариантных опера-
тора (операторы Казимира)
Pa Pa
C1 = P0 ? , C2 = M,
2M (11)
C3 = (M Ja ? ?abc Pb Gc )(Ma ? ?abc Pb Gc ),
собственные значения которых ассоциируются с внутренней энергией, массой и
квадратом спина частицы.
Из условия инвариантности (9) относительно алгебры (10), а значит и груп-
пы Галилея, видно, что, задавшись некоторым представлением алгебры (10), мо-
жно описать широкий класс галилеевски инвариантных уравнений движения. В
работе [5] в аналогичной постановке решена задача об описании уравнений, ин-
вариантных относительно группы Пуанкаре. Будем исходить из следующей явной
структуры для генераторов Pµ , Ga , Ja , M :
? ?
Pa = pa = ?i
P0 = i , , M = m,

<< Предыдущая

стр. 16
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>