<< Предыдущая

стр. 22
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

тегро-дифференциальных уравнений. Так, например, к системам уравнений [3]
1/2
p0 E(t, x) = p2 + p2 + p2 H(t, x),
1 2 3
1/2
p0 H(t, x) = p2 + p2 + p2 E(t, x),
1 2 3
E = (E1 , E2 , E2 ), H = (H1 , H2 , H3 ),
1/2
p0 Aµ (x) = p2 + p2 + p2 pµ Aµ (x) = 0,
Aµ (x), µ = 0, 1, 2, 3.
1 2 3

Эти системы уравнений, в некотором смысле, очень близки к системе Максвелла
для электромагнитного поля. Первая система обладает той же группой симме-
трии, что и дифференциальная система Максвелла в вакууме. Каждая компонента
векторов E и H удовлетворяет уравнению Даламбера.
Об одном способе исследования групповых свойств 93

Следует отметить, что дифференциальное уравнение, полученное как следствие
из интегро-дифференциального уравнения может иметь группу инвариантности,
вообще говоря, шире или уже, чем исходное уравнение.
В заключение приведем интегро-дифференциальное уравнение с осциллятор-
ным потенциалом:
p0 ?(t, x) = (pa pa + m2 + ?xa xa )1/2 ?(t, x), (20)

где xa xa = x2 +x2 +x2 , ? — постоянная величина, для которого можно эффективно
1 2 3
применить указанный алгоритм.
Чтобы воспользоваться нелиевским алгоритмом для отыскания алгебры инва-
риантности уравнения (18), необходимо привести оператор L = pa pa + m2 + ?xa xa
диагональному виду.
1. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
2. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств систем дифференциальных урав-
нений в частных производных, В сб.: Теоретико-групповые методы в математической физике,
Киев, 1978, 5–44.
3. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической фи-
зики, ДАН СССР, 1979, 246, № 4, 846.
4. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности уравнения Клейна–Гордона–Фока, ДАН СССР,
1976, 230, № 3, 570.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 94–98.

On some exact solutions of the nonlinear
?
Schrodinger equation in three spatial
dimensions
W.I. FUSHCHYCH, S.S. MOSKALIUK

1. In 1881 Lie introduced the study of the solutions of partial differential equati-
ons, based, on the infinitesimal transformations of the continuous groups. Afterwards
these methods have been used for finding exact and approximate solutions of the nonli-
near partial differential equations by various authors [1]. In the main these solutions
were obtained in one spatial dimension. In this paper some exact similarity solutions
of nonlinear parabolic partial differential equations, possessing high symmetry, are
obtained, in three spatial dimensions.
Consider the nonlinear equation
?u 1
(1)
i + ?u = F (u),
?x0 2M
where
n
?2
u = u(x0 , x), x?R , ??
n
M = const, .
?x2
i
i=1

Lemma 1.? Equation (1) is invariant under a (n2 + 3n + 8)/2-parameter Schr?dinger
o
group if
F (u) = ?u|u|4/n , (2)
where ? is an arbitrary constant, n is a number of the spatial variables in eq. (1).
Lemma 2.? Equation (1) is invariant under a (n2 + 3n + 6)/2-parameter transforma-
tion group if
F (u) = ?u|u|m , (3)
where ?, m are arbitrary constants.
This group consists of the Galilean group and the one-parameter group of scale
transformations.
Lemma 1 and lemma 2 can be proved by using the finite or infinitesimal transfor-
mations of the Schr?dinger group [2]. By means of the Lie–Ovsjannikov method [3]
o
one can show that the above-mentioned groups are the maximal ones in the sense of
Lie which leave eq. (1) with the nonlinearities (2) and (3) invariant.
In the sequel we restrict ourselves to R3 and consider the infinitesimal transfor-
mations of the Schr?dinger group
o
x0 = x0 + ?A0 + O ?2 , xi = xi + ?Ai + O ?2 ,
Lettere al Nuovo Cimento, 1981, 31, № 16, P. 571–576.
? Misprints in formulations of Lemmas 1 and 2 are corrected.
On some exact solutions of the nonlinear Schr?dinger equation
o 95

where
A0 = ?cx2 + 2qx0 + b, Ai = (?cx0 + q)xi + ?ijk rj xk + vi x0 + ai .
0

The parameters ai , b, c, q, vi , ri are arbitrary real constants. The parameter ai ,
represents spatial translations, b represents time translations, c represents invariance
under the one-parameter group of projective transformations, q represents dilatations,
vi signifies Galilean invariance and ri denotes rotation invariance.
2. We need the invariants ? 1 , ? 2 , ? 3 of the Schr?dinger group for finding the
o
solutions of eq. (1). These invariants are obtained by solving the Lagrange equations
dx0 dx1 dx2 dx3
= = = .
A0 A1 A2 A3
We will give the explicit form of these invariants.
Case I. cb + q 2 = 0:
zi zi ri zi
?1 = ?3 =
, ,
?cx2 + 2qx0 + b rl rl (?cx2 + 2qx0 + b)
0 0
v (4)
x0
?cx2 + 2qx0 + b ? r2 ? 3
z2 rl rl v dt
0
? rl rl
? 2 = arcsin ,
?ct2 + 2qt + b
((r1 + r3 ) /rl rl ) [(? 1 )2 ? (? 3 )2 ]
2 2


where zi = xi ? ?i x0 ? ?i ,
qvi + cai ? ?ijk vj rk c(rk ak ) + q(rk rk )
?i = + ri ,
bc + q 2 + rl rl (bc + q 2 ) (bc + q 2 + rl rl )
bvi ? qai + ?ijk rj ak rk (bvk ? qak )
?i = + ri .
bc + q 2 + rl rl (bc + q 2 ) (bc + q 2 + rl rl )
Here and in the sequel the summation convention is being employed.
Case II. cb + q 2 = 0, c = 0:
1) r3 = 0:
v
yi yi ri yi
?3 = v
1
?= , ,
? ? rl rl
v v (5)
y2 /? ? r2 ? 3 / rl rl rl rl
? 2 = arcsin 2 + r 2 ) /r r ) [(? 1 )2 ? (? 3 )2 ] + ,
((r1 ?
ll
3

where
?i
yi = xi ? ?i ? ? ?i + ? = ?cx0 + q,
,
?
1
[?ijk vj rk ? (vi q + cai ) + ri rk (vk q + cak )],
?i =
c(rl rl )
1 1 ri rk vk q
?i = [?ijk rj (qvk + cak ) + ri (rk vk )], ?i = + ak .
c(rl rl ) 2 rl rl c
2) r1 = r2 = r3 = 0:
1 vi 1 vi q
xi ?
?i = (6)
+ + ai .
? c ? c
96 W.I. Fushchych, S.S. Moskaliuk

Case III. c = 0, q = 0, b = 0:
1) r3 = 0:
ri Si
?3 = v
?1 = Si Si , ,
? rl rl
v v (7)
S2 ? (r2 ? 3 )/ rl rl rl rl
? 2 = arcsin + x0 ,
((r1 + r3 ) /rl rl ) [(? 1 )2 ? (? 3 )2 ] b
2 2


where
x2 x0
Si = xi ? ri (rk vk ) ?
0
[ri (ak rk ) + b?ijk rj vk ]?
2brl rl b(rl rl )
1
? {?ijk rj ak + b[vi ? (zk vk )?i ]}.
rl rl
2) r1 = r2 = r3 = 0:
vi 2 ai
? i = xi ? x ? x0 . (8)
2b 0 b
Case IV. c = 0, q = 0, b = 0, vi x0 + ai = 0:
1) r3 = 0, r2 = 0, r1 = 0:
v ri wi
?3 = v
? 1 = x0 , ?2 = (9)
wi wi , ,
rl rl
where
?ijk rj (vk x0 + ak )
wi = xi +
(ri rl /(vi x0 + ai ))(vl x0 ? al ) ? rk rk
(there is no summation over i).
2) r3 = 0, r2 = 0, r1 = 0:
2
[(v2 x0 + a2 )x1 ? (v1 x0 + a1 )x2 ],
? 1 = x0 , ? 2 = x2 + x2 +
1 2
r3
(10)
r3 x1 + v2 x0 + a2
? x3 .
3
? = (v3 x0 + a3 ) arcsin 2
(v1 x0 + a1 )2 + (v2 x0 + a2 ) + r3 ? 2

3) r1 = r2 = r3 = 0:

? 2 = x1 (v2 x0 + a2 ) ? x2 (v1 x0 + a1 ),
? 1 = x0 ,
(11)
? 3 = x1 (v3 x0 + a3 ) ? x3 (v1 x0 + a1 ).

Case V. c = q = b = 0, vi x0 + ai = 0, ri = 0:
v ri xi
?3 = v
? 1 = x0 , ?2 = (12)
xi xi , .
rl rl
Now we construct the solutions of the eq. (1) of the form

u = ? ? 1 , ? 2 , ? 3 f (x0 , x), F (u) = ?u|u|m . (13)
On some exact solutions of the nonlinear Schr?dinger equation
o 97

Substituting (13) into eq. (1), we require the functions ? and f to satisfy the non-
coupled equations. In accordance with this requirement the following equations are
obtained:
1
??l ?k ? lk (? 1 , ? 2 , ? 3 ) + ??k ? k (? 1 , ? 2 , ? 3 ) + ??(? 1 , ? 2 , ? 3 ) = ??|?|m , (14)
2M
?f 1
?f = f |f |m ?(? 1 , ? 2 , ? 3 ), (15)
i +
?x0 2M

?xi ?xi = |f |m ? lk (? 1 , ? 2 , ? 3 ),
l k
(16)

1 1k
?xi fxi = f |f |m ? k (? 1 , ? 2 , ? 3 ),
k
?? k f + (17)
i?x0 +
2M M

where
?2 ?? k
??
? ? ?
k
??k , ??k ?l , ?x0 .
?? k ?? k ?? l x0

<< Предыдущая

стр. 22
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>