<< Предыдущая

стр. 20
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Ламе наиболее реалистичен нелинейный. Подробное обсуждение этой возможно-
сти будет опубликовано в другом месте.

§ 4. О некоторых нерешенных задачах
В этом параграфе укажем задачи, которые представляются автору важными
для развития и применения теоретико-алгебраических методов к линейным и не-
линейным задачам математической и теоретической физики.
1. Исследовать симметричные свойства и найти частные решения следующих
уравнений:
1/2
2 2 2
?u1 ?u1 ?u1 ?u1
+ m2 (4.1)
= + + ,
?x0 ?x1 ?x2 ?x3

1/2
2 2 2
?u2 ?u2 ?u2 ?u2
? + m2 (4.2)
= + + ,
?x0 ?x1 ?x2 ?x3

2
?u ?u ?u ?u ?u
(4.3)
= ?1 + ?2 ,
?x0 ?xa ?xa ?xa ?xa
k
?u ?u 1
(4.4)
= ?F (u), k= , 1, 2, n.
?xµ ?xµ 2

Рассмотреть случаи ? = 0 и ? = 0, m = 0 и m = 0. Уравнения (4.1), (4.2) представ-
ляют собой “корень” из эйконального уравнения. Система (4.1), (4.2) инвариантна
относительно дискретных преобразований (t > ?t). Уравнение (4.3) можно рас-
сматривать как нерелятивистское приближение уравнения (4.1). Если ?2 = 0, то
(4.3) совпадает с уравнением Гамильтона–Якоби.
2. Описать все уравнения
?u ?u ?u
?1 2u + ?2 2k u = F1 u, , ,..., , k = 2, n,
?x0 ?x1 ?xn
?u(?, x) ?u
= 2u(?, x) + F2 u,
i ,
?? ?xµ
Симметрия в задачах математической физики 85

где 2k = 2 · 2 · · · 2 — поливолновой оператор, инвариантные относительно групп
?
P (1, 3) и C(1, n). Найти частные решения при конкретных F1 и F2 . Например,
F1 = F2 = exp u.
3. Найти максимальные алгебры инвариантности (МАИ) и построить в явном
виде частные решения следующих уравнений:
?u ?u
2u + ?u + ?1 = 0,
?xµ ?xµ

2u + ?1 ??u + ?2 (?u)2 + ?3 uk = 0,
2
?u ?u
2u + ?1 + ?2 = 0,
?t ?t

?u
2u + ?1 sin(2u) + ?2 sin = 0,
?t
?u
2u + ?1 u + ?2 1 ? ?3 u2 (4.5)
= 0,
?t
?2u
+ ?1 ?(uk ) + ?2 (?u)k = 0,
2
?t
3
?u
2u + ?1 u + ?2 (4.6)
= 0,
?t

?u(?, x) ?u(?, x) ?u(?, x)
= ?1 2u(?, x) + ?2 u(?, x).
?xµ
?? ?xµ

Если в уравнениях (4.5), (4.6) функция u зависит только от одной переменной t,
то эти уравнения совпадают, соответственно, с классическими уравнениями Ван-
дер-Поля и Дюффинга.
4. Построить теоретико-алгебраические основы квантовой механики в основу
которой положены уравнения
k
? 3 p0 + ? 1 p2 ? + ? 4 p0 + ? 1 p2 (4.7)
? + V (x)? = 0, k = 2, 3, . . . , n,
a a

p2 + ?2 p2 p2 ? + V (x)? = 0, (4.8)
0 aa


?1 (p2 )2 + ?2 + V (x) ? = 0. (4.9)
p0 + a


Описать потенциалы V , при которых уравнения (4.7)–(4.9) инвариантны относи-
тельно группы Шредингера Sch(1, 3) и некоторых ее подгрупп.
Описать уравнения вида
?u ?u ?u
(4.10)
= ?1 + ?2 V (x) + ?3 F (u),
?t ?xa ?xa
инвариантные относительно группы Шредингера Sch(1, 3). Аналогичную задачу
решить для уравнений (4.1), (4.2) с потенциалом.
86 В.И. Фущич

5. Построить точные решения уравнения
?u 1/2 1/2
+ ?1 (grad u)2 + ?2 ? (grad u)2 (4.11)
= 0.
?t
Уравнение (4.11) можно рассматривать как многомерный аналог уравнения Корт-
вега-де-Фриза (КдФ), В том случав, когда u зависит от двух переменных (t, x)
оно совпадает с уравнением КдФ.
6. Описать системы уравнений вида
?? ???
?
? 1 p2
p0 + ?i = F1 ?, ? , , ?i , i = 1, 2, . . . , n,
a
?xa ?xa
(4.12)
?? ???
??i
+ ?2 2?i (?, x) + F2 ?, ?? ,
i , , µ = 0, 1, . . . , n,
?xµ ?xµ
??
инвариантные относительно группы Шредингера Sch(1, 3) и Sch(1, 1 + n). ?i , ?? i
? ? ? ?
— компоненты вектора-столбца ? = (?1 , ?2 , . . . , ?n ) и ? = (?1 , ?2 , . . . , ?n ).
??
2?i + F ?, ?i = 0.
?xµ
7. Провести детальный теоретико-алгебраический анализ систем дифференци-
альных уравнений
?uµ ?
?1 2uµ + ?2 u? (u? u? ) + ?4 uµ = 0, (4.13)
+ ?3
?
?x ?xµ
2uµ = 0, 2uµ uµ = 0, (4.14)
Kµ K µ ? = F (?, ?? )?, (4.15)
Kµ = 2xµ D ? x? x? pµ + 2x? Sµ? — генератор конформной группы, D = 1 (x? p? +
2
p? x? ), Sµ? — матрицы, реализующие представления группы Лоренца O(1, 3).
8. При каких условиях шесть эйкональных уравнений
?Ea ?Ea ?Ha ?Ha
(4.16)
= ?1 , = ?2 , a = 1, 2, 3,
?xµ ?xµ ?xµ ?xµ
для векторов E(E1 , E2 , E3 ), H(H1 , H2 , H3 ), преобразующихся по векторному пред-
ставлению группы Лоренца D(1, 0), D(0, 1), инвариантны относительно групп
P (1, 3), C(1, 3). По повторяющемуся индексу “a” суммирование не подразумева-
ется.
9. Предложить методы исследования теоретико-групповых свойств следующих
интегро-дифференциальных уравнений:

d3 x F (u? , u)V (x ? y),
2
(p0 + ?pa ) u(t, x) = ?1

d? d3 y F (u? , u)V (? ? t, x ? y),
2u + ?

d? d3 y F (?? , ?)V (? ? t, x ? y),
?µ pµ ? = ?
1/2
d4
+? ?(t) + ?1 ?(t) = 0,
dt4
Симметрия в задачах математической физики 87

?µ — матрицы Дирака. Указать класс функций F и V , при которых уравнения
? ?
инвариантны относительно групп G(1, n) или Sch(1, n), P (1, n) или C(1, n).
Последнее одномерное интегральное уравнение при ? = 0 совпадает со стан-
дартным уравнением для гармонического осциллятора. Об одном способе исследо-
вания симметрийных свойств таких интегральных уравнений см. [23].
10. Провести теоретико-алгебраический анализ следующих систем уравнений:
?1 2E + ?2 22E(t, x) = 0, ?1 2H + ?2 22H(t, x) = 0,
(4.17)
2 2 2 2
?w1 ?w1 ?w2 ?w2
?
+ = 0, = 0,
?t ?xa ?t ?xa
w1 и w2 — инварианты электромагнитного поля;
?u
+ ?1 (u ?)u + ?2 (u ?) rot u = 0, div u = 0, (4.18)
?t
2 2
?u ?u
? ?0 A0 ? ? ?1 Aa = ?2 ,
?x0 ?xa (4.19)
2Aµ = 0, µ = 0, 3,
2
?u ?u
? ?0 A0 + ?1 ? ?2 Aa
i = 0,
?x0 ?xa (4.20)
p0 ? ?3 p2 Aµ = 0,
a

Aµ — векторный потенциал.
11. С помощью лиевского и нелиевского методов провести детальный теорети-
ко-алгебраический анализ уравнений Максвелла
?B
= ?rot E, div B = 0,
?t
?D
= c rot H ? j, div D = 0,
?t
со следующими уравнениями связи:

B = µ1 H + µ2 rot E + µ3 rot H + µ4 rot E 2 ? H 2 H + µ5 rot (E H)E,

D = ?1 H + ?2 rot E + ?3 rot H + ?4 rot E 2 ? H 2 E + ?5 rot (E H)H,
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Bi = µik Ek + µikl ?k Hl + µikl ?k El + µikl Ek El + µikl Hk Hl + µikl Hk El ,
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Di = ?ik Ek + ?ikl ?k El + ?ikl ?k Hl + ?ikl Ek El + ?ikl Hk Hl + ?ikl Hk El ,
где ?k ? ?xk , ?, µ — величины, характеризующие свойство среды, в которой
?

распространяется электромагнитное поле.
12. Описать все системы вида
?2?
?? ?? ?? ??
Aµ? ?, + Bµ ?, + C ?, = 0,
µ ?x? µ
?x ?x ?x ?x ?x
? ?
инвариантные относительно: E(1, n), P (1, n), Sch(1, n), C(1, n). ? — вектор-фун-
кция.
88 В.И. Фущич

1. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
2. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения, Теор. и
мат. физика, 1971, 7, № 1, 3–12.
3. Ибрагимов Н.Х., Группы Ли в некоторых вопросах математической физики, Новосибирск, госу-
ниверситет, 1972, 200 с.
4. Ибрагимов Н.Х., Андерсон Р.Д., Группы касательных преобразований Ли–Беклунда, ДАН СС-
СР, 1976, 227, № 3, 539–542.
5. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств систем дифференциальных урав-
нений в частных производных, В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике,
Киев, Ин-т математики АН УССР, 1978, 5–44.
6. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической фи-
зики, ДАН СССР, 1979, 246, № 4, 846–850.
7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний, М., “Наука”, 1974, 500 с.
8. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И., Асимптотические решения уравнений в частных прои-
зводных, Киев, Вища школа, 1976, 589 с.
9. Фущич В.И., Представления полной неоднородной группы де Ситтера и уравнения в пятимерном
подходе. I , Теор. и мат. физ., 1970, 4, № 3, 360–382.
10. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Reduction of the representation of the generalized Poincar? algebra
e
by the Galilei algebra, J. Phys. A: Math. Gen., 1980, 13, № 11, 2319–2330.
11. Сокур Л.П., Фущич В.И., Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы
P (1, n). II, Теор. и мат. физ., 1971, 6, № 3, 348–363.

<< Предыдущая

стр. 20
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>