<< Предыдущая

стр. 21
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

12. Фущич В.И., Никитин А.Г., Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного
спина, Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1978, 9, вып. 3, 501–653.
13. Фущич В.И., Никитин А.Г., Нерелятивистские уравнения движения для частиц с произвольным
спином, Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1981, 12, вып. 5, 1167–1219.
14. Фущич В.И., Серов Н.И., О некоторых точных решениях многомерных уравнений типа Лиуви-
лля и эйконала, Укр. мат. журн., 1981, 33, № 4, 543–549.
15. Фущич В.И. Серов Н.И., О точных решениях уравнения Борна–Инфельда, ДАН СССР, 1982,
263, № 3, 582–586.
16. Серов Н.И., Конформная инвариантность нелинейных волновых уравнений, В кн: Теоретико-
алгебраические исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981,
59–63.
17. Фущич В.И., Серова М.М., Симметрия и точные решения одного класса нелинейных волновых
уравнений, Укр. мат. журн., 1981, 33, № 6, 780–784.
18. Fushchych W.I., Moskaliuck S.S., On some exact solutions of the nonlinear Schr?dinger equation
o
in three spatial dimension, Lett. Nuovo Cim., 1981, 11, № 16, 571–576.
19. Фущич В.И., Серов Н.И., Москалюк С.С., О точных решениях нелинейных многомерных вол-
новых уравнений, В кн.: IX Международная конференция по нелинейным колебаниям (Киев, 30
августа – 6 сентября 1981 г.), Тез. докл., Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 338–339.
20. Фущич В.И., Серов Н.И., Точные решения нелинейного волнового уравнения, Укр. мат. журн.,
1981, 33, № 5, 697–702.
21. Чиркунов В.А., Групповые свойства уравнений Ламе, В кн.: Динамика сплошной среды, 1978,
вып. 14, 128–130.
22. Фущич В.И., Наконечный В.В., Теоретико-алгебраический анализ уравнений Ламе, Укр. мат.
журн., 1980, 32, № 2, 267–272.
23. Фущич В.И., Об одном способе исследования симметрии свойств интегродифференциальных
уравнений, Укр. мат. журн., 1981, 33, № 6, 834–838.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 89–93.


Об одном способе исследования групповых
свойств интегро-дифференциальных
уравнений
В.И. ФУЩИЧ

Хорошо разработанные методы исследования групповых свойств систем диф-
ференциальных уравнений в частных производных [1] не применимы к интеграль-
ным уравнениям. В настоящее время отсутствуют какие-либо методы исследова-
ния групповых свойств интегро-дифференциальных уравнений.
Здесь приведен способ отыскания алгебр инвариантности для интегро-диффе-
ренциального уравнения специального типа
?
p0 ?(t, x) = Lr/n ?(t, x), (1)
?

где
? ? ? ??
pa = ?i L = pa p a + m 2 ,
p0 = i
? , ? , a = 1, 2, . . . , n,
?t ?xa (2)
+ ··· + = ??, x?R ,
p2 p2 p2 p2 n
pa p a =
?? ?1 + ?2 + ?3 ?n

k, r — целые числа (число r нацело не делится на k), m > 0 — постоянная
величина.
В релятивистской квантовой теории часто встречается уравнение вида
?
p0 ?(t, x) = L1/2 ?(t, x). (3)
?

Ради простоты рассмотрим уравнение (3). Все сказанное ниже очевидным обра-
зом переносится и на уравнение (1) с произвольными r и k, а также на уравнения,
?
в которых L — произвольный положительный дифференциальный оператор.
Уравнение (3) может быть записано так:

d3 q d3 y exp{iqa (xa ? ya )}L1/2 (q)?(t, y), (4)
p0 ?(t, x) =
?

где
1/2 1/2
L1/2 (q) = qa qa + m2 = q 1 + q 2 + q 3 + m2
2 2 2
— (5)

?
символ оператора L1/2 . В дальнейшем все операторы будем писать без “крышки”.
1. Уравнение (3) инвариантно относительно некоторой совокупности операторов
{QA }, если выполняются условия [2, 3]

[p0 ? L1/2 , QA ]?(t, x) = 0, (6)
Укр. мат. журнал, 1981, 33, № 6, С. 834–838.
90 В.И. Фущич

где [ , ] — коммутатор. Для отыскания операторов QA , удовлетворяющих условию
(6), поступим следующим образом. Подействовав слева на уравнение (3) операто-
ром p0 , получим волновое дифференциальное уравнение

p2 ? p2 ? m2 ?(t, x) = p0 ? L1/2 p0 + L1/2 ?(t, x) = 0. (7)
0 a


К дифференциальному уравнению (7) можем применить лиевский [1] или не-
лиевский метод [2]. С помощью метода Ли–Овсянникова можно показать, что
максимальной (в смысле Ли) алгеброй инвариантности уравнения (7) является
10-мерная алгебра Пуанкаре, базисные элементы {Q1 , Q2 , . . . , Q10 } ? {Pµ , Jµ? }
которой задаются операторами

Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
I I I
(8)
P 0 = p0 , Pa = p a , µ, ? = 0, 1, 2, 3.

Поскольку всякое решение уравнения (3) является решением уравнения (7) (обра-
тное, конечно, неверно), можно ожидать, что алгебра (8) или ее подалгебры могут
оказаться алгеброй инвариантности интегро-дифференциального уравнения (3).
В нашем случае непосредственной проверки можно убедиться, что условия (6)
выполняются для всех операторов (8), т.е.

[p0 ? L1/2 , Pµ ] = 0 = [p0 ? L1/2 , Jab ],
I I
a, b = 1, 2, 3,
(9)
[p0 ? L1/2 , J0a ]?(t, x) = ipa L?1/2 (p0 ? L1/2 )?(t, x) = 0.
I


Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 1. Алгеброй инвариантности уравнения (3) является 10-мерная ал-
гебра Ли; базисные элементы этой алгебры задаются дифференциальными
операторами первого порядка (8).
Из приведенного вытекает следующий способ вычисления алгебр инвариан-
тности для уравнений типа (1): 1) построить дифференциальное уравнение, по-
дмножество решений которого является решениями интегро-дифференциального
уравнения; 2) лиевским или нелиевским методом найти алгебру инвариантности
дифференциального уравнения; 3) по найденной алгебре инвариантности диффе-
ренциального уравнения, проверяя условие инвариантности (6), отыскать алгебру
инвариантности интегро-дифференциального уравнения (1).
2. Выясним вопрос: существуют ли алгебры инвариантности интегро-диффе-
ренциального уравнения (3), которые не являются таковыми для дифференциаль-
ного уравнения?
Рассмотрим совокупность таких десяти {Q} интегро-дифференциальных опе-
раторов [4]:
II II
P0 = L1/2 , Pa = p a ,
(10)
1
= xa pb ? xb pa , = tpa ?
II II
xa L1/2 + L1/2 xa .
Jab J0a
2
Подставляя операторы (10) в условие инвариантности, убеждаемся, что

[p0 ? L1/2 , Pµ ]? = 0 = [p0 ? L1/2 , Jµ? ],
II II
µ, ? = 0, 1, 2, 3,
Об одном способе исследования групповых свойств 91

т.е. уравнение (3) инвариантно относительно алгебры (10). Проверяя условие ин-
вариантности для уравнения (7)

[p2 ? p2 ? m2 , QA ]? ? = 0, (11)
A = 1, 2, . . . , 10,
0 a

убеждаемся, что оно не выполняется, если {QA } задаются формулами (10). Сле-
довательно, интегро-дифференциальное уравнение (3) инвариантно относительно
алгебры (10), а дифференциальное уравнение не инвариантно относительно этой
алгебры. Уравнение (7) инвариантно только относительно 7-мерной подалгебры
алгебры (10).
Укажем еще одну алгебру инвариантности уравнения (3), которая также не
является алгеброй инвариантности дифференциального уравнения (7). Рассмотрим
совокупность операторов

Jab = Jab = xa pb ? xb pa ,
III III
P a = P a = pa ,
(12)
= Ga = t?a ? mxa ,
III
M = m?
J0a p 1,

где ? — единичный оператор, pa — неизвестный оператор, явный вид которого
1 ?
определим из условия инвариантности уравнения (3) относительно операторов Ga ,
т.е. из условия

[p0 ? L1/2 , Ga ]? = i?a + m[L1/2 , xa ]? = 0, (13)
p

откуда получаем

pa = mpa L?1/2 . (14)
?

Для операторов (12) условие инвариантности (6) выполняется и, кроме того,
они удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[Pa , Jbc ]? = i(?ac Pb ? ?ab Pc ), [Pa , Pb ]? = 0,
[Ga , Jbc ]? = i(?ac Gb ? ?ab Gc ),
[Pa , Gb ]? = i?ab M,
(15)
[Jab , Jcr ]? = i(?ac Jbr + ?br Jac ? ?ar Jbc ? ?bc Jar ),
[Ga , Gb ]? = 0, a, b, c, r = 1, 2, 3.

Следует отметить, что оператор P0 = p0 коммутирует с оператором p0 ? L1/2
III
III
уравнения (3). Однако оператор P0 вместе с операторами (12) не образуют коне-
чномерной алгебры Ли. Подытожим сказанное в виде следующего утверждения.
Теорема 2. Уравнение (3) инвариантно относительно 10-мерной алгебры Ли,
являющейся подалгеброй 11-мерной алгебры Галилея. Базисные элементы этой
алгебры задаются формулами (12) и удовлетворяют коммутационным соо-
тношениям (15).
Аналогичную теорему можно доказать и для интегро-дифференциального урав-
нения вида
1/2
(pa pa )2
m2 (16)
p0 ?(t, x) = + ?(t, x),
0
4m21

где m0 и m1 — постоянные.
92 В.И. Фущич

Для уравнения (16) базисные элементы алгебры инвариантности будут задава-
ться формулами (12), где
?1/2
p2 (pa pa )2
m2
pa = pa b (17)
? +
0
4m2
2m1 1

— интегро-дифференциальный оператор.
Уравнение (16) можно интерпретировать как уравнение движения для нето-
чечной частицы в нерелятивистской квантовой механике. Если в (16) положить
m0 = 0, то оно совпадет с дифференциальным уравнением Шредингера.
Замечание 1. Все найденные базисные элементы алгебр инвариантности уравне-
ний, кроме алгебры (8), задаются интегро-дифференциальными операторами. Вот
почему для построения группы по заданному представлению алгебры Ли мы не
имеем возможности применить теоремы Ли. Они применимы только тогда, когда
базисные элементы алгебры Ли являются операторами первого порядка. В нашем
случае для построения группы по алгебре Ли необходимо воспользоваться форму-
лой Кэмпбелла–Хаусдорфа [2, 3].
Замечание 2. Основная идея настоящей заметки — сопоставление интегро-диффе-
ренциального уравнения с некоторым дифференциальным уравнением. С помощью
аналогичной идеи можно изучить теоретико-алгебраические свойства квазилиней-
ного уравнения вида
n
?u
(18)
ai (x1 , . . . , xn , u) = a(x1 , x2 , . . . , xn , u).
?xi
i=1

Это нелинейное уравнение можно сопоставить с линейным уравнением вида
n
?V (x, u) ?V (x, u)
(19)
ai (x, u) + a(x, u) = 0.
?xi ?u
i=1

Изучив теоретико-алгебраические свойства этого линейного уравнения и восполь-
зовавшись известной теоремой о связи решений уравнений (18) и (19), можно
установить алгебру инвариантности нелинейного уравнения (18). Таким же спосо-
бом можно исследовать алгебраические свойства не только квазилинейного урав-
нения, но и существенно нелинейного, если, конечно, удается сопоставить этому
уравнению либо линейное, либо более простое нелинейное уравнение.
Предложенный алгоритм, конечно, применим и к определенным системам ин-

<< Предыдущая

стр. 21
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>