<< Предыдущая

стр. 18
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Наиболее распространенный подход к решению нелинейных уравнений в ча-
стных производных в идейном отношении такой же, как и в нелинейной механике
Крылова–Боголюбова [7], т.е. рассматриваются нелинейные уравнения, в некото-
ром смысле близкие к линейным. Такой подход к решению нелинейных уравнений
в частных производных развит в работе [8], где, в частности, детально рассмотре-
но волновое уравнение для функции двух независимых переменных
?u
2u(t, x) = ?F t, x, u, ,? ,
?x
? — малый параметр. Далее речь пойдет о методе решения нелинейных уравнений,
в которых отсутствует малый параметр ?.
Создать эффективные методы решения произвольных нелинейных дифферен-
циальных уравнений в частных производных (НДУЧП), если даже ограничиться
лишь уравнениями второго порядка, как нам кажется, безнадежная задача. Поэто-
му для продвижения в этом направлении, видимо, нужно, прежде всего, вырабо-
тать какой-то классификационный принцип (принцип отбора) НДУЧП, с помощью
которого можно было бы выделить некоторые классы НДУЧП и подвергнуть их
всестороннему исследованию. В основу такого классификационного принципа мо-
жно положить симметрийные свойства НДУЧП (§ 1). Как будет видно ниже, сим-
метрийные свойства НЦУЧП дают возможность найти целые семейства точных
решений многомерных НДУЧП.
В дальнейшем решается не начальная или краевая задача математической фи-
зики, поэтому желательно находить довольно широкий класс функций, удовле-
творяющих НДУЧП. Начальные или краевые условия приведут к выделению из
найденного класса функций одного или нескольких решений НДУЧП.
Можно выделить классические представители НДУЧП, обладающие высокой
симметрией. Такие уравнения имеют следующую структуру.
Гиперболические уравнения:
?u
pµ pµ u(x) = F1 x, u, (1.1)
,
?x
Сборник научных трудов “Теоретико-алгебраические исследования в математической физике”, отв.
ред. В.И. Фущич, Киев, Институт математики АН УССР, 1981, С. 6–28.
? В основу этой статьи положен доклад автора, прочитанный на Ученом совете Института математи-

ки АН УССР в октябре 1981 г.
76 В.И. Фущич

?2 ?
?pµ pµ ? ? ? ? 2, pµ = igµ? , µ = 0, n,
?x2 ?x?
0

gµ? — метрический тензор с сигнатурой (1, ?1, ?1, . . . , ?1), u ? u(x), x ? (x0 =
t, x1 , x2 , . . . , xn ), F1 — произвольная дважды дифференцируемая функция. По по-
вторяющимся индексам подразумевается суммирование.
2u = ?1 exp u — (1.2)
уравнение Лиувилля, ?1 — параметр,
2
?u ?u ?u
? — (1.3)
= ?2
?x0 ?xa ?xa
уравнение эйконала или релятивистское уравнение Гамильтона, ?2 — параметр,
a = 1, n;
?µ pµ ? = F2 (x, ?, ?? )? — (1.4)
нелинейная система Дирака, ?, ?? — спиноры с компонентами
?? = (?? , ?? , ?? , ?? ).
? = (?0 , ?1 , ?2 , ?3 ), 0 1 2 3

Параболические уравнения:
?u
(1.5)
p0 u + ?3 pa pa u = F3 x, u, ,
?xa
?u ?u ?u
(1.6)
+ ?4 =0
?x0 ?xa ?xa
уравнения Гамильтона–Якоби;
?uk ?uk
(1.7)
+ ?5 ul + ?6 ?uk = 0
?x0 ?xl
система типа Навье–Стокса.

§ 1. Симметрийный принцип классификации
нелинейных уравнений
На первый взгляд может показаться, что дифференциальных или интегродиф-
ференциальных уравнений, моделирующих реальные физические процессы, сли-
шком много. На самом деле это не так. Если в реальном физическом процессе
имеют место законы сохранения энергии, импульса, момента количества движения
и если учесть тот факт, что для физических процессов выполняется либо принцип
относительности Галилея, либо принцип относительности Пуанкаре–Эйнштейна,
то оказывается, что уравнений, для которых выполнялись бы все эти законы и
один из принципов относительности, не так уж много.
Дифференциальные уравнения (ДУ), для которых выполняются указанные за-
коны сохранения, должны быть инвариантны либо относительно группы Галилея
G(1, 3), либо относительно группы Пуанкаре P (1, 3) (или ее подгрупп), либо отно-
сительно групп, содержащих в качестве подгрупп группы P (1, 3), G(1, 3). При-
мерами таких групп, содержащих группу P (1, 3), является конформная группа
Симметрия в задачах математической физики 77

C(1, 3). Группа сдвигов и вращении в 5-мерном пространстве P (1, 4) содержит в
качестве подгрупп как группу P (1, 3), так и группу G(1, 3) [9, 10].
Задача о явном описании, в некотором смысле, всех систем линейных ДУ,
инвариантных относительно групп P (1, 3) и C(1, 3), решена (см. [9–13] и цитиро-
ванную там литературу). Задача о явном описании всех НДУЧП вида (1.1), (1.5),
инвариантных относительно группы P (1, 3) или G(1, 3), дополненных группой мас-
штабных преобразований, может быть так же конструктивно решена. Ее решение
приведем в виде теорем 1–5.
Группы Галилея G(1, n) и Пуанкаре P (1, n) в (1 + n)-мерном пространстве,
дополненные группой масштабных преобразований xµ = dxµ , обозначим соответ-
? ?
ственно символами G(1, n) ? G(1, n) и P (1, n) ? P (1, n).
?u
Теорема 1 [14]. Уравнение (1), если функция F1 не зависит от ?xµ , инвариан-
?
тно относительно группы P (1, n) только в таких двух случаях: F1 (u) = ?1 uk ,
либо F2 (u) = ?2 exp u, ?1 , ?2 , k — произвольные постоянные.
Из этого результата видно, что уравнение Лиувилля — единственное уравнение
?
неполиномиального типа, инвариантное относительно группы P (1, n).
Замечание 1. Если потребовать, чтобы уравнение вида (1) было инвариантно отно-
?
сительно конформной группы C(1, n) ? P (1, n), то, как хорошо известно, это будет
n+2
выполняться только в том случае, когда F1 = ?u n?2 (см., например, [1, 3]).
Теорема 2 [15, 16]. Если уравнение (1.1) инвариантно относительно конформ-
ной группы C(1, n), то с помощью локальной невырожденной замены w = ?(u)
оно приводится к нелинейному волновому уравнению
n+2
2w + ?w n?2 = 0, ? = const, n = 2.

Замечание 2. Если F1 не зависит от u и уравнение (1) конформно инвариантно, то
такое уравнение с помощью локальной замены приводится к линейному волновому
уравнению 2w = 0.
Обозначим символом E(1, n) группу сдвигов и вращений в (1 + n)-мерном про-
?
странстве, символом E(1, n) — группу E(1, n), дополненную группой масштабных
преобразований. Справедлива следующая теорема.
Теорема 3 [17]. Уравнение

?u ?u
2u + F u, ,..., =0
?x1 ?xn

?
инвариантно относительно группы E(1, n) только в таких трех случаях:
v
ua ua
1) F = uk f ; 2) F = ua ua f (u);
u2k+2
ua ua ?u
3) F = exp u f , ua = ,
exp 4u ?xa

где k — произвольная постоянная, f — произвольная дифференцируемая фун-
кция.
78 В.И. Фущич

?u
Теорема 4 [18]. Уравнение (1.5), если F3 не зависит от ?xµ , инвариантно
?
относительно группы G(1, n) и группы проективных преобразований
x0 xa
x0 = , xa =
1 + ?x0 1 + ?x0
тогда и только тогда, когда F3 = ?u|u|4/n .
Таким образом, требование инвариантности НДУЧП относительно групп
? (1, n), G(1, n) или их подгрупп дает возможность провести классификацию не-
?
P
линейных уравнений. Во многих случаях эта классификация значительно шире,
чем стандартное разделение уравнений на эллиптические, параболические, гипер-
болические и ультрагиперболические. Одно из преимуществ такой классификации
состоит в том, что она пригодна как для линейных, так и для нелинейных ДУ.
Особенностью многих НДУЧП, обладающих нетривиальной симметрией
? (1, n), G(1, n), является то, что на множестве решений этих нелинейных уравне-
?
P
ний реализуется, как правило, линейное представление алгебры Ли. Именно это
обстоятельство является тем решающим фактом, который дал нам возможность
построить в явном виде многопараметрические семейства точных решений многих
НДУЧП.

§ 2. О точных решениях нелинейных уравнений,
? ?
инвариантных относительно групп P (1, n) и E(1, n)
1. Для отыскания решений уравнений (1.1)–(1.3), (1.5), (1.6) поступим следую-
щим образом. Решения уравнения (1.1) ищем в виде
(2.1)
u(x) = ?(?)f (x) + g(x),
где ? — некоторая неизвестная функция от новых переменных ?(x) = {?1 (x),
?2 (x), . . . , ?n?1 (x)}, число которых на единицу меньше, чем переменных в урав-
нении (1.1). Эти переменные выбираются из инвариантов группы симметрии урав-
нения (1.1). Новые переменные ?(x) и явные выражения для функций f (x) и g(x)
определяются из систем уравнений Лагранжа
dx0 dx1 dxn du
= ··· = (2.2)
= = ,
A0 A1 An B
где Aµ и B — функции, задающие инфинитезимально группу инвариантности
уравнения (1.1), т.е.
Aµ = cµ? x? + dµ ,
xµ = xµ + ?Aµ ,
(2.3)
u = u + ?B, B = au + b,
где cµ? , dµ , a, b — параметры группы инвариантности данного уравнения. Инва-
риантные переменные ?(x) являются первыми интегралами системы (2.2), завися-
щими только от x.
Структура (2.1) решений уравнения (1.1) находится из уравнения (2.2). Фор-
мула (2.1) лежит в основе нашего подхода к решению НДУЧП? . Подставив (2.1)
? Для некоторых уравнений решения следует искать в более общем виде
?? ? ??
u = F {?(?), f (x), g(x)} u=F ?(?1 ), ?(?2 ),
? , .
или
??1 ??2
Симметрия в задачах математической физики 79

в уравнение (1.1), в силу того, что ? — инвариантные переменные, получим для
?(?) уравнение, не зависящее от f , g. Для уравнения (1.1) с полиномиальной не-
линейностью g = 0. Полученное таким путем уравнение для ?(?) зависит только
от новых переменных ?. Если удается найти какие-либо решения НДУЧП для
?(?), то тем самым по формуле (2.1) найдем решения исходного уравнения.
Очевидно что к НДУЧП для функции ?(?1 , ?2 , . . . , ?n?1 ) может быть приме-
нен повторно сформулированный алгоритм. Конечно, при этом необходимо, чтобы
уравнение для ?(?1 , ?2 , . . . , ?n?1 ) обладало нетривиальной симметрией. Решение
в этом случае ищется в виде
1 1 1
?(?1 , ?2 , . . . , ?n?1 ) = ?1 (?1 , ?2 , . . . , ?n?2 )?
(2.4)
?f1 (?1 , ?2 , . . . , ?n?1 ) + g1 (?1 , ?2 , . . . , ?n?1 ),

где новые инварианты ? 1 ? {?1 , ?2 , . . . , ?n?2 }, зависящие от {?1 , ?2 , . . . , ?n?1 }.
1 1 1

Функция ?1 зависит от n ? 2 независимых переменных.
2. Не вдаваясь в детали, приведем явный вид некоторых частных решений
уравнения
2u + ?uk = 0, (2.5)
k = 1,
полученных указанным способом [19, 20]. Решение ищем в виде u = ?(?)f (x),
1
1?k
? 2
? (1 ? k)2 (?? y ? ) + y? y ? (2.6)
u= ,
4

?? ? ? = ?1, ? = 0, 1, 2, . . . , n ? 1, (2.7)
y? = x? + a? ,
1
1?k
?
(1 ? k)2 ?? y ? ?? y ? (2.8)
u= ,
2

?? ? ? = ?1,
?? ?? = ?? ? ? = 0, (2.9)
2
u = {F (?? x? ) + ?? x? } 1?k , (2.10)

?
?? ? ? = ? (1 ? k)2 (1 + k)?1 = 0, (2.11)
2
F — произвольная дважды дифференцируемая функция, a? , ?? , ?? — параметры,
удовлетворяющие условиям (2.7), (2.9), (2.11) .
Следует подчеркнуть, что решения (2.6), (2.8) при k > 1 в точке ? = 0 имеют
особенность. Это означает, что с помощью метода последовательного приближе-
ния, каким бы малым ни был параметр ?, невозможно получить решения, близкие
к точным решениям (2.6), (2.8).
3. Решения многомерного уравнения Лиувилля (1.2) ищутся в виде
(2.12)
u(x) = ?(?) + g(x).
Полученные нами решения имеют вид [14]
u = ?2 ln {?P (x) sh Q(x)} , u = ?2 ln {?P (x) ch Q(x)} ,

<< Предыдущая

стр. 18
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>