<< Предыдущая стр. 23(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
In fact, the nonlinear equation (15) with the additional conditions (16) and (17) is the
inhomogeneous linear Schr?dinger equation which one can easily integrate. Substituti-
o
ng the solution of eq. (15) into eq. (14), we obtain for ? a nonlinear partial differential
equation. Thus the solution of eq. (14) is a function of only three variables ? 1 , ? 2 ,
?3 .
3. Let us consider some exact solutions of eqs. (14)–(17).
For the invariants (4) and the nonlinearity F = ?u|u|4/3 , the functions f and ?
take the form (c = 0)
i?
?cx0 + q ? bc + q 2
?3/4
f = ?cx2 + 2qx0 + b ?
0
?cx0 + q + bc + q 2

iM ?cx0 + q ? cb + q 2 iM
? exp iM (?i zi ) + zi zi + (?i ?i )x0 ,
?cx2 + 2qx0 + b
2 2
0
3/4
1 9 ?3/4
? B2 (? 1 )2 ? (? 3 )2 exp iB? 2 ,
?=
2?M 4
where
bc + q 2
2 M
[2(vi ?i ) + b(?i ?i ) ? c(?i ?i )].
v
B= ?, ?=
rl rl cb + q 2
4
For the invariants (4) and the nonlinearity F = ??|?|m the functions f and ? take
the form (c = 0, q = 0)
iM
f = (2qx0 + b)?1/m+i? exp iM (?i zi ) + (?i ?i )x0 ,
2
1/m
1 4 ?1/m
? B2 (? 1 )2 ? (? 3 )2 exp iB? 2 ,
?= 2
2?M m
98 W.I. Fushchych, S.S. Moskaliuk

where
2q M
B=v ?, ?= [2(vi ?i ) + b(?i ?i )].
rl rl 4q
For the invariants (12) and the nonlinearity F = ??|?|m the functions f and ?
take the form u1 = f ?1 , u2 = f ?2 :
2 1/m ?1/m
(ri xi )2
c2 2
xi xi ?
f = exp[ic1 ], ?1 = ,
2?M m rl rl
?cm ?m+1 (ri xi )2
m
c3 x?1 xi xi ?
3
?2 = exp i x +i ,
m?1 0
0
2x0 rl rl
where c1 = const, c2 = const, c3 = const.
Remark. We have considered only a part of the exact solutions obtained by the same
method for the invariants (4)–(12) and the nonlinearities (2) and (3). Three-spatial-
dimension exact solutions of Liouville, eikonal, Hamilton–Jacobi and Navier–Stokes
equations are obtained by this method too [4, 5].

1. Ames W.F., Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering, Vol. I and II, New York, N. Y.,
1965, 1972.
2. Niederer V., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, 802.
3. Ovsjannikov L.V., The Group Analysis of Differential Equations, Moscow, 1978 (in Russian).
4. Fushchych W.I., Serov N.I., Ukr. Math. J., 1981, 33, № 6, 780–784 (in Russian).
5. Fushchych W.I. (Editor), Algebraic-Theoretical Investigations in Mathematical Physics, Kiev, 1981
(in Russian).
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 99–104.

О точных решениях нелинейных
многомерных волновых уравнений
В.И. ФУЩИЧ, С.С. МОСКАЛЮК, Н.И. СЕРОВ

В работе приведены в явном виде некоторые классы точных решений следую-
щих нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП):
гиперболические уравнения
2u + ?1 u = 0, (1)

2u + ?2 exp u = 0, (2)
?u ?u
(3)
= 0,
?xµ ?xµ
2 2
?2u ?2u ?u ?u ? 2 u
?u ?u
2u + ?2 (4)
+ = 0,
?x2 ?x2
?x0 ?x1 ?x0 ?x1 ?x0 ?x1
1 0

?2
2u + F1 (u) = 0, 2? ? ?, (5)
?x2
0

параболические уравнения
?u 1
(6)
i + ?u + F2 (u) = 0,
?x0 2M
?u 1 ?u ?u
(7)
+ = 0,
?x0 2M ?xa ?xa
?u
+ (u · ?)u + ?p = ?u, div u = 0, (7а)
?x0
где u = u(x), x = (x0 , x1 , . . . , xn?1 ) ? Rn , u = (u1 , u2 , u3 ), ? — оператор Лапласа;
F1 , F2 — произвольные интегрируемые функции; k, ?1 , ?2 , M , m — произвольные
постоянные величины.
Все приведенные уравнения, как и другие основные уравнения математической
и теоретической физики [1], обладают высокой симмepиeй. Именно это свойство
уравнений (1)–(7) дает возможность отыскать целые семейства (классы) точных
решений. Для уравнений (1)–(5) решения найдены через произвольные функции,
зависящие от инвариантов группы симметрии [2, 3].
С помощью метода Ли [4] можно установить следующие группы инвариантно-
сти уравнений (1)–(7).
Теорема 1. Максимальной группой инвариантности (МГИ) уравнений (1), (2)
?
и (4) является расширенная группа Пуанкаре P (1, n ? 1) = {P (1, n ? 1), D} —
IX международная конференция по нелинейным колебаниям, Киев, 30.08–06.09 1981, Том 1, Ана-
литические методы теории нелинейных колебаний, Киев, Наукова думка, 1984, С. 384–389.
100 В.И. Фущич, С.С. Москалюк, Н.И. Серов

группа Пуанкаре P (1, n ? 1) и масштабных преобразований D. МГИ уравнения
(5) является группа P (1, n ? 1).
Замечание 1. Уравнение Лиувилля (2) в двухмерном пространстве (x ? R2 ) до-
пускает бесконечную группу преобразований. Этот факт является причиной того,
что все решения уравнения (2) в этом частном случае задаются известной форму-
лой Лиувилля через две произвольные функции. Нами будут приведены решения
уравнения Лиувилля в пространстве x ? Rn при n ? 3.
Теорема 2. МГИ уравнения эйконала (3) является бесконечная группа преобра-
зований. Инфинитезимально эта группа задается преобразованиями

µ = 0, n ? 1, (8)
xµ = xµ + ?Aµ , u = u + ?B,

Aµ = ?bµ (u)x? x? + 2xµ b? (u)x? ? cµ? (u)x? + dµ (u), (9)
B = ?(u),

где bµ , cµ? , dµ , ? — произвольные функции от u, причем c00 = ?caa , cµ? = ?c?µ ,
? = µ.
Теорема 3. МГИ уравнения (6) (при F2 (u) = ??u|u|4/(n?1) , n = 4) является 13-
параметрическая группа. Инфинитезимально эта группа задается формулами
(8), где
A0 = ?cx2 + 2qx0 + b,
0

Ai = (?cx0 + q)xi + ?ijk rj xk + vi x0 + ai ,
(10)
3 1
B=? cxi xi ? vi xi
(?cx0 + q) + iM u,
2 2
ai , b, ri , vi , q, c — параметры преобразований [5].
В основе нашего подхода к отысканию точных решений уравнений (1)–(7) ле-
жит представление

(11)
u(x) = ?[?(?), f (x)],

где ?, ?, f — произвольные дифференцируемые функции соответствующих пе-
ременных; ? = ?(x) = {?1 (x), . . . , ?n?1 (x)} — инварианты групп инвариантности
уравнений (1)–(7).
В силу того, что ? являются инвариантами группы инвариантности уравнений,
подстановка (11) в уравнения (1)–(7) приводит к ДУЧП для функции ?(?), зави-
сящей от меньшего числа переменных, чем u(x). Функции ?, f и инварианты ?
находим из системы уравнений Лагранжа
dx0 dx1 dxn?1 du
= ··· =
= = .
A A1 An?1 B
I. Решения уравнения (1) ищем в виде u(x) = ?(?)f (x).
Приведем явный вид некоторых решений уравнений (1):
1/(k?1)
?
u = ? (1 ? k)2 ((?? y ? )2 + y? y ? ) ,
4
?? ? ? = ?1, ? = 0, n ? 1;
y? = x? + a? ,
О точных решениях нелинейных многомерных волновых уравнений 101

1/(1?k)
?
(1 ? k)2 a? y ? · ?? y ? a? ? ? = ?1;
a? a? = ?? ? ? = 0,
u= ,
2
1/(1?k)
u = µ [x3 cos(c1 + x0 ± x1 ) ± x2 sin(c1 + x0 ± x1 )] ,
1/(1?k)
?
(1 ? k)2 (1 + k)?1
µ= ;
2
2/(1?k)
u = [F (?? x? ) + ?? x? ] ?? ?? = ?? ? ? = 0,
,
?
?? ? ? = ? (1 ? k)2 (1 + k)?1 ,
2
F — произвольная дифференцируемая функция, a? , ?? , ?? — const;
2/(1?k)
u = x3 ?(x0 ± x1 ) ± x2 (? 2 ? ?2 (x0 ± x1 ))1/2 ,
?
(1 ? k)2 (1 + k)?1 ,
?2 =
2
? — произвольная дифференцируемая функция;
2/(1?k)
u = [F (?1? x? , . . . , ?n?1? x? ) + ?n? x? ] ,
?
?n? ?n = ? (1 ? k)2 (1 + k)?1 ,
µ
a = 1, n, b = 1, n ? 1, ?
?aµ ?b = 0,
2
F — произвольная дифференцируемая функция.
II. Решения уравнения Лиувилля (2) ищем в виде

(12)
u(x) = ?(?) + f (x).

Найденные нами решения уравнения (2) имеют вид
u = ?2 ln [?P(x) sh Q(x)] , u = ?2 ln [?P(x) ch Q(x)] ,
(13)
u = ?2 ln [?P(x) cos Q(x)] , u = ?2 ln [?P(x)R(x)] ,
где
v
Q(x) = c1 (?? y ? )?1 y? y ? + c2 ,
P(x) = ?? y ? , R(x) = Q(x)|c1 =1 ,
1)
v
v
?2? 2?
?? ?? = 0;
?= , ?= , ? = ?|c1 =1 ,
2c1 2c1
1 ?1/2
P(x) = (?? y ? )2 + y? y ?
2) ,
2
Q(x) = c1 ln (?? y ? )2 + y? y ? + c2 , ?? ? ? = 1;

P(x) = ??1 (?? y ? ), Q(x) = c1 ?? y ? ?(?? y ? ) + c2 , ?? ?? = ?? ? ? = 0,
3)
?? ? ? = 1, ? — произвольная дифференцируемая функция;

P(x) = ??1 (?? y ? ), Q(x) = c1 [?? y ? ?(?? y ? ) ? ln ?(?? y ? )] + c2 ,
4)
?? ?? = ?? ? ? = 0, ?? ? ? = 1;
102 В.И. Фущич, С.С. Москалюк, Н.И. Серов

P(x) = 1, Q(x) = c1 [?? y ? + ?(?? y ? )] + c2 ,
5)
?? ? ? = ?1.
 << Предыдущая стр. 23(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>