<< Предыдущая

стр. 19
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u = ?2 ln {?P (x) cos Q(x)} , u = ?2 ln {cP (x)R(x)} ,
80 В.И. Фущич

где
v
Q(x) = c1 (?? y ? )?1 y? y ? + c2 ,
P (x) = ?? y ? ,
?? ?? = 0,
R(x) = Q(x)|c1 =1 ,
P (x) = F ?1 (?? y ? ), Q(x) = c1 ?? y ? F (?? y ? ) + c2 ,
?? ?? = ?? ? ? = 0, ?? ? ? = 1, yµ = xµ + aµ .
4. Решения четырехмерного уравнения [17]
?u
2u + ?u (2.13)
= 0, x = (x0 , x1 , x2 , x3 ),
?x0
ищем в виде u(x) = ?(?)f (x).
Решениями уравнения (2.13) будут функции
?y0
u = F (?a xa ) th c2 + F (?a ya ) ,
2
?y0
u = F (?a xa ) cth c2 + F (?a ya ) , y0 = x0 + a0 , yi = xi + ai ,
2
?1
(?a xa )2 ?
+ ya ya ? (?? x? + b)2 + (?? x? + b)
u= c ? ,
??2 2
?0 ?i
?a ?a = ?2 = 0, ?? ? ? = ? = 0, c = const.
b= , ?= ,
? ?a ?a
5. Решения уравнения sine-Гордон (sine-Даламбер)
2u + sin u = 0, (2.14)
x = (x0 , x1 , x2 , . . . , xn ),
полученные указанным способом, имеют вид
u = 4 arctg {c0 exp [?? x? + F (?? x? )]} ,
u = 4 arctg {th [?? x? + F (?? x? ) + c0 ]} .
Для одномерного случая x = (x0 , x1 )
1/2
u = 4 arctg c0 exp (?? y ? )2 + y? y ? ,

?? ?? = ?1.
?? ? ? = ?? ? ? = 0,
y? = x? + a? ,
По найденным решениям, используя преобразование Беклунда или преобразование
Лоренца, можно найти целое семейство точных решений.
6. Решение нелинейного уравнения Шредингера [18]
p0 u + ?3 pa pa u = ?u|u|m (2.15)
ищем в виде
u = ?(?1 , ?2 , ?3 )f (x0 , x1 , x2 , x3 ).
Явные решения уравнения (2.15), зависящие от одиннадцати параметров, приведе-
ны в [18].
Симметрия в задачах математической физики 81

7. Решения уравнения Гамильтона–Якоби (1.6) ищем в виде
u = ?(?1 , ?2 , ?3 ) + g(x0 , x1 , x2 , x3 ).
Приведем явный вид трех простейших решений уравнения (1.6):
1 2 2
1) ? = ?1 + ?3 , ? = ?4 ,
4?
1
g= 2(?i zi ) 2qx0 + b + ?i ?i x0 ,
4?
xi ? ?i x0 ? ?i
?i zi
zi = v
? 1 = zi zi ? ? 3 , ?3 = v
2 , ,
?k ?k 2qx0 + b
(?l ?l )1/2
??1 2 ?1/2
? ln |2qx0 + b|,
2
?2 = arcsin ?l ?l (2qx0 + b) ?1 + ?3
?x2 2q
q 2 Vi + ?i (?k Vk ) + q?ijk ?i Vk
2 2
?1 + ?3 = 0, ?i = ,
q(q 2 + ?k ?k )
bVi ? qai + ?ijk ?j ak ?k (bVk ? qak )
?i = + ?i 2 2 ,
q 2 + ?k ?k q (q + ?k ?k )
?
ai , b, q, Vi , ?i — параметры группы G(1, 3);
x2 + x2 + x2
2) u = (2?)?1 1 2 3
C — постоянная величина;
,
x0 + C
3) комплексные решения уравнения (1.6) задаются формулой
1 ?i ?i
u = F (?i xi ? ?i ?i x0 ) +?i xi + x0 ,
2? 2
F — произвольная функция, ?i ?i = 0, ?i ?i = 0, ?i ?i = 0.
Новые решения u уравнения (1.6) по известным решениям (нелинейный прин-
цип суперпозиции) u находятся по формуле
? x2 + x2 + x2
u (t, xa ) = u(t , xa ) ? 1 2 3
? — параметр,
,
1 ? ?t 4?
(2.16)
t xa
t= , xa = .
1 ? ?t 1 ? ?t
Нетрудно написать и другие формулы типа (2.16) для размножения решений.
8. Решения уравнения Навье–Стокса
?ui ?ui
+ (uk ?k )ui + ?i p = ?ui , (2.17)
= 0,
?x0 ?xi
ищем в виде
ui = ?j (?)Fji (x0 , x1 , x2 , x3 ) + fi (x0 , x1 , x2 , x3 ).
Одно из решений уравнения (2.17) имеет вид
c1 c2 ??1 ??2 ??3
? c2 ?2 ? c2 ?3
ui = ln ?1 + ?1 + ?i ,
?1 2 ?xi ?xi ?xi
v
c1 c1
2q ln ?1 + ?l ?l ?2 ? 2 ln ?1 + ?2
2 2
p= ,
2qx0 + b ?1
c1 , c2 — постоянные величины.
82 В.И. Фущич

Комплексные решения уравнения (2.21) при p = 0 можно представить через
произвольную функцию F
ui = ?i F {?k (xk + ?k x0 )} ? ? i ,
?i ?i = 0, ?i ?i = 0, ?k ?k = 0, i, k = 1, 2, 3.

§ 3. О симметрийных свойствах уравнения Ламе
и его дифференциального следствия
Система уравнений Ламе имеет вид
?2u µ ?+µ
grad div u, (3.1)
= ?u +
?t2 ?0 ?0
u = u(t, x) = (u1 , u2 , u3 ) — вектор смещения, ?0 , ?, µ — постоянные величины.
В рамках лиевского подхода, где базисные элементы алгебры Ли — операторы пер-
вого порядка, максимальной алгеброй инвариантности уравнения (3.1) является 8-
мерная алгебра [21]. В [5, 22] показано, что в классе интегро-дифференциальных
операторов алгеброй инвариантности являются 10- и 15-мерные алгебры Ли. Это
означает, что уравнение Ламе не инвариантно ни относительно преобразований
Галилея, ни относительно преобразований Лоренца. То есть, для уравнения Ламе
не справедлив ни один из известных в настоящее время принципов относитель-
ности. Этот факт ставит под сомнение правомерность использования уравнения
Ламе в качестве основного уравнения линейной теории упругости. Поэтому во-
прос о правиле сложения скоростей упругих волн, описываемых уравнением (3.1),
в различных инерциальных системах отсчета не может быть решен.
Некоторые из указанных трудностей, связанных с уравнением Ламе, как будет
видно ниже, отсутствуют для системы уравнений, которые являются дифферен-
циальными следствиями системы (3.1). Эти уравнения инвариантны относительно
преобразований Лоренца. Действительно, взяв дивергенцию и ротор от (3.1), по-
лучим незацепленную систему четырех волновых уравнений
? 2 v0 ? + 2µ
= a2 ?v0 , a2 =
v0 = div u, (3.2)
,
2
?t ?0
?2v µ
= b2 ?v, b2 =
v = rot u, (3.3)
2
?t ?0
для функций v0 и v.
Очевидно, что уравнения (3.2) и (3.3) инвариантны относительно конформной
группы C(1, 3) ? P (1, 3). Кроме того, система (3.3) инвариантна относительно
группы GL(3), т.е. относительно линейных преобразований
(3.4)
vi = aik vk , i, k = 1, 2, 3.
Таким образом, система уравнений (3.2), (3.3) инвариантна относительно гру-
ппы C(1, 3) ? GL(1) ? GL(3). Инвариантность уравнений (3.2), (3.3) относительно
указанной группы означает, что помимо известных законов сохранения (энергии,
импульса, количества движения) существуют новые законы сохранения, обуслов-
ленные инвариантностью относительно конформных преобразований и преобразо-
ваний (3.4).
Симметрия в задачах математической физики 83

Последнее утверждение означает, что билинейная форма
?
µ ?vµ
? ?(Q? v)
?
3
(Q? v)µ
Q? = dx vµ
?x0 ?x0
сохраняется во времени. Q? — базисный элемент алгебры Ли группы C(1, 3) ?
GL(1) ? GL(3). Оператор Q? отображает множество решений уравнений (3.2),
(3.3) в себя.
Приведем явный вид базисных элементов алгебры Ли группы C(1, 3), относи-
тельно которых система (3.3) инвариантна:
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
I I
Pµ = igµ? ,
?xµ (3.5)
Kµ = 2xµ DI ? x? x? Pµ ,
I I
DI = xµ pµ + i.

Важно подчеркнуть, что операторы (3.5) порождают такие конечные преобразо-
вания, при которых каждая компонента вектора v = (v1 , v2 , v3 ) преобразуется не-
зависимым путем, т.е. v не является вектором ни относительно группы O(3), ни
относительно группы O(1, 3).
?
Система (3.3), помимо алгебры (3.5) инвариантна относительно алгебры P (1, 3)
с такими базисными элементами:
Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
II I II
Pµ = Pµ , Sab = ?abc Sc ,
J0a = x0 pa ? xa p0 + S0a ,
II
DII = DI ,
S0a = iSa ,
? ? ? ? ? ? (3.6)
0 ?i
00 0 00i 0
? 0 0 ?i ? , S2 = ? 0 0 0 ? , S1 = ? i 0 0 ?.
S1 =
?i 0 0
0i0 00 0
?
Операторы (3.6) порождают конечные преобразования из группы P (1, 3), при кото-
рых v является действительным вектором относительно группы O(3). При лорен-
цовых преобразованиях действительный вектор v перейдет в комплексный вектор.
Последнее свойство лоренцовых преобразований связано с тем, что матрицы S0a
— неэрмитовы.
Из уравнений (3.2) и (3.3) следует, что скорость поперечных и продольных волн
является постоянной величиной в любых инерциальных системах отсчета. Это об-
стоятельство противоречит релятивистскому принципу относительности, согласно
которому только величина скорости света в однородных средах не зависит от си-
стемы отсчета. Эту трудность можно преодолеть, если модифицировать систему
(3.2), (3.3) следующим образом:

? 2 v0
= a2 ?v0 + a2 v0 ,
1
?t2
(3.7)
?2v
= b2 ?v + b2 v,
1
2
?t
где постоянные величины a1 и b1 характеризуют свойство упругой среды. Ско-
рость волн, описываемых уравнениями (3.7), не будет постоянной в различных
инерциальных системах. На физическом языке это означает, что волне в упругих
средах следует приписать некую массу (a1 и b1 ).
84 В.И. Фущич

Укажем еще на одну, более радикальную, возможность преодоления указан-
ных трудностей. Гиперболическую систему уравнений (3.2) и (3.3) заменить на
следующую параболическую систему:
?v0 ?v
(3.8)
= µ1 ?v0 , = µ2 ?v,
?t ?t
µ1 , µ2 — некоторые параметры, характеризующие свойства среды. Эта система
удовлетворяет принципу относительности Галилея, поскольку она инвариантна
относительно 10-параметрической группы Галилея G(3) [9, 11, 13].
Из приведенного следует, что линейное уравнение Ламе, на основе которого в
настоящее время решаются многие динамические задачи теории упругости, дол-
жно быть модифицировано так, чтобы в теории упругости выполнялся какой-либо
принцип относительности. Кроме указанных нами путей модификации уравнения

<< Предыдущая

стр. 19
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>