<< Предыдущая

стр. 17
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?t ?xa (12)
Ja = (x ? p)a + Sa , Ga = tpa ? mxa + ?a ,
где Sa — матрицы, реализующие приводимое представление алгебры O(3), ?a —
некоторые пока неизвестные числовые матрицы.
Операторы (12) порождает обычные локальные преобразования для волновой
функции, т.е.
?(t, x) > ? (t , x ) = exp[if (t, x)]Ds (Rab , Va )?(t, x),
где Ds (Rab , Va ) — некоторая числовая матрица, зависящая от параметров преобра-
зования Галилея (6),
1
f (t, x) = mRab Va xb + mV 2 t.
2
Подставив (7), (8), (12) в (9) и приравняв коэффициенты при линейно неза-
висимых слагаемых, получаем систему коммутационных соотношений для матриц
Sa , ?a , ?µ , Aµ , Abc :
[Sa , Sb ]? = i?abc Sc , [Sa , ?b ]? = i?abc ?c , [?a , ?b ]? = 0,
(13)
[?a , ?b ]? = i?ab ?0 , [?0 , Sa ]? = 0, [?a , ?0 ]? = 0,
(13 )
[?5 , Sa ]? = 0, [?a , ?5 ]? = i?a , [?a , Sb ]? = ?abc ?c ,
[?a , A0 ]? = iAa , [A0 , Sa ]? = 0, [Aa , Sb ]? = i?abc Ac ,
(13 )
[?a , Abc ]? = 0, [?a , Ab ]? = i(?ab + 2Aab ),
[Aab , Sc ]? = i(?acd Adb + ?bck Aak ).
Таким образом, задача об описании галилеевских уравнений первого и второго
порядков сводится к решению коммутационных соотношений (13), (13 ), (13 ).
Сначала опишем уравнения вида (8). Для этой цели используем следующую
структуру для матриц Sa и ?a :
sa 0
?a = ?(?2 ? i?3 )Sa , (14)
Sa = ,
0 sa
Галилеевски инвариантные уравнения движения 71

где sa — генераторы неприводимого представления D(s) группы O(3), ?a — ма-
трицы Паули:
?I
0 I 0 I 0
?1 = , ?2 = , ?3 = ,
?I
I 0 I 0 0

I и 0 — (2s + 1)-рядные единичные и нулевые матрицы.
Поскольку матрицы Sa и ?a имеют размерность 2(2s+1)?(2(2s+1), то волновая
функция ?(t, x) в уравнениях (8) имеет 2(2s + 1) компонент, что соответствует
числу степеней свободы для частицы и античастицы.
Не приводя здесь детального решения коммутационных соотношений (13),
(13 ), сформулируем только окончательный результат.
Теорема. Все возможные (с точностью до эквивалентности) матрицы Aµ ,
Aab , удовлетворяющие соотношениям (13), (13 ), задаются формулами
Ab = AI = ?2??1 Sb ,
A0 = AI = ?3 ?m,
0 b
(15)
?
= [?bc ? 2(?3 + i?2 )]
Abc = AI Sb Sc ,
bc
2m
или
Ab = AII = ?2?(?2 ? i?3 )Sb ,
A0 = AII = ?3 ? m, Aab = AII = ?ab , (16)
? ?
0 b ab

где ? и ? — произвольные постоянные.
?
Уравнение (8) с матрицами (15) описывает свободное движение нерелятивист-
ской частицы с произвольным спином s, массой m и внутренней энергией ±?m.
В том случае, когда спин s = 1 , ? = 1, уравнение (7) может быть записано с
2
использованием матриц Дирака
p2
(?µ pµ ? m) ?(t, x) = (1 ? ?0 + ?4 ) (17)
?(t, x),
2m
где ?0 = ?3 , ?a = ?2i?2 Sa , ?4 = i?0 ?1 ?2 ?3 .
Из (17) видно, что если к уравнению Дирака добавить оператор второго порядка
p2
вида ? (1 ? ?0 + ?4 ) 2m , то релятивистское уравнение превращается в уравнение,
инвариантное относительно группы Галилея.
Покажем теперь, что уравнения (8) с матрицами (15) и (16) могут быть успе-
шно использованы для описания движения заряженной частицы со спином во
внешнем электромагнитном поле. Действительно, сделав в (8), (15) стандартную
замену pµ > ?µ = pµ ? eAµ , где Aµ — вектор-потенциал электромагнитного поля,
приходим к уравнению
?
? H(?) ?(t, x) = 0, (18)
i
?t

?2 ? 1
? 2??1 S · ? ? (?3 + i?2 ) (S · ?)2 ? S · H + eA0 .(19)
H(?) = ?3 ?m +
2m m 2

Уравнение (19) инвариантно относительно преобразований Галилея. При этом

Ds (Rab , Va ) = (1 + i? · V )Ds (Rab ),
72 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

Ds (Rab ) — матрицы, реализующие представление группы O(3), а вектор-потенци-
ал преобразуется по правилу
Ab > Ab = Rbc Ac , A0 > A0 = A0 + Rab Va Ab .
Такие преобразования для Aµ образуют представление группы Галилея. Для того,
чтобы показать, что гамильтониан (19) описывает спин-орбитальное и дарвинов-
ское взаимодействия, необходимо, как и в случае уравнения Дирака, приближенно
диагонализировать H(?). Такая диагонализация может быть осуществлена с по-
мощью оператора
(20)
V = exp(iC) exp(iB) exp(iA),
где
1
A=? ?2 (S · ?),
m
?i[(S · ?)2 ? 1 S · H] [S · ?, ? 2 ]? S·E
1
B = ? 2 ?1 ?
2
+ , (21)
m 2 4? 2?
1 2
?2 ? (S · ?)2 + [S · ?, S · H]+ ? [(S · ?)2 , eA0 ] .
C=
m3 3
Преобразованный гамильтониан имеет вид

S·H
?2
?1
+ eA0 ? ??3 ?
H (?) = V H(?)V = ?3 ?m +
2m m
e e e ?Ea
? 2 S · (? ? E ? E ? ?) + s(s + 1) div E + (22)
Q +
2 ab ?x
2
4m 6m 3m b
?e 1 ?e ?Ha 1
+ 2 S · (? ? H ? H ? ?) ? Q +o ,
2 ab ?x m3
m 3m b

где
1
Qab = ? {3[Sa , Sb ]+ ? ?ab s(s + 1)} —
2
тензор квадрупольного взаимодействия.
Гамильтониан (22) содержит те же члены, что и оператор Дирака (1) плюс
три дополнительных слагаемых. Для s = 1 , ? = 1 семь первых слагаемых в
2
(22) в точности совпадают с гамильтонианом Дирака (1) в представлении Фолди–
Воутхойзена.
Два последних члена гамильтониана (22) (которые можно интерпретировать
как магнитное спин-орбитальное и магнитное квадрупольное взаимодействие) не-
инвариантны относительно преобразований пространственной инверсии P
x > ?x, t > t, H(x, t) > H(?x, t).
Причиной появления таких P -неинвариантных членов является то обстоятель-
ство, что уравнение (8) неинвариантно относительно преобразования отражения
пространственных координат
?(t, x) > r?(t, ?x), (23)
Галилеевски инвариантные уравнения движения 73

где r — некоторая унитарная матрица, r2 = 1. Это особенно просто показать
для уравнения (17), которое имеет вид уравнения Дирака с дополнительным P -
неинвариантным членом (в этом случае r = ?0 ).
Примером уравнения, инвариантного относительно преобразований Галилея и
преобразований (23), может служить система
p2 ?
?
(?µ pµ ? m) ? = (1 ? ?0 + ?4 ) ?,
2m
?
где ? — восьмикомпонентная функция;
?µ 0 0 ?4 ?0 0
?µ = , ?4 = , r= ,
??0
0 ?µ ?4 0 0
где ?µ — четырехрядные матрицы Дирака. Удвоив число компонент функции ?,
можно получить P -инвариантные уравнения вида (8) для галилеевской частицы с
произвольным значением спина.
В заключение покажем, что галилеевски инвариантные уравнения первого по-
рядка (7) также описывают спин-орбитальное взаимодействие. Для этого приве-
дем одно частное решение системы (13), (13 ). Обозначим через Smn (m, n =
0, 1, 2, 3, 4, 5) генераторы произвольного представления группы O(1, 5). Тогда ма-
трицы
1
Sa = ?abc Sbc , ?a = S0a + S5a , ?a = S4a ,
2
(24)
1
?5 = S40 + 1 ? S45 , ?0 = (S40 + S45 )
2
удовлетворяют соотношениям (13), (13 ).
Уравнение (7) с матрицами (24) после минимальной замены pµ > ?µ м прини-
мает вид
(?µ ? µ + ?5 m) ?(t, x) = 0. (25)
Для выяснения физического смысла решений уравнения (25) подвергнем вол-
новую функцию ?(t, x) преобразованию

?·?
? > ? = U ?, (26)
U = exp i .
m

После преобразования получим эквивалентную систему

5???·H ?·E ???·H
?2
?0 ? ? ? (27)
?0 + + ?5 m ? = 0.
2
2m 4 m m 2m

Подставляя в (27) матрицы Smn из представления D 1 , 1 , 1 алгебры O(1, 5) (при
222
этом (25) сводится к уравнению Леви-Леблонда), получаем из (27) двухкомпонен-
тное уравнение Паули

?·H
?2
?0 ? (28)
+ ?(t, x) = 0,
2m 2m
74 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

которое не описывает спин-орбитальное взаимодействие. Если же матрицы Smn
реализуют представление D 3 , 1 , 1 , то уравнение (27) учитывает спин-орбиталь-
222
ное и дарвиновское взаимодействия. В этом случае (27) сводится к уравнению
? ?
?· ??H ?H ??
??0 ? ? + ? · H + e ? · ? ? E ? E · ? +
2
? ? = 0.
4m2 4m2
2m 2m

Отметим, что формулы (7), (24) задают широкий класс как конечно-компо-
нентных, так и бесконечнокомпонентных галилеевских уравнений. В частности,
если матрицы Smn реализуют бесконечномерное представление алгебры O(1, 5),
то соотношения (7), (24) определяют бесконечнокомпонентное нерелятивистское
уравнение. Таким образом, бесконечнокомпонентные уравнения имеют право на
существование не только в рамках группы Пуанкаре, но и в рамках группы Гали-
лея.
Некоторые из приведенных результатов частично опубликованы в [6].

1. Foldy L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 78, 29.
2. Bargman V., Ann. Math., 1954, 59, 1.
3. Levi-Leblond J.-M., Commun. Math. Phys., 1967, 6, 286.
4. Hagen C.R., Commun. Math. Phys., 1970, 18, 97;
Hurley W.J., Phys. Rev. D, 1971, 3, 2339.
5. Никитин А.Г., Фущич В.И., ТМФ, 1978, 34, 319;
Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1978, 9, 501.
6. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., Nuovo Cim., 1975, 14, 483; Rep. Math. Phys., 1978,
13, 175;
Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cim., 1976, 16, 81.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 75–88.

Симметрия в задачах
математической физики
В.И. ФУЩИЧ

Введение
Уравнения математической физики — это уравнения с высокой симметрией,
т.е. они, как правило, инвариантны относительно широких групп Ли [1–6]. Это
важное свойство линейных и нелинейных уравнений математической физики при-
водит к том, что если найдено хотя бы одно решение такого уравнения, то можно
построить многопараметрические семейства решений? .

<< Предыдущая

стр. 17
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>